1、第3讲运动图像追及、相遇问题一、运动图像1.图甲为质点在东西方向上做直线运动的位移x与时间t的关系图像,以向东为正方向。(1)三个质点的运动情况是:A匀速直线运动,B匀速直线运动,C匀速直线运动;(2)A、B、C三个质点运动的速度大小的关系为vA=vCvB。2.图乙为质点在东西方向上做直线运动的速度v与时间t的关系图像,以向东为正方向。(1)三个质点的运动情況是:A初速度为零的匀加速直线运动,B初速度为v1的匀加速直线运动,C初速度为v2的匀减速直线运动;(2)A、B、C三个质点运动的加速度大小的关系为aA=aCaB;(3)在0t时间内,A、B、C三个质点运动的位移大小的关系为xBxA=xC。
2、二、追及、相遇问题1.追及问题的两种类型(1)落后者能追上前者,两者速度相等时,相距最远,追上时,两者处于同一位置,且后者速度一定不小于前者速度。(2)落后者追不上前者,则当两者速度相等时,两者相距最近。2.相遇问题相向运动的物体,当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间距离时即相遇。1.某质点做直线运动的位移x和时间t的关系如图所示,那么该质点在 3 s 内通过的位移是() A.3 m B.2 mC.1 m D.0.5 m答案C由题图可知,在01 s内质点静止在位移为1 m的地方;12 s内质点从位移为1 m的地方匀速运动到位移为2 m的地方;在23 s 内质点静止在位移为2 m的地方,因
3、而质点在3 s内的位移即在12 s内通过的位移,应为1 m。2.(多选)某物体做直线运动的v-t图像如图所示,则下列说法正确的是()A.物体在第1 s末运动方向发生改变B.物体在第2 s内、第3 s内的加速度是相同的C.物体在第4 s末返回出发点D.物体在第5 s末离出发点最远,且最大位移为0.5 m答案BC物体在第1 s内做匀加速运动,第2 s内做匀减速运动,第3 s内做反向的匀加速运动,第4 s内做反向的匀减速运动物体在第 2 s 末、第4 s末速度方向发生改变,在第2 s 内和第3 s内的加速度相同均为a=-1 m/s2,在第4 s末物体返回出发点且速度为零。物体在第2 s末、第6 s末
4、离出发点最远,且最大位移为1 m。3.一物体由静止开始沿直线运动,其加速度随时间的变化规律如图所示,取开始运动的方向为正方向,则物体运动的v-t图像正确的是()答案C本题考查加速度在v-t图像中的表示。在01 s内,a=1 m/s2,物体从静止开始做正向匀加速运动,速度图线是一条倾斜直线,1 s末速度v1=at=1 m/s,在1 2 s内,a2=-1 m/s2,物体将仍沿正方向运动,但加速度为负要减速,2 s末时速度v2=v1+a2t=0,23 s内重复01 s内运动情况,34 s内重复12 s 内运动情况,故选C项。4.甲、乙两车在平直公路上比赛,某一时刻,乙车在甲车前方L1=11 m处,乙
5、车速度v乙=60 m/s,甲车速度 v甲=50 m/s,此时乙车离终点线尚有L2=600 m,如图所示,若甲车加速运动,加速度a=2 m/s2,乙车速度不变,不计车长。求:(1)经过多长时间甲、乙两车间距离最大,最大距离是多少;(2)到达终点线时甲车能否超过乙车。答案(1)5 s36 m(2)不能解析(1)当甲、乙两车速度相等时,两车间距离最大,则v甲+at1=v乙得t1=v乙-v甲a=60-502 s=5 s甲车位移x甲=v甲t1+12at12=275 m乙车位移x乙=v乙t1=605 m=300 m此时两车间距离x=x乙+L1-x甲=36 m(2)甲车追上乙车时,位移关系 x甲=x乙+L1
