1、1坐标法：根据几何对象的_，选择适当的坐标系，建立它的_，通过方程研究_及_其步骤：第一步：建立适当坐标系，用_表示问题中涉及的_元素，将几何问题转化为_问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成_结论特征方程它的性质与其他几何图形的关系坐标系和方程几何代数几何2平面直角坐标系中的伸缩变换定义：设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任一点在变换：xx，0，yy，0的作用下，点 P(x，y)对应到点 P(x，y)，称变换 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换3柱坐标系及球坐标系空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(，z)之间的变换公式为xcos，
2、ysin，zz与球坐标(r，)之间的变换关系为xrsin cos，yrsin sin，zrcos.考点一利用坐标伸缩变换解决图形的伸缩变换问题示范1 在平面直角坐标系中，求方程 x2y21 所对应的图形经过伸缩变换x2x，y3y后的图形分析 将伸缩变换x2x，y3y整理成xx2，yy3后代入方程解析 由伸缩变换x2x，y3y，得到x12x，y13y，代入 x2y21，得到经过伸缩变换后的图形的方程是：x24 y29 1，图形为椭圆【点评】在伸缩变换xx，yy，中，解决问题时转化成知二求一，即知 x，y；x，y；，；三组中的两组求第三组.展示1 在同一平面直角坐标系中，求满足将曲线 x2y22x
3、0 变成曲线 x216y24x0 的伸缩变换【解析】设伸缩变换xx，0，yy，0，代入 x216y24x0，有 2x2162y24x0，即 x21622 y24x0.1622 1，42.解得2，12.伸缩变换为x2x，y12y.方法点拨：解决坐标伸缩变换的有关问题，关键在找出原图形上的点x，y及变换后图形上的点x，y之间的对应关系，然后代入相应的方程解决问题.考点二建立平面直角坐标系解决轨迹(曲线)问题示范2 在气象台 A 正西方向 300 千米处有一台风中心，它以每小时 40 千米的速度向东北方向移动，距台风中心 250 千米以内的地方都要受其影响从现在起，大约多长时间后，气象台 A 所在地
4、将遭受台风影响？持续多长时间？(注：72.65，21.41)分析 可建立平面直角坐标系解决问题解析 如图，以气象台为坐标原点，正东方向为 x 轴正方向，建立直角坐标系，则现在台风中心 B1 的坐标为(300,0)根据题意，可知，t 小时后，B 的坐标为(30040t cos 45，40t sin45)，即(30020 2t，20 2t)，因为以台风中心为圆心，以250 千米为半径的圆上或圆内的点将遭受台风影响，所以 B 在圆上或圆内时，气象台将受台风影响所以令 AB250，即30020 2t2 20 2t 22502整 理 得16t2 1202t 2750解 得 15 25 74t15 25
5、74，1.99t8.61故大约 2 小时后，气象台 A 所在地将遭受台风影响，大约持续 6 个半小时【点评】本题的关键是将问题化为点与圆的位置关系来处理.展示2 一抛物线形拱桥，当水面离拱顶 2 米时，水面宽 4米，若水面下降 1 米，水面宽度为多少？【解析】建立如下图所示的平面直角坐标系，则抛物线方程为x22py.水面距拱顶2米时，水面宽4米，点(2，2)在抛物线上，代入，得222p(2)p1.抛物线方程为x22y.水面下降1米，令y3，代入，得x 6.水面宽为2 6米方法点拨：建立坐标系解决轨迹曲线解，若图形有对称中心，则可选对称中心为原点；若图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴.考点三利用
6、坐标法解决平面（立体）几何问题示范3已知ABC的三边a，b，c满足b2c25a2，BE，CF分别为边AC，AB上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系分析 要用代数方法证明，必须选建平面直角坐标系解析 如图，以ABC 的顶点 A 为原点 O，边 AB 所在的直线为 x 轴，建立直角坐标系，由已知，点 A，B，F 的坐标分别为 A(0,0)，B(c,0)，Fc2，0.设点 C 的坐标为(x，y)，则点 E 的坐标为x2，y2.由 b2c25a2，可得到|AC|2|AB|25|BC|2，即x2y2c25(xc)2y2整理得 2x22y22c25cx0.因为BEx2c，y2，CFc
7、2x，y，所以BECFx2cc2x y2214(2x22y22c25cx)0.因此，BE 与 CF 互相垂直【点评】建立坐标系后，将条件化为点的坐标和线的方程，然后再利用解析几何中直线方程位置关系去判断.展示3如图所示，已知在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABAC，PAAC 12 AB，N为AB上一点，AB4AN，M，S分别为PB，BC的中点，(1)求证：CMSN；(2)求SN与平面CMN所成角的大小【解析】设PA1，以A为原点、射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如右图所示则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M1，0，12，N12，0，0，S1
8、，12，0.(1)CM 1，1，12，SN12，12，0，因为CM SN121200，所以CMSN.(2)NC 12，1，0，设a(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，则xy12z0，12xy0.令x2，得a(2,1，2)因为|cosa，SN|1123 22 22，所以SN与平面CMN所成角为45.方法点拨：建立平面直角坐标系，使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上这样处理问题会更加容易.本课的主要考点：坐标法、平面直角坐标系的伸缩变换坐标法是把几何问题转为代数问题处理的一种方法，也是一种解题思想，平面直角坐标系的伸缩变换实际上是研究平面图形的变换，本课还涉及柱坐标系和球坐标系，只作一般要求复
9、习即可(2010辽宁)设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A.2 B.3C.312 D.512【答案】D【解析】不妨设双曲线的焦点在 x 轴上，设其方程为x2a2y2b21(a0，b0)，则一个焦点为 F(c,0)，B(0，b)，一条渐近线的斜率为ba，直线为 FB 的斜率为bc.babc 1，即 b2ac，c2a2ac0.解得 eca 512.2(2011上海理(节选)如右图所示，已知ABCDA1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1是A1C1和B1D1的交点，若点C到平面AB1D1的距离为 43，求正四棱柱ABCDA1B1C1D1的高【解析】设正四棱柱的高为h，建立如右图所示的空间直角坐标系，则A(0,0，h)，B1(1,0,0)，D1(0,1,0)，C(1,1，h)，AB1(1,0，h)，AD1(0,1，h)，AC(1,1,0)设平面AB1D1的一个法向量为n(x，y，z)，nAB1，nAD1nAB1 0，nAD1 0.取z1，得n(h，h,1)点C到平面AB1D1的距离为d|nAC|n|hh0h2h2143.则h2.
