1、1.1.3 四种命题间的相互关系【阅读教材】根据下面的知识结构阅读教材，并识记四种命题间的相互关系及真假关系，并会将命题等价转化.【知识链接】1.四种命题：原命题、逆命题、否命题、逆否命题.2.判断命题真假的方法：根据已学过的数学知识，直接判断或推证或取特值否定.主题一：四种命题之间的相互关系【自主认知】1.观察下面四个命题，命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？(1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数.(2)若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数.(3)若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数.(4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数
2、.提示：命题(1)的条件是命题(2)的结论，且命题(1)的结论是命题(2)的条件，对于命题(1)和(3)，其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定；对于命题(1)和(4)，其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定.2.通过问题1中的探究，你发现其中任意两个命题之间的相互关系吗？你能用数学语言描述出来吗？提示：命题(2)(3)是互为逆否命题，命题(2)(4)是互否命题，命题(3)(4)是互逆命题.根据以上探究过程，试着写出四种命题之间的相互关系：若q,则p 若p,则q 若q,则p【合作探究】1.判断两个命题之间的关系关键看命题的条件与结论的哪方面？
3、提示：判断两个命题之间的关系关键看两个命题的条件和结论之间是否互换了，是否都否定了.2.一个命题的逆命题与否命题是等价命题吗？提示：可以通过命题的结构形式，即它的条件和结论分析，逆命题与否命题是互为逆否命题，故逆命题与否命题是等价的.3.在四种命题中，原命题是固定的吗？提示：不固定，是相对而言的.【过关小练】1.命题p：“若m0，则x2+x-m=0有实根”，与命题q：“若x2+x-m=0没有实根，则m0”的关系是()A.互逆 B.互否 C.互为逆否 D.互否或互为逆否【解析】选C.因q的条件为p的结论的否定，而结论为p的条件的否定.2.命题p：“若x2+y2=0，则x，y全为零”，与命题q：“
4、若x2+y20，则x，y不全为零”的关系是_.【解析】由四种命题之间的关系知为互否命题.答案：互否命题 主题二：四种命题的真假性及等价关系【自主认知】1.主题一自主认知1中的四个命题，它们的真假性如何？提示：命题(1)为真命题，(2)是假命题，(3)是假命题，(4)是真命题.2.若命题(1)为原命题，你发现哪两个命题的真假性相同？这种关系是否对任意的有这种关系的两个命题都成立？提示：原命题与逆否命题，逆命题与否命题，真假性相同.且这种关系对任意两个互为逆否的命题都成立.根据以上探究过程，试着写出四种命题真假性之间的关系：1.两个命题互为逆否命题，它们有_的真假性.2.两个命题为互逆命题或互否命
5、题，它们的真假性没有关系.相同【合作探究】1.在四种命题中，真命题的个数可能有几个？提示：因为原命题与逆否命题、逆命题与否命题均互为逆否命题，它们同真或同假，所以真命题的个数可能是0，2或4.2.当判断一个命题的真假比较困难时可否利用其逆否命题的真假判断？提示：因为原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，所以当判断一个命题的真假比较困难时，可以利用它与逆否命题的等价性来证明.【拓展延伸】等价命题的证法与反证法的区别 运用逆否命题的证法实质是把命题等价转化，而反证法是先假设结论不成立，接着推出矛盾，从而得出假设不成立.【过关小练】1.命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是()A.若q正
6、确，则p不正确 B.若q不正确，则p正确 C.若p正确，则q不正确 D.若p正确，则q正确【解析】选D.与逆命题等价的是否命题，否命题是若p正确，则q正确.2.已知命题p：“若|a|=|b|，则a=b”，则命题p及其逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数是()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解析】选B.因为a=-b时，|a|=|b|，则命题p为假命题，命题p的逆命题为：若a=b，则|a|=|b|，为真命题；又因为命题的逆命题与否命题互为逆否命题，原命题与其逆否命题互为逆否命题，故真命题的个数是2个.【归纳总结】1.对四种命题间关系的说明 对于两个命题的条件和结论之间的关系，若“只换