6、甲车位移x甲=v甲t2+12at22乙车位移x乙=v乙t2将x甲、x乙代入位移关系式得v甲t2+12at22=v乙t2+L1代入数值并整理得t22-10t2-11=0解得t2=-1 s(舍去)或t2=11 s此时乙车位移x乙=v乙t2=660 m因x乙L2,故乙车已冲过终点线,即到达终点线时甲车不能追上乙车。考点一运动图像的分析与运用1.运动图像主要有x-t图像和v-t图像,运用运动图像解题可总结为六看:一看“轴”,二看“线”,三看“斜率”,四看“面积”,五看“截距”,六看“特殊点”。轴先要看清两轴所代表的物理量,即图像是描述哪两个物理量之间的关系线表示研究对象的变化过程和规律,如v-t图像中
7、图线若为倾斜直线,则表示物体做匀变速直线运动斜率表示纵、横坐标两物理量的比值,常有一个重要的物理量与之对应,用于定量计算对应物理量的大小和定性分析变化的快慢。如x-t图像的斜率表示速度,v-t图像的斜率表示加速度面积图线与坐标轴所围的面积常与某一表示过程的物理量相对应。如v-t图线与t轴所围的面积表示位移截距表示横、纵坐标两物理量在“边界”条件下的大小。由此往往能得到一个很有意义的物理量特殊点如交点、拐点(转折点)等,如x-t图像的交点表示两质点相遇,v-t图像的交点只表示速度相等2.图像既反映出运动规律和运动特征,也是提供信息和解决问题的重要手段。在许多问题中若能运用图像进行分析,对解决问题
8、会起到事半功倍的效果。1-1(多选)如图,直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位置-时间(x-t)图线。由图可知()A.在时刻t1,a车追上b车B.在时刻t2,a、b两车运动方向相反C.在t1到t2这段时间内,b车的速率先减少后增加D.在t1到t2这段时间内,b车的速率一直比a车的大答案BC在位置-时间图像中,图线斜率的绝对值表示速度大小,斜率的正负表示速度的方向,两图线的交点表示同一时刻处于同一位置即追及或相遇。由题图可知,t1时刻前图线b的斜率大于a的斜率,b车速度大于a车的速度,b车处于a车的后方,故t1时刻应是b车追上a车,A错误;t2时刻,图线b斜率小于零,即b沿负方向
9、运动,而图线a斜率始终大于零,即a车一直沿正向运动,因此两车速度方向相反,故B正确;由t1t2时间内图线b斜率的绝对值可知C正确;在图线b的顶点处切线水平、斜率为零,即此时b车瞬时速度为零,可见D错误。1-2(2019朝阳期中)一物体沿直线运动,其速度v随时间t变化的图像如图所示。由图像可知()A.在02 s内物体运动的加速度大小为5 m/s2B.在02 s内物体运动的加速度大小为10 m/s2C.2 s末物体的速度改变方向D.4 s末物体回到出发点答案A02 s内v-t图像中的图线的斜率为5 m/s2,故A正确,B错误。物体运动方向看速度“正”“负”,由题图像可知物体始终朝同一方向运动,故4
10、 s末距出发点最远,故C、D错误。1-3(2020朝阳期中)一小滑块以初速度v0沿足够长、粗糙程度均匀的固定斜面减速下滑,直至停止。若用a、x、h、v分别表示滑块在此过程中加速度、位移、下降高度和速度的大小,t表示时间,则下列图像正确的是()答案B考点二追及、相遇问题一、追及、相遇问题的分析要点1.分析追及问题的方法技巧可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”(1)一个临界条件速度相同。它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件,也是分析判断问题的切入点。(2)两个等量关系:时间关系和位移关系,通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口。2.能否追上的判断方法物体B追赶物体A:
