1、1极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为.有序数对(，)叫做点M的极坐标，记作M(，)，一般地，0.极坐标与直角坐标的互化公式xcos，ysin，2x2y2，tan yx(x0)2直线与圆的极坐标方程(1)直线的极坐标方程 l：0(可取负值)l：cos al：sin a l：cos a l：sin al：cos(0)a其中极
2、点到直线 l 的距离 ON 为 a，ONl.(2)圆的极坐标方程2rcos(0)，其中圆心为 C(r，0)，半径为 r.考点一极坐标系的概念示范1 在极坐标系中画出点 A2，3，B4，56，并求|AB|的长分析 根据极坐标系的概念找出点 A，B.解析 如图在OAB 中求|AB|的长由已知|OA|A2，|OB|B4，AOB212，OAB 为 Rt，|AB|22422 5.【点评】本题转为解三角形，当然也可转化为直角坐标求解.展示1 已知在极坐标系中，AOB 的顶点 A4，12，B4，12，则AOB 的面积为_【答案】4【解析】如图所示，AOB是等腰三角形，腰长为4，顶角为6，SAOB1242si
3、n61242124.方法点拨：确定极坐标系下点的位置，主要按定义确定极角和极位就行了，若是解决问题，常常用到较多平面几何的边角关系以及三角知识.考点二极坐标方程(坐标)与直角坐标方程(坐标)的互化示范2 将下列极坐标方程化为直角坐标方程：(1)cos4；(2)22cos sin2.分析 利用互化公式则可解析(1)cos4cos sin4 sin，22 cos 22 sin .2 22 cos 22 sin.x2y2 22 x 22 y0.(2)22cos sin2 sin222cos 2sin222cos y222x(y22x)242y44y2x4x24x24y2y2(y24x4)0.psin
4、 y0，y24x4.【点评】互化中通常需要两边都乘，将 0 的正余弦展开.展示2 将下列极坐标方程化为直角坐标方程：(1)2cos 20；(2)4sin23.【解析】(1)2cos 202cos22sin20 x2y20；(2)4sin2342sin2324y23(x2y2)y 3x.方法点拨：互化的关键是利用公式，即cos x，sin y，2x2y2.)考点三解决极坐标下的问题示范3 已知曲线 C1 与 C2 的极坐标方向分别为 cos 3，4cos 0，02，则曲线 C1 与 C2 交点的极坐标为_分析 即解关于 和 cos 的二元一次方程组解析 我们通过联立解方程组cos 34cos 0
5、，02解得2 3，6，即两曲线的交点为2 3，6.答案2 3，6【点评】本题直接解关于 和 cos 的方程组，要注意，的范围；当然，本题也可将极坐标方程化为普通方程后再解方程.展示3(2011深圳一模)在极坐标系中，设P是直线l：(cos sin)4上任一点，Q是圆C：24cos 3上任一点，则|PQ|的最小值是_【答案】21【解析】由(cos sin)4得xy40，由24cos 3得x2y24x3即(x2)2y21.圆心坐标为C(2,0)，半径r1，过C作CAl，垂足A，如图当P与A重合，Q与B重合，则|PQ|有最小值此时|AC|204|2 2，|BC|r1，|PQ|min|AC|BC|21
6、.方法点拨：将直线或圆的极坐标方程化为直角坐标方程即可解决问题.极坐标系中的直角坐标与极坐标互化和简单的极坐标方程(圆与直线)近年来，高考中以选做填空题的形式出现，重点是化极坐标方程为直角坐标方程.1(2010 广东)在极坐标系(，)(02)中，曲线(cos sin)1 与(sin cos)1 的交点的极坐标为_【答案】1，2【解析】cos sin 1，sin cos 1xy1，yx1x0，y12，1.1，2 为所求2(2010 江苏)在极坐标系中，已知圆 2cos 与直线3cos 4sin a0 相切，求实数 a 的值【解析】圆 2cos 的普通方程为 x2y22x，即(x1)2y21，直线 3cos 4sin a0 的普通方程为 3x4ya0，又圆与直线相切，所以|3140a|32421.解得 a2 或 a8.