1、四川省南充高级中学2020届高三数学2月线上月考试题 文（含解析）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数满足，则的共轭复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案【详解】由z（1i）=2，得z=，则z的共轭复数对应的点的坐标为（1，1），位于第四象限故选D【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题2.已知集合A，则AB的元素个数
2、是( )A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B【解析】【分析】首先求解方程组，得到两曲线的交点坐标，进而可得答案【详解】联立，解得即和的图象有3个交点，集合有3个元素，故选B.【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了方程组的解法，是基础题3.质监部门对2辆新能源汽车和3辆燃油汽车进行质量检测，现任取2辆，则选中的2辆都为燃油汽车的概率为（ ）A. 0.6B. 0.5C. 0.4D. 0.3【答案】D【解析】【分析】对所有车辆编号，能源车与燃油车区别开来，用列举法写出任取2辆的所有情况计数后可求得概率【详解】2辆新能源汽车编号为，3辆燃油汽车编号为，任取2辆的所有情况如下：共10种，其中2辆都
3、为燃油汽车的有共3种，所以所求概率为故选：D【点睛】本题考查古典概型，解题时可用列举法写出所有的基本事件，得事件的总数，然后再计算出所求概率事件所包含的基本事件的个数即可计算概率4.若，且，则的值等于( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：，.考点：三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系5.已知椭圆（ab0）与双曲线（a0，b0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意可得，即，代入双曲线的渐近线方程可得答案.【详解】依题意椭圆与双曲线即的焦点相同，可得：，即，可得,双曲线的渐近线方程为：,故选A【点睛】本题考
4、查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题6.已知向量，且，则m=( )A. 8B. 6C. 6D. 8【答案】D【解析】【分析】由已知向量的坐标求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案【详解】，又，34+（2）（m2）0，解得m8故选D【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题7.在解三角形的问题中，其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边直接求三角形的面积，据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，他得到了海伦公式即，其中.我国南宋著名数学家秦九韶（约1202-1261）也在数书九章里面给出了一个等价解法，这个解
5、法写成公式就是，这个公式中的应该是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先根据三角形面积公式,确定应该等于,再根据余弦定理得到答案.【详解】因为，所以.选C.【点睛】本题考查余弦定理、三角形面积公式、同角三角函数关系式，考查基本分析求解能力.属基本题.8.已知函数，则下列结论正确的是（ ）A. 的最大值为1B. 的最小正周期为C. 的图像关于直线对称D. 的图像关于点对称【答案】C【解析】【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简得f(x)的解析式，再利用三角函数函数性质考查各选项即可【详解】函数= sin（2x）+1对于A：根据f（x）sin（2x）+1可知最大值为2；则A不
6、对；对于B：f（x）sin（2x）+1，T则B不对；对于C：令2x=，故图像关于直线对称则C正确；对于D：令2x=，故的图像关于点对称则D不对故选C【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键9.直三棱柱中，则直线与所成角的大小为A. 30B. 60C. 90D. 120【答案】B【解析】【分析】作出异面直线所成的角，然后求解即可【详解】因为几何体直三棱柱，BCB1C1，直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1平面ABC，连结，取BC的中点H,连结OH，则直线与所成的角为就是 设易得 ，三角形AOH是正三角形，异面直线所成角为60故选B【点睛】本题
7、考查异面直线所成角的求法，考查计算能力10.已知函数为定义在上的奇函数，是偶函数，且当时，则（ ）A. -3B. -2C. -1D. 0【答案】C【解析】【分析】先通过分析求出函数f(x)的周期，再利用函数的周期求值得解.【详解】因为函数是偶函数，所以所以函数f(x)的图像关于直线x=2对称，所以所以，所以，所以函数的周期为8，所以.故选C【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、对称性和周期性应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.已知O为坐标原点，抛物线C：y2=8x上一点A到焦点F的距离为6，若点P为抛物线C准线上的动点，则|OP|+|AP|的最小值为（）A. 4B. C
