1、3 函数的单调性一、教材分析（一）教学内容“函数的单调性”是北师版高中数学必修1第二章第三节的内容，主要内容是函数的单调性的概念、判断和证明简单函数的单调性。（二）地位与作用函数的单调性是函数的重要性质之一，本节是上一节知识“对函数的进一步认识”的延续，它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后我们研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础；在解决函数定义域、值域、不等式、比较大小等具体问题时均需用到函数的单调性知识；本节利用函数的图像来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于整个高中数学内容。二、学情分析（一）知识基础按现行新教材结构体系，学生在此之前只学过一次函数、二次函数
2、、反比例函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数。（二）认知水平与能力依据现有认知结构，学生只能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大，函数值增大”的变化趋势，而不能用符号语言进行严密的代数证明，只能依据图形的直观性进行感性判断而不能进行“思辩”的理性认识。所以在教学中要找准学生学习思维的“最近发展区”进行有意义的知识建构。在教学过程中，由于学生是第一次接触代数形式的证明，为使学生能迅速掌握代数证明的格式，要注意让学生在内容上紧扣定义贯穿整个学习过程，在形式上要从有意识的模仿逐渐过渡到独立的证明。（三）所任教的班级学生特点我所任教班级是重点班，学生基础知识较扎实、思维较活跃，能够很好的
3、掌握教材上的内容，能较好地应用数形结合的思想方法解决数学问题，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高。三、教学目标与教学重点、难点的制定（一）教学目标依据教学大纲的教学要求和新课标的理念，并结合学情分析，我制定了如下教学目标：1.知识与技能（1）理解函数的单调性和单调函数的意义；（2）会判断和证明简单函数的单调性.2.过程与方法（1）培养从概念出发，进一步研究其性质的意识及能力；（2）体会感悟数形结合、分类讨论的数学思想.3.情感、态度与价值观由合适的例子引发学生探求数学知识的欲望，突出学生的主观能动性，激发学生学习数学的兴趣.（二）教学重点、难点在本节课的教学中以函数的单调性的概念为主线，它始
4、终贯穿于教师的整个课堂教学过程和学生的学习过程；利用函数的单调性的定义证明简单函数的单调性是对函数单调性概念的深层理解，且“作差、变形、定号”过程学生不易掌握。所以对教学的重点、难点确定如下：1.教学重点函数的单调性的概念，判断和证明简单函数的单调性.2.教学难点（1）函数单调性概念（数学符号语言）的认知：自然语言到符号语言的转化；常量到变量的转化.（2）应用定义证明单调性的代数推理论证：变形方向；变形能力.四、教学模式与教法、学法、课时安排、教学资源、教具准备教学模式：本课采用“探究发现”的教学模式。教 法：教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导。 学 法：学生的学法突出探究、发现与交流。
5、课时安排：1课时教学资源：多媒体教学设备、实物投影仪教具准备：PPT课件、刻度尺五、教学过程设计教学环节教学时间教学目的教学呈现设计意图教学方法说明情境引入5分钟引出课题如图为宿州市气象部门2016年1月1日全天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图：教师提问：在0点到4点，气温随着时间的推移是怎么变化的？在4点到14点，气温随着时间的推移又是怎么变化的？教师指出：上面两种现象都是单调性现象。那么，在数学上我们如何定义函数的单调性呢？明确学习内容且向学生渗透研究函数问题的一般方法。讲授法教师引言：前面，我们学习了有关函数的基本概念，下面通过函数的图象来研究函数的性质。（板书课题：函数的单调
6、性）新授课10分钟对函数的单调性有感性的认识1.函数的单调性问题1：请学生画出下列函数的图象。实物投影（1） （2）（3） （4） 设问1：以上函数图象中哪部分从左到右看是上升的，哪部分是从左向右看是下降的？检查学生对函数图象的掌握情况.考察学生的观察能力，培养学生的数学表达能力演示法用实物投影将学生画的图象进行展示对函数图象的增、减情况用动画演示，增加直观性、提高学生兴趣理解增、减函数的定义让学生从函数的图像上抽象出函数单调性的定义.教师板书：一般地，设函数的定义域为A，区间IA：如果对于区间I内的任意两个值，当时都有那么就说在这个区间上是单调增（减）函数。设问2：你认为增、减函数定义中的关
