1、第1章解三角形第1课时正弦定理(1) 教学过程一、 问题情境 1. 对于“即时体验”中的第2题:“在ABC中,若C=75,A=60,b=,则这个三角形能确定吗?B,a,c能求出来吗?”这个三角形虽然可以确定,但根据我们目前所掌握的知识还不能够求出a,c,这说明了什么呢?这只能说明我们对三角形中的边角之间的关系还缺乏足够的了解,还没有发现它们之间所隐含的规律. 2. 三角形中的边角之间究竟隐含着什么样的规律呢?还是让我们从特殊情况来考察:在RtABC中,C=90,试判定,与之间的大小关系.二、 数学建构问题1对任意三角形,=也成立吗?用几何画板演示,如果不具备条件的话,也可以通过纸笔或计算器来计
2、算任意三角形中三边长与其对角的正弦值之比,让学生通过验证感受到:对任意三角形,都有=问题2验证能代替证明吗?(验证不能代替证明,验证只是表明个别情形或特殊情形成立,还不能说明一般情形或任意情形都成立)问题3如何证明对任意三角形都有=成立呢?(根据教材P5中的途径提示,组织学生进行讨论,最好能由学生给出证明思路)对于=这一关系的证明,我们一起来看下面的证法.(图1)证法一:在ABC中,有=+.不妨设C为最大角,过点A作ADBC于D(如图1),于是=(+)=+,即0=|cos(90+B)+|cos,其中,当C为锐角或直角时,=90-C;当C为钝角时,=C-90.故可得csinB-bsinC=0,即
3、=.同理可得=,所以=.上述等式表明,三角形的各边和它所对角的正弦之比相等.这样,我们得到正弦定理:=.问题4对于正弦定理:=,你还能尝试用其他方法证明吗?(图2)(图3)证法二2:设O是ABC的外接圆,直径BD=2R.(1) 当A为锐角时,如图2,连结CD,则BCD=90,a=2RsinD.又D=A,所以a=2RsinA.(2) 当A为钝角时,如图3,连结CD,则BCD=90,a=2RsinD.又D+A=180,可得sinD=sin(180-A)=sinA,所以a=2RsinA.(3) 当A为直角时,a=2R,显然有a=2RsinA.综上所述,所以不论A是锐角、钝角或直角,总有a=2Rsin
4、A.同理可证b=2RsinB,c=2RsinC.所以=2R.这就是说,对于任意的三角形,上述关系式均成立,即三角形的各边和它所对角的正弦之比相等,因此,我们得到正弦定理:=2R.正弦定理的变形:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(2R是ABC外接圆的直径);abc=sinAsinBsinC.问题5在课前预习时,“即时体验”中的第2题你解决了吗?三、 数学运用【例1】(教材P7例1)在ABC中,A=30,C=100,a=10,求b,c.(精确到0.01)3(见学生用书课堂本P1)(例1)处理建议(1) 先让学生自己动手作图,看看此三角形是否确定,然后再考虑如何求B,b,c.(2
5、) 理清解题思路:如图,直接应用正弦定理可求出边c;若求边b,则需通过三角形内角和为180先求出角B,再利用正弦定理求出边b.规范板书解B=180-(A+C)=180-(30+100)=50.因为=,所以b=15.32,c=19.70.因此,b,c分别为15.32和19.70.题后反思(1) 此类问题结果为唯一解,学生较易掌握;如果已知两角和两角所夹的边去求其他边角,也是先利用内角和为180求出第三角,再利用正弦定理求出其他边.(2) 因此,对“已知两角与任一边,求其他两边和一角”的问题都能够用正弦定理彻底解决,且解唯一.变式在ABC中,已知A=60,B=45,c=3,求C,a,b.规范板书解
6、C=180-(A+B)=180-(60+45)=75.因为=,所以a=,b=3-3.因此,C,a,b分别为75,和3-3.【例2】根据下列条件解三角形:(1) a=14,b=7,B=60;(2) c=,b=,B=45.4(见学生用书课堂本P2)处理建议(1) 解三角形是指由六个元素中的三个元素(至少有一个是边),求其余三个未知元素的过程;(2) 对于本题,先让学生讨论,尝试解答;然后教师在学生中交流,了解学生的思考过程,投影学生的求解过程,并纠正出现的错误.规范板书解(1) ab, AB, A也是锐角. sinA=, A=45. C=180-(A+B)=180-(45+60)=75, c=7+
7、7.(2) 由正弦定理得sinC=, C1=60,或C2=180-60=120.由于C2+B=120+45=165180,故C2也符合要求.从而C有两解:C1=60,或C2=120.当C1=60时,A1=180-(C1+B)=180-(60+45)=75,a1=1+;当C2=120时,A2=180-(C2+B)=180-(120+45)=15,a2=1-.题后反思(1) 同样是已知两边和一边的对角,但可能出现不同的结果,应向学生强调注意解题的灵活性.(2) 对于第(1)题,如果没有考虑到角A所受到的限制而求出角A的两个解,进而求出边a有两解,那么也可利用三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第