7、位不换质”，则两者之间就是“互逆命题”；若“只换质不换位”，则两者之间就是“互否命题”；若“既换位又换质”，则两者之间就是“互为逆否命题”.2.等价命题的两个关注点(1)当两个命题互为逆否命题时，这两个命题是等价命题.(2)由于原命题与其逆否命题，原命题的逆命题与原命题的否命题是互为逆否关系，所以原命题与其逆否命题是等价命题，原命题的逆命题与原命题的否命题是等价命题.类型一：四种命题之间的相互关系【典例1】(1)命题“若函数y=f(x)是幂函数，则它的图象不过第四象限”与命题“若函数y=f(x)不是幂函数，则它的图象过第四象限”的关系是_.(2)命题“等底等高的两个三角形是全等三角形”与命题“
8、全等三角形是等底等高的两个三角形”的关系是_.(3)命题“若ab，则c-2ab，则7a7b”的逆否命题是“若7a7b，则ab”.【解题指南】从条件和结论的关系上进行分析判断.【解析】“四条边相等的四边形是正方形”的否命题应为：“四条边不相等的四边形不是正方形”，说法错误；“若x2=9，则x=3”的否命题的逆否命题应为：“若x=3，则x2=9”，说法错误；正确.答案：类型二：四种命题的真假性【典例2】(2014陕西高考)原命题为“若 nN*，则an为递减数列”，关于逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A.真、真、真 B.假、假、真 C.真、真、假 D.假、假、假 nn 1n
9、aaa,2【解题指南】因为原命题和其逆否命题同真假，逆命题和否命题同真假，所以只要判断原命题和它的逆命题的真假即可.【解析】选A.由已知条件可以判断原命题为真，所以它的逆否命题也为真；而它的逆命题为真，所以它的否命题亦为真.【延伸探究】若把本例中“若 a2a3”，其他条件不变，则结果如何？【解析】由已知条件可以判断原命题为真，所以它的逆否命题也为真，而它的逆命题为真，所以它的否命题亦为真.nn 1aa2【规律总结】判断四种命题真假的两种方法(1)直接判断：利用命题真假判断的方法判断.(2)等价转化：由于互为逆否命题的真假具有等价性，因而在判断四种命题的真假时，可以转化为先判断原命题和逆(否)命
10、题的真假，再利用互为逆否命题的真假具有等价性即可完成.【巩固训练】已知命题p：若a0，则方程ax2+2x=0有解，则其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数()A.4 B.2 C.1 D.0【解析】选B.易知原命题和逆否命题都是真命题，否命题和逆命题都是假命题.【补偿训练】命题“已知a，b为正实数，若 则ab”与它的 逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.4【解析】选D.互为逆否的命题同真假，原命题是真命题，故其逆否命 题也为真，逆命题为“已知a，b为正实数，若ab，则 ”，这个命题是真命题，故否命题也为真，从而有4个是真命题.ab，ab类
11、型三：等价命题的确定及应用【典例3】判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集是空集，则a0，即抛物线与x轴有交点，所以关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真.方法二：先判断原命题的真假如下：因为a，x为实数，关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集为空集，所以=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-70.所以a 2.所以原命题是真命题.因为互为逆否命题的两个命题同真同假，所以原命题的逆否命题为真命题.74【延伸探究】1.(改变问法)判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2+(2a+1)x
12、+a2+20的解集是空集，则a2”的逆命题的真假.【解析】原命题的逆命题为“已知a，x为实数，若a2，则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集是空集”.判断真假如下：抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2的开口向上，判别式=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7，因为a2，所以4a-71，当01时抛物线与x轴有交点，当0的解集是R，则a0的解集为R，且 抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2的开口向上，所以=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-70.所以a2且y3，则x+y5”，容易判断逆否命题为真，故原命题为真.答案：真 2.证明：已知函数f(x)是(-，+)上的增函数，a，bR，若f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)，则a+b0.【证明】原命题的逆否命题为已知函数f(x)是(-，+)上的增函数，a，bR，若a+b0，则f(a)+f(b)f(-a)+f(-b).若a+b0，则a-b，b-a，又因为f(x)在(-，+)上是增函数，所以f(a)f(-b)，f(b)f(-a)，所以f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)，即逆否命题为真命题.所以原命题为真命题.