11、开始时,两个物体相距x0,若vA=vB时,xA+x0xB,则不能追上。3.若被追赶的物体做匀减速直线运动,一定要注意判断追上前该物体是否已经停止运动。2-1甲车以10 m/s的速度在平直的公路上匀速行驶,乙车以 4 m/s 的速度与甲车平行同向做匀速直线运动,甲车经过乙车旁边开始以大小为0.5 m/s2的加速度刹车,从甲车刹车开始计时,求:(1)乙车在追上甲车前,两车相距的最大距离;(2)乙车追上甲车所用的时间。答案(1)36 m(2)25 s解析(1)当甲车速度大小减至等于乙车速度大小时两车的距离最大,设该减速过程经过的时间为t,则v乙=v甲-at解得t=12 s此时甲、乙间距离为x=v甲t
12、-12at2-v乙t=1012 m-120.5122 m-412 m=36 m(2)设甲车减速到零所需时间为t1,则有t1=v甲a=20 st1时间内,x甲=v甲2t1=10220 m=100 mx乙=v乙t1=420 m=80 m此后乙车运动时间t2=x甲-x乙v乙=204 s=5 s故乙车追上甲车所用时间:t=t1+t2=25 s。二、分析追及、相遇问题的常用方法1.物理分析法:抓好“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键,认真审题,挖掘题中的隐含条件,在头脑中建立起一幅物体运动的图景。2.相对运动法:巧妙地选取参考系,然后找出两物体的运动关系。3.数学分析法:设相遇时间为t,根据条件列方
13、程,得到关于t的一元二次方程,用判别式进行讨论,若0,即有两个解,说明可以相遇两次;若=0,说明刚好追上或相遇;若0,说明追不上或不能相遇。4.图像分析法:将两者的速度-时间图像在同一坐标系中画出,然后利用图像分析求解。2-2在水平轨道上有两列火车A和B相距s,A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动,而B车同时做初速度为零、加速度大小为a的匀加速直线运动,两车运动方向相同。要使两车不相撞,求A车的初速度v0满足什么条件。答案v06as解析方法一:(物理分析法)A、B车的运动过程(如图甲)甲利用位移公式、速度公式求解对A车有sA=v0t+12(-2a)t2vA=v0+(-2a
14、)t对B车有sB=12at2,vB=at两车有s=sA-sB追上时,两车不相撞的临界条件是vA=vB联立以上各式解得v0=6as故要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是 v06as。方法二:(数学分析法)利用判别式求解,由方法一可知sA=s+sB,即v0t+12(-2a)t2=s+12at2整理得3at2-2v0t+2s=0这是一个关于时间t的一元二次方程,当根的判别式=(2v0)2-43a2s0),且两球的比例常数k完全相同,两球下落的v-t图像如图所示,则下列叙述正确的是()A.m1=m2,两球同时抵达地面B.m2m1,球2先抵达地面C.m2m1,球1先抵达地面答案B6.(2020
15、中关村中学开学考)在平直的高速公路上,一辆巡逻车由静止开始启动追赶前方1 500 m处正以40 m/s的速度匀速行驶的违章卡车,巡逻车以5 m/s2的加速度做匀加速运动但行驶速度必须控制在vm=50 m/s以内。问(1)在追赶的过程中,巡逻车和卡车的最大距离是多少?(2)巡逻车需要多少时间才能追上卡车?答案见解析解析(1)两车的速度相等时距离最大,此时对应运动的时间:t=v卡a=405 s=8 s,巡逻车的位移:x1=v卡2t=4028 m=160 m,卡车的位移:x2=v卡t=408 m=320 m此时两车的最大距离:d=x0+x2-x1=1 500 m+320 m-160 m=1 660
16、m;(2)设巡逻车需要时间t追上卡车,此时卡车的位移:x卡=v卡t,巡逻车匀加速运动的时间:t1=vma=505 s=10 s,匀加速运动的位移:x1=12at12=125102 m=250 m,匀速运动的位移:x1=vm(t-t1),则巡逻车的位移:x巡=x1+x1,巡逻车追上卡车时满足:x巡=x卡+x0,解得:t=175 s,故巡逻车追上卡车,至少需要175 s。B组综合提能 1.(2018海淀二模)一个物体受多个水平恒力作用静止在光滑水平面上。现在仅使其中一个力F1的大小按照如图所示的规律变化。此过程中,该物体受到的合外力大小F合 、加速度大小a、速度大小v、动量大小p的变化情况可能正确