8、三边这一性质进行验证,进而排除不符题意的解.(3) 思考:对于第(1)、(2)题,能否通过作图来分析为什么解的个数不一样?为什么第(2)题产生多解?(引导学生通过作出三角形来思考)“已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角”这类问题情形复杂,但若通过作图来考虑,情形就一目了然了. A为锐角:注意:当ac,故角C有一解;(2) 当a=5时, csinA=5sin45=5, a=csinA,故角C有一解;(3) 当a=时,有cacsinA=5sin45=5,故角C有两解;(4) 当a=时,有aBsinAsinB.处理建议先让学生分析得出条件与三角形的角有关,结论与三角形的角的正弦值有关.但是如何实
9、现条件与结论的转化呢?自然联想到正弦定理.规范板书证明因为a=2RsinA,b=2RsinB,所以ABab2RsinA2RsinBsinAsinB,即ABsinAsinB.题后反思(1) 不能利用正弦函数的单调性进行证明,因为正弦函数在(0,)内不具有单调性;(2) 在ABC中,有ABabsinAsinBcosA180,故A2=150应舍去(或者由ab知Ac2;当C为钝角时,a2+b20,由余弦定理得cosC=0,即a2+b2-c20,所以a2+b2c2.同理可证,当C为钝角时,a2+b2c2.题后反思当C为直角时,则cosC=0,所以a2+b2=c2.因此,余弦定理可以看做是勾股定理的推广.
10、变式钝角ABC的三边的长为连续的自然数,求三边的长.规范板书解不妨设a=n,b=n+1,c=n+2(nN*),则角C为最大角且为钝角. cosC=0, a2+b2-c20, a2+b2c2, n2+(n+1)2(n+2)2, -1nb, AB=60, A有两解, A181.8,A298.2. C1=38.2,C2=21.8.由=,得c1=5,c2=3. SABC=ac1sinB=10或SABC=ac2sinB=6.解法二由余弦定理得72=c2+82-28ccos60,整理得c2-8c+15=0,解得c1=5,c2=3. SABC=ac1sinB=10或SABC=ac2sinB=6.题后反思(1
11、) 在解法一中,注意利用正弦定理应有两种结果,避免遗漏;而解法二更有耐人寻味之处,体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处,即可以用之建立方程,从而运用方程的观点去解决问题,故解法二应引起学生的注意.(2) 通过上述例题,可要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围(已知三边求任意角或已知两边及夹角解三角形),同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的解法.变式在ABC中,已知a=7,c=5,A=120,求的值.规范板书解由余弦定理得72=b2+52-25bcos120,整理得b2+5b-24=0,解得b1=3,b2=-8(舍去).所以=.四、 课堂练习 1. 在ABC中,(
12、1) 若a=20,b=29,c=21,则B=90;(2) 若a=3,c=2,B=150,则b=7.5提示(1) cosB=0, B=90.(2) b2=c2+a2-2cacosB=22+(3)2-223=49, b=7. 2. 若三条线段的长分别为5,6,7,则用这三条线段构成的三角形中最大角的正弦值为.提示不妨设在构成的ABC中,a=5,b=6,c=7,对应的角分别为A,B,C,则最大的角为C. cosC=, sinC=. 3. 在ABC中,若a2=b2+c2+bc,则A=120.提示 cosA=-, A=120.五、 课堂小结通过本节课的学习,我们一起研究了余弦定理的证明方法,同时又进一步
13、了解了向量的工具性作用,并且明确了利用余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题:(1) 已知三边,求三个角;(这类问题由于三边确定,所以三角也确定,故解唯一)(2) 已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.(这类问题第三边是确定的,因而其他两个角唯一,故解唯一;不会产生类似利用正弦定理解三角形时所产生的判断取舍等问题)第4课时余弦定理(2) 教学过程一、 问题情境 1. 你能举出在现实生活中与解三角形有关,但又是正弦定理所解决不了的例子吗? 2. 你能举出在数学本身内部哪些方面有可能会运用到余弦定理知识的例子吗?二、 数学运用(例1)【例1】如图,甲船以30n mile/h的速度向正北方向