8、. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知条件，结合抛物线性质求出A点坐标，求出坐标原点关于准线的对称点的坐标点B，由|PO|PB，|知|PA|+|PO|的最小值为|AB|，由此能求出结果【详解】抛物线y2=8x的准线方程为x=-2，|AF|=6，A到准线的距离为6，即A点的横坐标为4，点A在抛物线上，不妨设为第一象限，A的坐标A（4，4）坐标原点关于准线的对称点的坐标为B（-4，0），|PO|=|PB|，|PA|+|PO|的最小值：|AB|= 故选C【点睛】本题主要考查抛物线的相关知识两条线段之和的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用12.已知函数有两个极值点
9、，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】函数定义域是R，函数有两个极值点，其导函数有两个不同零点；将导函数分离参数m后构造出的关于x的新函数与关于m的函数有两个不同交点，借助函数单调性即可确定m的范围.【详解】函数的定义域为，.因为函数有两个极值点，所以有两个不同的零点，故关于的方程有两个不同的解，令，则，当时，当时，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，又当时，；当时，且，故，所以，故选B.【点睛】本题考查了利用函数极值点性质求解参数范围，解题中用到了转化思想和分离参数的方法，对思维能力要求较高，属于中档题；解题的关键是通过分离参数的方法，将问题转化
10、为函数交点个数的问题，再通过函数导数研究构造出的新函数的单调性确定参数的范围.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若满足约束条件，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】作出、满足约束条件可行域，再由得，从而求的最小值【详解】画出、满足约束条件可行域如下图，由得；平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的纵截距最小，此时最小，由解得；故此时；故答案为【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键属于中档题14.已知函数在点处的切线方程为，则_【答案】3【解析】【分析】由f（x）aex+b，得f（x），因为函数f（x）在点（0，f（0）处的
11、切线方程是y2x+1，故（0，f（0）适合方程y2x+1，且f（0）2；联立可得结果【详解】由f（x）aex+b，得f（x）aex，因为函数f（x）在点（0，f（0）处的切线方程是y2x+1，所以解得a2，b1ab3故答案为3【点睛】本题主要考查函数与导数的关系，特别是曲线的切线与函数导数之间的关系，属于中档题15.代号为“狂飙”的台风于某日晚8点在距港口的码头南偏东60的400千米的海面上形成，预计台风中心将以40千米/时的速度向正北方向移动，离台风中心350千米的范围都会受到台风影响，则码头从受到台风影响到影响结束，将持续多少小时_【答案】2.5【解析】【分析】是台风中心，移动时间为，由余
12、弦定理求出，解不等式可得结论【详解】如图，是台风中心，上正北方向，设台风移动时间为小时，则，又，由，解得，故答案为：2.5.【点睛】本题考查解三角形的应用，根据图形选择恰当的公式是解题关键16.已知所在平面与矩形所在平面互相垂直，且满足，则多面体的外接球的表面积为_【答案】【解析】【分析】取中点，是矩形对称线交点，连接EF,FG，作，可设是外接球球心求出半径即可得面积【详解】取中点，是矩形对称线交点，连接EF,FG，作，由已知是等边三角形，又平面平面，平面，平面平面，平面，则平面设是外接球球心，由平面和平面得，是直角梯形，设，而，即，解得，故答案为：【点睛】本题考查四棱锥外接球表面积，解题关键
13、是确定外接球的球心位置，从而求得球半径棱锥的外接球球心一定在过各面外心用与此面垂直的直线三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设数列满足，其中.（）证明：是等比数列；（）令，设数列的前n项和为，求使成立的最大自然数n的值.【答案】（）证明见解析（）【解析】【分析】（）由递推公式凑出与的关系，即可得证（）由（）可得，即可得到的通项公式，再用错位相减法求和，证明其单调性，可得得解.【详解】解：（） 是首项为，公比为的等比数列（）由（）知，即，减得.，单调递增.，.故使成立的最大自然数.【点睛】本题考查利用递推公式证明函数是等比数列，以及错位相减法求和，属于中档题.18
14、.交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通拥堵指数为，其范围为，分别有五个级别：畅通；基本畅通；轻度拥堵；中度拥堵；严重拥堵.晚高峰时段（），从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通拥堵指数数据绘制的直方图如图所示.（）用分层抽样的方法从交通指数在，的路段中共抽取个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；（）从（）中抽出的个路段中任取个，求至少有个路段为轻度拥堵的概率.【答案】（）；（）【解析】【分析】（）分别求，这三个级别的路段，然后求抽样比，再求三个级别抽取的路段的个数；（）根据（）的结果，分别设个轻度拥堵路段为，选取的个中度拥堵路段为，选取的个严重拥堵路段为，然后