7、键词是什么？让学生自己去领悟、思考、记忆概念强化教学重点，加强对知识的记忆把握概念的本质谈话法讲授法让学生口述，教师板书关键词：“任意”、“都有”同时可举实例帮助学生理解，判断函数在区间a,b上的增、减情况教学环节教学时间教学目的教学呈现设计意图教学方法说明新授课6分钟了解单调函数、单调区间的概念能运用函数单调性的概念结合图象判断函数的单调性并写出单调区间2.单调函数、单调区间教师口述：函数是单调增函数或是单调减函数，是对定义域内某个区间而言的。如果函数在某个区间上是单调增函数（单调减函数），那么就说函数在这个区间上具有单调性。这一区间叫做的单调增（减）区间。设问3：说出上述函数（1） （2）
8、；（3）；（4）的单调区间。1122-2-2-1-1-3-333-4-545Ox问题2：（如图）定义在区间上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，是单调增函数还是单调减函数。 介绍相关概念，使学生进一步理解单调性的概念。使学生进一步熟悉函数的单调性与函数的图象间的关系,会从函数图象上初步判断函数的单调性；并培养学生运用数学语言进行正确表达的能力。谈话法对函数的单调区间学生易错写成的形式，故加以澄清并举反例加以说明题目及图形的给出用实物投影12分钟能运用函数的单调性定义进行证明函数在某一区间上的单调性能灵活运用概念证题3.函数单调性的证明教师过渡语言：要了解函数某一区间是否
9、具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格地说，它需要根据函数单调性的定义进行证明。设问4：请同学们试想，根据函数单调的定义证明已知函数的单调性的关键在于什么？例题：证明函数在上是增函数。板书：证题详细过程。师生共同归纳用定义法证明函数单调的一般步骤：（1）设是给定区间上的任意两个自变量，且；（2）作差变形，一般化成几个因子积的形式（或平方和形式）；（3）确定的符号；（4）下结论。引导讨论：由上例能不能写出函数的单调区间并证明？板书：证明详细过程。渗透用图象法研究函数的思想方法提出问题、创设情境，培养学生积极思考、快速把握问题实质的良好思维品质。加深学生对函数单调性定义的理
10、解，规范解题格式培养学生归纳总结的能力调动学生参与讨论、培养学生的发散思维、开阔学生解题思路谈话法讲授法讨论法1.对设问4的思考、回答可借助于具体函数：在上为增函数的证明为例。2.例题中的注意点：解题格式防止循环论证作差同“0”比较教学环节教学时间教学目的教学呈现设计意图教学方法说明课堂练习7分钟进一步巩固函数单调性的概念及证明函数单调性的方法练习：1.教材第38页练习第2题 2.判断函数在上是单调增函数还是单调减函数？ 3.求函数的单调区间及时反馈，检查知识的落实情况练习法证明结果在实物投影上展示课堂小结3分钟强调教学目标突出教学重点1如果对于定义域内的区间I内的任意两个自变量的值，当时都有
11、，那么就说在这个区间上是单调增（减）函数。2利用定义证明函数的单调性常通过确定的符号判断与的大小。使学生在头脑中的知识结构得到提炼、帮助掌握重点内容谈话法让学生来小结、回顾布置作业1分钟课后进一步掌握、巩固概念方法教材第38页：习题2-3 组第2、3、4、5题思考题：判断函数在区间上的单调性。培养学生独立解决问题的能力思考题要求较高作为选做题补充说明本课是让学生通过观察函数图象的基础上，从特殊到一般的方法归纳出函数单调性的定义及有关概念，通过例题归纳出证明函数单调性的方法、步骤及注意点；估计学生在根据函数图象写出单调区间及对较简单函数的单调性证明能基本掌握。六、板书设计1.函数的单调性的定义2.单调函数、单调区间3.函数单调性的证明 方法：（利用定义作差） 一般步骤（注意点）设作差变形定号结论课题：函数的单调性例1：证明函数在上是增函数。解题过程：课堂练习课堂小结作业布置七、教后反思1.本节课在函数单调性的教学中合理地设置台阶，帮助学生以具体的经验认知为支撑，结合单调性的学情和生成过程开展教学。分三个层次，以螺旋递进的方式，帮助学生掌握相关知识。2.函数的单调性与很多已有的知识、经验、方法有联系， 这些对函数单调性的学习有着积极的意义，同时对函数单调性的理解也使得这些知识的意义得到了扩展.3.概念和意义的综合贯通，不是一次课堂教学所能解决，因此需要在后续教学中多次反思，不断运用.