14、航行,乙船按某固定方向匀速直线航行.当甲船位于A1处时,乙船位于甲船北偏西105方向的B1处,此时两船相距20n mile;当甲船航行20min到达A2处时,乙船航行到甲船北偏西120方向的B2处,此时两船相距10n mile.问:乙船每小时航行多少海里?2(见学生用书课堂本P7)处理建议(1) 让学生读懂题意,帮助学生正确构造三角形是关键;(2) 让学生自己结合题设条件、正弦定理或余弦定理求解.规范板书解如图1,连结A1B2,由已知得A2B2=10,A1A2=30=10, A1A2=A2B2.又A1A2B2=180-120=60, A1A2B2是等边三角形, A1B2=A1A2=10.由已知
15、得A1B1=20,B1A1B2=105-60=45.(图1)在A1B2B1中,由余弦定理得B1=A1+A1-2A1B1A1B2cos45=202+(10)2-22010=200, B1B2=10.因此,乙船的速度为60=30(n mile/h).答:乙船每小时航行30n mile.变式如图2,若连结A2B1,此题又如何求解呢?(图2)规范板书解如图2,连结A2B1,由已知得A1B1=20,A1A2=30=10,B1A1A2=105.在A2A1B1中,由余弦定理得A2=A1+A1-2A1B1A1A2cos105=(10)2+202-21020=100(4+2), A2B1=10(1+).由正弦定
16、理得sinA1A2B1=sinB1A1A2=, A1A2B1=45,则B1A2B2=60-45=15.在B1A2B2中,A2B2=10,由余弦定理得B1=A2+A2-2A2B1A2B2cos15=10(1+)2+(10)2-210(1+)10=200, B1B2=10.因此,乙船的速度为60=30(n mile/h).答:乙船每小时航行30n mile.题后反思变式的解法也是构造三角形的一种方法,但计算量大,通过比较,要让学生善于利用条件优化解题过程.【例2】在ABC中,已知acosB=bcosA,试判断ABC的形状.3(见学生用书课堂本P8)处理建议对于三角形形状的判断,可以根据角的关系,也
17、可以根据边的关系,所以在已知条件的运用上,可以考虑两种途径: 将边转化为角; 将角转化为边.让学生从这两个角度进行分析.规范板书解法一(利用余弦定理化角为边)acosB=bcosAa=bc2+a2-b2=b2+c2-a2, 2a2=2b2,即a=b.故此三角形是等腰三角形.解法二(利用正弦定理化边为角)acosB=bcosA2RsinAcosB=2RsinBcosA, sinAcosB-cosAsinB=0, sin(A-B)=0(亦可变到tanA=tanB). -A-B, A-B=0,即A=B.故此三角形是等腰三角形.题后反思(1) 在判定三角形形状时,一般考虑从两个方向进行变形,一个方向是
18、边,走代数变形之路,通常是正、余弦定理结合使用;另一个方向是角,走三角变形之路,通常是运用正弦定理,要求学生注重边角转化的桥梁正(余)弦定理.(2) 走三角变形之路,就要熟练掌握三角公式,应注意在根据三角函数值求角时,一定要先确定角的范围.变式在ABC中,已知2cosBsinA=sinC,试判断ABC的形状.规范板书解法一2cosBsinA=sinC2cosBsinA=sin-(A+B)2cosBsinA=sin(A+B)2cosBsinA=sinAcosB+cosAsinBcosBsinA=cosAsinB=tanA=tanB.又A,B(0,),所以A=B.因此,ABC为等腰三角形.解法二由
19、正、余弦定理得2cosBsinA=sinC2=c2+a2-b2=c2a2=b2a=b.因此,ABC为等腰三角形.【例3】(根据教材P16例6改编)在ABCD中,证明:AC2+BD2=2(AB2+AD2).4(例3)(见学生用书课堂本P8)处理建议(1) 利用正(余)弦定理的前提是必须在三角形中,在四边形中如何选择有用的三角形是关键;(2) 任何一个三角形都不可能包含四边,因此必须选择两个三角形,让学生按此思路,往下思考.规范板书证明设ABC=,BCD=-.在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos.在BCD中,由余弦定理得BD2=CD2+BC2-2CDBCcos(-).因
20、为cos(-)=-cos,CD=AB,BC=AD,将两式相加得AC2+BD2=2(AB2+AD2).题后反思几何证明的关键是把有关量放到三角形中,借助正(余)弦定理,建立它们的关系,从而达到证明的效果,其中构造三角形是关键.(变式)变式(教材P16例6)如图,若AM是ABC中BC边上的中线,求证:AM=.规范板书证明设AMB=,则AMC=180-.在ABM中,由余弦定理,得AB2=AM2+BM2-2AMBMcos.在ACM中,由余弦定理,得AC2=AM2+MC2-2AMMCcos(180-).因为cos(180-)=-cos,BM=MC=BC,所以AB2+AC2=2AM2+BC2,因此,AM=