15、按照列举法求概率.【详解】（）由直方图可知：，.所以这20个路段中，轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段分别为6个，9个，3个.拥堵路段共有个，按分层抽样从18个路段中选出6个，每种情况分别为：，即这三个级别路段中分别抽取的个数为.（）记（）中选取的个轻度拥堵路段为，选取的个中度拥堵路段为，选取的个严重拥堵路段为，则从个路段选取个路段的可能情况如下：，共15种可能，其中至少有个轻度拥堵的有：，共9种可能，所以所选个路段中至少个路段轻度拥堵的概率为：.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用和古典概型，意在考查分析数据，解决问题的能力，属于基础题型.19.如图1所示，在等腰梯形ABCD中，垂足为E，将沿
16、EC折起到的位置，如图2所示，使平面平面ABCE.（1）连结BE，证明：平面；（2）在棱上是否存在点G，使得平面，若存在，直接指出点G的位置不必说明理由，并求出此时三棱锥的体积；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点G为的中点，.【解析】【分析】（1）通过面面垂线的性质定理，证得平面ABCE，由此证得.利用勾股定理计算证明，从而证得平面.（2）通过线面平行的判定定理，判断出点G为的中点.利用换顶点的方法，通过，来计算出三棱锥的体积.【详解】1因为平面平面ABCE，平面平面，平面，所以平面ABCE，又因为平面ABCE，所以 ，又，满足，所以，又，所以平面.2在棱上存在点G
17、，使得平面，此时点G为中点.， 由1知，平面ABCE，所以，又，所以平面，所以CE为三棱锥的高，且， 在中，G为斜边的中点，所以，所以.故，在棱上存在点G，使得平面，此时三棱锥体积为.【点睛】本小题主要考查线面垂线的证明，考查面面垂直的性质定理的运用，考查三棱锥体积的计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20.如图，已知抛物线的焦点是，准线是，抛物线上任意一点到轴的距离比到准线的距离少2.（1）写出焦点的坐标和准线的方程；（2）已知点，若过点的直线交抛物线于不同的两点（均与不重合），直线分别交于点，求证：.【答案】（1）焦点为，准线的方程为；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）由
18、已知得抛物线的准线方程为，从而得抛物线方程，焦点坐标；（2）设直线的方程为：，令,直线方程代入抛物线方程，整理后由韦达定理得，由直线方程求出的坐标，计算即可证得结论【详解】解：（1）由题意知，任意一点到焦点的距离等于到直线的距离，由抛物线的定义得抛物线标准方程为，所以抛物线的焦点为，准线的方程为；（2）设直线的方程为：，令，联立直线的方程与抛物线的方程，消去得，由根与系数的关系得：直线方程为：，当时，同理得：，.【点睛】本题考查抛物线的几何性质，考查直线与抛物线相交问题设出直线方程，设出交点坐标，由韦达定理得出，代入证明其为0这就是设而不求思想21.已知函数（为自然对数的底数），.（1）当时，
19、求函数的极小值；（2）若当时，关于的方程有且只有一个实数，求实数的取值范围.【答案】（1）0；（2）.【解析】分析】（1）求出导函数，由导数确定单调性，然后得极值；（2）设，求出导数，对再求导，以确定的单调性和正负，是的最小值，分类讨论，若，易知结论成立，当时，说明存在，使得，然后得的单调性，确定有两个零点，不满足题意从而得出的范围详解】解：（1）当时，令，则列表如下：1-0+单调递减极小值单调递增所以；（2）设，设，由得，在单调递增，即在单调递增，当，即时，时，在单调递增，又，故当时，关于的方程有且只有一个实数解.当，即时，由（1）可知，所以，又，故，当时，单调递减，又，故当时，在内，关于的
20、方程有一个实数解1，又时，单调递增，且，令，故在单调递增，又，当时，在单调递增，故，故，又，由零点存在定理可知，故在内，关于的方程有一个实数解，又在内，关于的方程有一个实数解1，综上，.【点睛】本题考查用导数求函数的极值，用导数研究函数的零点零点存在定理保证函数有零点，函数的单调性可以确定零点的个数用导数研究函数的单调性是解题关键22.在新中国成立周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情.在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线.如图，在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系。图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为
21、（），为该曲线上的任意一点.（1）当时，求点的极坐标；（2）将射线绕原点逆时针旋转与该曲线相交于点，求的最大值.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】(1)将代入解得即可得到答案;(2) 由题意可设，.,将它们代入到,得到,再利用勾股定理和三角函数性质可求得答案.【详解】解：（1）设点在极坐标系中的坐标，由，得，或所以点的极坐标为或（2）由题意可设，.由，得，.故时，的最大值为.【点睛】本题考查极径的几何意义,三角函数的性质,利用极径的几何意义是解题关键,属于基础题.23.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）记的最大值为m，且正实数a，b满足，求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）分类去绝对值符号后解不等式，最后合并解集；（2）由（1）可得m，用凑配法得出可用基本不等式的形式，求得最值 【详解】（1）当时，恒成立，当时，解得，当时，不成立，无解，综上，原不等式的解集为（2）由（1），当且仅当，即时等号成立，的最小值是【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查用基本不等式求最值解绝对值不等式常用方法就是根据绝对值定义去掉绝对值符号后再解之用基本不等式求最值常常用“1”的代换凑配出基本不等式中需要的定值，从而求得最值
