1、1.2 充分条件与必要条件 第1课时 充分条件与必要条件【自主预习】充分条件与必要条件 命题 真假“若p,则q”是真命题“若p,则q”是假命题 推出 关系 p_q p_q 条件 关系 p是q的_条件 q是p的_条件 p不是q的_条件 q不是p的_条件 充分 必要 充分 必要【即时小测】1.下列命题中,真命题是()A.“x20”是“x0”的充分条件 B.“xy=0”是“x=0”的必要条件 C.“|a|=|b|”是“a=b”的充分条件 D.“|x|1”是“x2不小于1”的必要条件【解析】选B.当x=0时,一定有xy=0.2.若集合A=1,m2,B=2,4,则“m=2”是“AB=4”的_条件.【解析
2、】当m=2时,m2=4,所以AB=4,所以“m=2”是“AB=4”的充分条件.答案:充分 3.如果命题“若A,则B”的否命题是真命题,而它的逆否命题是假命题,则A是B的_条件(填“充分”或“必要”).【解析】因为逆否命题为假,所以原命题为假,即AB.所以A不是B的充分条件,又因否命题为真,所以逆命题为真,即BA,所以A是B的必要条件.答案:必要 4.已知a,b为两个非零向量,有以下命题:a2=b2;ab=b2;|a|=|b|且ab.其中可以作为a=b的必要条件的命题是_.(将所有正确命题的序号填在题中横线上)【解析】显然a=b时,均成立,即都可以作为a=b的必要条件.答案:【知识探究】探究点1
3、 充分条件与必要条件概念的理解 1.“x0”是“x1”的充分条件吗?提示:不是,当x0时推不出x1.2.“x1”是“x0”的充分条件吗?提示:是,当x1时一定有x0.3.若“x0”不成立,“x1”能成立吗?提示:不能【归纳总结】充分条件与必要条件的理解 充分条件:说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的.“有之必成立,无之未必不成立”.必要条件:必要就是必须,必不可少.“有之未必成立,无之必不成立”.特别提醒:充分条件与必要条件不是唯一的,如x1,x6等都是x0的充分条件.探究点2 充分条件与必要条件的判断 1.推断符号“”的含义是什么?提示:pq说明命题“若p,则
4、q”为真,即如果p成立,那么q一定成立,如果“若p,则q”为假,则应记作:“p q”.2.判断p是q的充分条件的关键是什么?必要条件呢?提示:判断p是q的充分条件,就是要从p出发,能够推导出q成立,若从p推不出q成立,则p不是q的充分条件;在判断出p是q的充分条件的同时,也说明了q是p的必要条件.即要判断p是q的必要条件,关键还是看能否从q推出p.【归纳总结】判断充分条件、必要条件的注意点(1)明确条件与结论.(2)判断若p,则q是否成立时注意利用等价命题.(3)可以用反例说明由p推不出q,但不能用特例说明由p可以推出q.易错警示:判断前要先确定谁是条件,谁是结论,否则易下错结论.类型一 充分
5、条件与必要条件的概念【典例】1.判断下列说法中,p是q的充分条件的是_:p:“x=1”q:“x2-2x+1=0”已知,是不同的两个平面,直线a,直线b.p:a与b无公共点 q:,设a,b是实数,p:“a+b0”q:“ab0”2.下列各题中,p是q的必要条件的是_.p:x22016 q:x22015 p:ax2+2ax+10的解集是实数集R q:0ab1 q:log2alog2b0【解题探究】1.典例1中如何判断p是q的充分条件?提示:从p出发判断能否推出q,若能,则p是q的充分条件;若不能,则p不是q的充分条件.2.典例2中如何判断p是q的必要条件?提示:从q出发判断能否推出p,若能,则p是q
6、的必要条件;若不能,则p不是q的必要条件.【解析】1.由“x=1”显然能推出“x2-2x+1=0”,故条件是充分的,如图,正方体中的a,b无公共点,但,相交.所以p不是q的充分条件.采用特殊值法:当a=3,b=-1时,a+b0,但ab2015时,推不出x22016,所以p不是q的必要条件.当0a0是二次不等式且开口向上,又=(2a)2-4a=4a(a-1)log2b0成立时,一定有ab1,所以p是q的必要条件.答案:【延伸探究】判断本例1中p是q的必要条件的是_.【解析】当x2-2x+1=0时,x=1,所以p是q的必要条件;当时,a与b一定无公共点,所以p是q的必要条件;当ab0时,a,b可能
7、同负,此时a+b0,q:x2-2x+1-a20.若p是q的充分条件,求正实数a的取值范围.【解析】不等式x2-8x-200的解集为 A=x|x10或x0的解集为 B=x|x1+a或x0.依题意pq,所以AB.于是有 解得00的解集为 A=x|x10或x0的解集为 B=x|x1+a或x0.依题意qp,所以BA.于是有 解得a9.所以正实数a的取值范围是9,+).1 a10,1 a2,a0,2.本题中的两个不等式的“”改为“”,其他条件不变,求正实数a的取值范围.【解析】不等式x2-8x-200的解集为 A=x|-2x10;不等式x2-2x+1-a20的解集为 B=x|1-ax1+a,a0.依题意
8、pq,所以AB.所以 解得a9.所以正实数a的取值范围是9,+).a0,1 a2,1 a10,【方法技巧】充分条件与必要条件的应用技巧(1)应用:可利用充分性与必要性进行相关问题的求解,特别是求参数的值或取值范围问题.(2)求解步骤:先把p,q等价转化,利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系,建立关于参数的不等式(组)进行求解.易错警示:把充分条件或必要条件转化为集合间的关系后,集合端点处的等号易错.【补偿训练】(2016安庆高二检测)若“x21”是“x1得x1,由题意知x|x1 x|xa,所以a-1,即a的最大值为-1.答案:-1 自我纠错 利用充分条件或必要条件求参数范围【典例】(2015昆明高二检测)已知P=x|a-4x a+4,Q=x|1x3,“xP”是“xQ”的必要条件,则实数a的取值范围是_.【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:错误的根本原因是忽视了集合中的不等式的等号,实际上本题中的不等式中的等号能取到,即 正确解答过程如下:a4 1,a43.【解析】因为“xP”是“xQ”的必要条件,所以QP,所以 即 所以-1a5.答案:-1,5 a4 1,a43,a5,a1,