21、.*【例4】在ABC中,求证:a2sin2B+b2sin2A=2absinC.5处理建议此题所证结论包含ABC的边角关系,证明时可以考虑两种途径:一是把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系;二是把边的关系转化为角的关系,一般是通过正弦定理.让一部分学生走“化为边”这一途径,让另一部分学生走“化为角”这一途径.规范板书证法一(化边为角)a2sin2B+b2sin2A=(2RsinA)22sinBcosB+(2RsinB)22sinAcosA=8R2sinAsinB(sinAcosB+cosAsinB)=8R2sinAsinBsinC=22RsinA2RsinBsinC=2absinC.所以原式
22、得证.证法二(化角为边)左边=a22sinBcosB+b22sinAcosA=a2+b2=(a2+c2-b2+b2+c2-a2)=2c2=2ab=2absinC=右边.所以原式得证.题后反思(1) 由边向角转化,通常利用正弦定理的变形形式(a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC),在转化为角的关系式后,要注意三角函数公式的运用,在此题证明过程中用到了正弦二倍角公式sin2A=2sinAcosA,正弦两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB;由角向边转化,要结合正弦定理变形形式以及余弦定理形式二.(2) 三角形中的有关证明问题,主要是围绕三角形的边和角的三角函
23、数展开,从某种意义上来看,这类问题就是有了目标的含边和角的式子的化简问题.变式已知ABC,请用余弦定理证明:a=bcosC+ccosB.规范板书证明bcosC+ccosB=b+c=a,即有a=bcosC+ccosB.四、 课堂练习 1. 在ABCD中,已知B=120,AB=6,BC=4,则AC=2,BD=2.提示由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB=62+42-264cos120=76, AC=2.由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2ADABcosA=42+62-246cos60=28, BD=2. 2. 在ABC中,证明:b=ccosA+acosC.(请你尝试用两种不同方
24、法证明)证法一ccosA+acosC=2RsinCcosA+2RsinAcosC=2Rsin(A+C)=2Rsin(-B)=2RsinB=b,即b=ccosA+acosC.证法二ccosA+acosC=c+a=b,即证. 3. 在ABC中,已知a,b是方程x2-2x+2=0的两个根,且2cos(A+B)=-1,求c.解 2cos(A+B)=-1, cos(A+B)=-,而0A+B3.8.因此,军舰不改变航向而继续航行,没有触礁的危险.*【例3】如图,已知扇形AOB的圆心角AOB等于60,半径为2,在弧AB上有一动点P,过P引平行于OB的直线和OA交于点C,设AOP=,求POC面积的最大值及此时
25、的值.4(例3)处理建议(1) 先帮助学生分析思路,然后让学生解决;(2) POC的面积会随的变化而变化,所以要用表示POC的面积,因此首先要用表示OC.规范板书解 CPOB, OCP=120, CPO=60-.在POC中,由正弦定理得OC=sin(60-).因此,POC的面积为S()=OPOCsin=sin(60-)sin=sin(2+30)-. 0b情形的图形)满足条件absinAa=bsinAbsinAabab角B解的情况无解一解两解一解一解无解 3. 三角形中一些常用的结论:(1) SABC=acsinB=bcsinA=absinC=r(a+b+c).(其中R,r分别为ABC的外接圆和
26、内切圆的半径)(2) ABabsinAsinB.二、 数学运用正弦定理、余弦定理的应用包括两大方面:一是数学内部的应用;二是实际应用.那么,正弦定理、余弦定理能解决数学内部哪些方面的问题呢?下面我们来看一看在三角形中的运用.(一) 求解三角形中的基本元素【例1】在ABC中,已知a=2, c=+, B=45, 求b及A1.(见学生用书课堂本P13)处理建议引导学生审题,根据条件,已知a, c及其夹角B,自然想到先用余弦定理求出b;对于角A,可以利用余弦定理求得,也可以利用正弦定理求得.规范板书 b2=a2+c2-2accosB=(2)2+(+)2-22(+)cos45=12+(+)2-4(+1)