17、的是()答案C物体静止在光滑水平面上时所受合外力为零,若使其中一个力F1按题图所示规律变化,其他力不变,则合外力由零逐渐增大再逐渐减小到零,加速度也是由零逐渐增大再逐渐减小到零,故选项A、B均错误;v-t图线上各点切线的斜率表示加速度,故选项C正确;动量p=mv,因速度一直是增大的,故其动量也一直是增大的,故选项D错误。2.一个滑块以初速度v0从足够长的固定斜面底端沿斜面向上运动,经2t0时间返回到斜面底端。如图所示图像表示该滑块在此斜面上运动过程中速度的大小v随时间t变化的规律,其中可能正确的是()答案B滑块在固定斜面上运动可能有两种情况,一是有摩擦力,一是无摩擦力。若无摩擦力,则向上运动和
18、向下运动时加速度大小一样,故滑块速度的变化率相同,且初、末速度大小相同,A、C均错误;若有摩擦力,则向上运动时的加速度比向下运动时大;向上运动的时间比向下运动的时间短,故B正确,D错误。3.以不同初速度将两个物体同时竖直向上抛出并开始计时,一个物体所受空气阻力可忽略,另一物体所受空气阻力大小与物体速率成正比,下列用虚线和实线描述两物体运动的v-t图像可能正确的是()答案D受空气阻力作用的物体,上升过程:mg+kv=ma,得a=g+kmv,v减小,a减小,A中其图像切线斜率的绝对值在增大,说明加速度在增大,A错;B、C、D中其图像切线斜率的绝对值在减小,说明加速度在减小。到达最高点时v=0,a=
19、g,即两图线与t轴相交时切线斜率相同,即加速度相同,故D正确。4.(多选)t=0时,甲、乙两汽车从相距70 km的两地开始相向行驶,它们的v-t图像如图所示。忽略汽车掉头所需时间。下列对汽车运动状况的描述正确的是()A.在第1小时末,乙车改变运动方向B.在第2小时末,甲、乙两车相距10 kmC.在前4小时内,乙车运动加速度总比甲车的大D.在第4小时末,甲、乙两车相遇答案BC由题图知,1小时末乙车沿负向行驶,由匀加速直线运动变为匀减速直线运动,行驶方向并未改变,A错。在前2小时内,甲车的位移大小 s甲=12230 km=30 km,沿正向;乙车的位移大小s乙=12230 km=30 km,沿负向
20、,故第2小时末两车相距 s = (70-30-30) km=10 km,B对。由图像的斜率绝对值可知C对。在前4小时内,甲车的位移s甲=12460 km=120 km,沿正向;乙车的位移s乙=12260-12230 km =30 km,沿正向,s甲 -s乙=90 km70 km,两车此时不相遇,D错。5.(多选)(2020四中期中)汽车a和b在同一平直公路上行驶,其x-t图像分别如图中直线a和曲线b所示,下列说法正确的是()A.t=3 s时,两车速度相等B.a车做匀速运动,b车做加速运动C.在运动过程中,b车始终没有超过a车D.在03 s时间内,a车的平均速度比b车的大答案AC6.固定斜面长度
21、为4 m,一个尺寸可以忽略不计的滑块以不同的初速度v0从斜面顶端沿斜面下滑时,其下滑距离x与初速度二次方v02的关系图像(即x-v02图像)如图所示。(1)求滑块下滑的加速度大小;(2)若滑块下滑的初速度大小为5.0 m/s,则滑块沿斜面下滑的时间为多长?答案(1)2 m/s2(2)1 s解析(1)设滑块下滑的加速度大小为a,由题可知v02=2ax,图线斜率为12a=3m12m2s-2=14m/s2,所以滑块下滑的加速度大小为2 m/s2(2)由v02=2ax可知,当滑块的初速度为4 m/s时,滑块刚好滑到斜面最低点。滑块下滑的初速度大小为5.0 m/s时,设滑块在斜面上的滑动时间为t,则x=v0t-12at2,即4=5t-122t2,解得t=1 s。