27、=8, b=2.求A可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理:解法一 cosA=, 又A(0, 180), A=60.解法二 sinA=sinB=sin45=, 又 +2.2+1.4=3.6, 221.8=3. 6, ac, 则0AsinB,试判断ABC的形状.规范板书解因为角A,B均为锐角,所以-A,B都是锐角.因为cosAsinB,所以cosA=sinsinB,则-AB,即A+B,所以ABC为钝角三角形.(三) 三角形中的证明问题【例3】已知ABC,证明:-=-.3(见学生用书课堂本P14)处理建议三角形中同时含有边和角的等式的证明,通常要用正(余)弦定理进行边角归一,一是归为边的代数恒等式的
28、证明,二是归为角的三角恒等式的证明.规范板书证明左边=-=-=-=-=右边.故原命题得证.变式已知ABC,证明:(a2-b2-c2)tanA+(a2-b2+c2)tanB=0.规范板书证明左边=(a2-b2-c2)+(a2-b2+c2)=(a2-b2-c2)+(a2-b2+c2)=(a2-b2-c2)+(a2-b2+c2)=-+=0=右边.故原命题得证.题后反思(1) 例3的证明过程中用到了余弦二倍角公式,而此公式有三种形式(cos2A=cos2A-sin2A,cos2A=2cos2A-1,cos2A=1-2sin2A),由于考虑到等式右端为边的关系,故选用第三种形式,在转化为边的关系时较为简
29、便.(2) 在变式题证明时应注意两点:一是切化弦的思路,二是结合正、余弦定理将角的关系转化为边的关系.(四) 三角形中的求值问题【例4】在ABC中,已知c=2,C=.(1) 若ABC的面积等于,求a,b;(2) 若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求ABC的面积.4(见学生用书课堂本P14)处理建议主要是利用正、余弦定理,并结合三角形的面积公式来解题.规范板书解(1) 由题意得a2+b2-ab=4,absinC=,所以ab=4,联立方程组解得(2) 由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,即sinBcosA=2sinAcosA,即cosA(sinB-2sinA)
30、=0.当cosA=0时,A=,B=,a=,b=;当cosA0时,得sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a,联立方程组解得所以ABC的面积S=absinC=.题后反思(1) 对于三角形中的求值问题,主要是利用正、余弦定理,并结合三角形的面积公式来解题;除此之外,更要善于利用方程思想来解题.(2) 可将第二小题作为变式让学生练习,让他们体会方程思想的应用.(五) 正、余弦定理在几何中的应用*【例5】如图,在梯形ABCD中,ADBC,AB=5,AC=9,BCA=30,ADB=45,求BD的长.5(例5)处理建议帮助学生分析思路: 由于AB=5,ADB=45,因此要求BD,可在ABD中,通过正弦定
31、理求解,关键是确定BAD的正弦值; 在ABC中,AB=5,AC=9,BCA=30,因此可利用正弦定理求出sinABC,再依据ABC与BAD互补,确定sinBAD即可.规范板书解在ABC中,由正弦定理得sinABC=. ADBC, BAD=180-ABC, sinBAD=sinABC=.在ABD中,由正弦定理得BD=.题后反思正、余弦定理在几何中的应用: 首先根据已知量和未知量确定未知量所在的三角形; 其次确定与未知量相关联的量; 最后把要求解的问题转化到由已知条件可直接求解的量上来.(变式)变式如图,我炮兵阵地位于A处,两观察所分别设于B,D处,已知ABD是边长等于a的正三角形,当目标出现于C
32、处时,测得BDC=45,CBD=75,求炮击目标的距离AC.规范板书解在BCD中,由正弦定理得=, BC=a.在ABC中,由余弦定理得AC2=+a2-2aacos135=a2, AC=a.答:炮击目标的距离AC为a.三、 课堂练习 1. 在ABC中,若A=60,b=1,SABC=,则a=.提示SABC=bcsinA=1csin60=c=, c=4,从而a2=b2+c2-2bccosA=1+16-4=13, a=. 2. 若ABC的三个内角满足sinAsinBsinC=51113,则ABC的形状为钝角三角形.提示由正弦定理可得abc=51113.设a=5t,b=11t,c=13t,由余弦定理得c
33、osC=-0,所以C为钝角,故ABC为钝角三角形. 3. 在ABC中,已知=.(1) 求的值;(2) 若cosB=,b=2,求ABC的面积S.解(1) =可化为=,即cosAsinB-2cosCsinB=2sinCcosB-sinAcosB,则cosAsinB+sinAcosB=2sinCcosB+2cosCsinB,所以sin(A+B)=2sin(C+B).而A+B+C=,则sinC=2sinA,即=2.(也可以尝试用余弦定理来处理)(2) 由(1)得c=2a,由余弦定理得4=c2+a2-2accosB=4a2+a2-a2=4a2,所以a=1,c=2.S=acsinB=12=.四、 课堂小结
34、掌握利用正、余弦定理解决三角形内部问题的常见题型的处理方法和技巧.第8课时本章复习(2) 教学过程一、 知识梳理实际应用问题的处理方法和步骤归纳:(1) 一般步骤: 分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图; 建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解三角形的数学模型; 求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解; 检验:检验上述所求的解是否具有实际意义,从而得出实际问题的解.(2) 实际应用问题常有以下几种情形: 实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解; 实际问题经抽象概括后,已知量
35、与未知量涉及两个三角形或多个三角形,这时需按顺序逐步在几个三角形中求出问题的解; 实际问题经抽象概括后,涉及的三角形只有一个,但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理.二、 数学运用正弦定理、余弦定理的应用包括两大方面:一是数学内部的应用;二是实际应用.那么,正弦定理、余弦定理能解决实际应用中哪些方面的问题?下面我们来看一看在实际应用问题中的运用.(一) 与距离有关的问题【例1】如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶.在水面A处的船上测得B,D两点的仰角分别为75和30,在水面C处的船上测得B,D两点的仰角均为60,AC=0.1km.(
36、例1)(1) 求证:AB=BD.(2) 求BD的长.1(见学生用书课堂本P15)处理建议思路解析:(1) 由已知角度不难求得BCD,且易得AC=DC关系,利用三角形全等可得AB=BD;(2) 求BD只需将其转化在某个三角形中利用已知条件即可求.规范板书证明(1) 在ACD中,DAC=30,ADC=60-DAC=30, CD=AC.又BCD=180-60-60=60, BCD=BCA, ACBDCB. BD=BA.(2) 在ABC中,由正弦定理得AB=, BD=AB=(km).题后反思(1) 要让学生熟练掌握正、余弦定理的应用;(2) 注意平面几何知识在求解过程中的应用.变式如图,公路MN和PQ
37、在P处交汇,且QPN=30,在A处有一所中学,AP=160m.假设拖拉机行驶时,周围100m以内会受到噪声的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到影响?请说明理由;如果学校受到影响,已知拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间为多少?(变式)规范板书解作ABMN,垂足为B.在RtABP中, ABP=90,APB=30, AB=PA=80(m). 点A到直线MN的距离小于100m,所以这所中学会受到噪声的影响.如图,若以A为圆心、100m长为半径画圆,那么A和直线MN有两个交点,设交点分别为C,D,连结AC和AD,则AC=AD=100m.根据勾股定理和垂径定理得CD
38、=2CB=2=120(m), 学校受到噪声影响的时间为3600=24(s).(二) 与高度有关的问题【例2】某人在山顶观察地面上相距2500m的A,B两个目标,测得A在南偏西57的方向上,俯角为30,同时测得B在南偏东78的方向上,俯角是45,求山高.(设A,B与山底在同一平面上,计算结果精确到0.1m)2(见学生用书课堂本P15)处理建议让学生分析思路:(1) 在RtAPQ和RtBPQ中,用高表示AQ,BQ;(2) 在斜ABQ中,利用余弦定理建立方程,解出高.规范板书解画出示意图(如图).(1)(2)(例2)设山高PQ=h,则在RtAPQ和RtBPQ(如图(1)中,AQ=h,BQ=h.在斜A
39、BQ(如图(2)中,AQB=57+78=135,所以由余弦定理得AB2=AQ2+BQ2-2AQBQcosAQB,即25002=+h2-2hhcos135,解得h=984.4(m).所以山高约984.4m.题后反思(1) 在测量高度时,要理解仰角、俯角的概念,仰角和俯角都是在同一铅垂面内视线与水平线的夹角;(2) 准确理解题意,分清已知与所求,画出示意图;(3) 运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解问题的答案,注意方程思想的运用.变式如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D.现测得BCD=75,BDC=60,CD=s,并在点C处测得塔顶A的仰角为3
40、0,求塔高AB.(变式)规范板书解在BCD中,CBD=180-(75+60)=45,由正弦定理得BC=s.在RtABC中,AB=BCtan30=s.所以塔高AB为s.(三) 与角度有关的问题【例3】在海岸A处,发现北偏西75的方向、距离A处2n mile的B处有一艘走私船,若在A处北偏东45的方向、距离A处(-1)n mile的C处的缉私船奉命以10n mile/h的速度追截走私船,此时,走私船正以10n mile/h的速度从B处沿北偏西30的方向逃窜,问:缉私船沿什么方向才能最快追上走私船?所需时间为多少?3(见学生用书课堂本P16)处理建议思路解析:本例考查了正弦定理、余弦定理的建模应用.
41、如图所示,注意到最快追上走私船且两船所用时间相等,若在D处相遇,则可先在ABC中求出BC,再在BCD中求BCD.规范板书解设xh后,它们在D处相遇,则CD=10xn mile,BD=10xn mile,CBD=120.(例3)在ABC中,AB=2,AC=-1,BAC=120,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC=22+-22(-1)cos120=6, BC=.而sinACB=, ACB=45, BC与正北方向垂直.在BCD中,CBD=90+30=120,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BCBDcosCBD,即=+(10x)2-210xcos120,整理得200x2-
42、10x-6=0,解得x=或x=-(舍去).因此,在BCD中,BD=,CD=3,CBD=120.由正弦定理得sinBCD=, BCD=30. 缉私船沿北偏西60的方向才能最快追上走私船,所需时间为h.题后反思(1) 测量角度,首先应明确方位角、方向角等含义;(2) 在解应用题时,应先分析题意,分清已知与所求,再根据题意正确画出示意图,通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题,解题中要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点.变式如图,已知海中一小岛A周围38n mile内有暗礁,一船正在向南航行,在B处测得小岛A在船的南偏东30的方向上,船航行30n mile后,在C处测得小岛A在船的南
43、偏东45的方向上,如果此船不改变航向,继续往南航行,有无触礁的危险?(变式)处理建议船继续向南航行,有无触礁的可能取决于A到直线BC的距离是否大于38n mile.于是我们只要先算出AC(或AB)的大小,再算出A到直线BC的距离,将它与38n mile比较即可得到答案.规范板书解在ABC中,BC=30,B=30,ACB=135, A=15.由正弦定理得=,即=, AC=15(+). A到直线BC的距离为ACsin45=15(+1)40.98(n mile),它大于38n mile,因此船不改变航向,继续向南航行,没有触礁的危险.四、 课堂练习 1. 如图,在ABC中,已知B=45,D是BC边上
44、的一点,AD=10,AC=14,DC=6,则AB边的长为5.(第1题)2. 已知锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,则b=5. 3. 某人在C点测得某塔在南偏西80的方向上,塔顶仰角为45,此人沿南偏东40的方向前进10m到达D点,测得塔顶A的仰角为30,求塔高.解如图,设塔高为h,在RtACO中, ACO=45,则OC=OA=h.在RtADO中, ADO=30,则OD=h.在OCD中,OCD=80+40=120,CD=10,由余弦定理得OD2=OC2+CD2-2OCCDcosOCD,即(h)2=h2+102-2h10cos120,整理得h2-5h-50=0,解得h=10或h=-5(舍去).答:塔高为10m.(第3题)五、 课堂小结有关斜三角形的实际问题,其解题的一般步骤是:(1) 准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理解应用题中的有关名词和术语;(2) 画出示意图,并将已知条件在图形中标出;(3) 分析与所研究问题有关的一个或几个三角形,合理运用正弦定理和余弦定理求解.
