1、1割补法求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出体积，从而得到几何体的体积2等积法等积法包括_等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高3组合体的面积和体积计算与球有关的组合体问题，一种是内切；一种是外接解题时认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出适合的截面图等面积法和等体积法考点一 等体积法求距离示范1(2010 广东文)如图所示，AEC是半径为 a 的半圆，AC 为直径，E 为AC 的中点，B 和 C 分别为线段 AD 的三等分点，平面 AEC 外一点 F 满足
2、 FC平面 BED，FB 5a，(1)求证：EBFD；(2)求点 B 到平面 FED 的距离解析 每年高考必考内容之一为立体几何，这部分内容无非第一问位置关系的判定，第二问空间度量关系包括空间角和空间距离此题中要证线垂直线，可先证线垂直面(1)EBACFC平面EBDBEFC BE平面 FCDBEFD.(2)BE平面 FBD，VEFBD1312|BD|FC|BE|2a33，又 BEBD，由勾股定理 DE 5a，同理 DF 5a.EFD 为等腰三角形，VBEFDVEFBD，13SEFDh2a33，h4 2121 a.【点评】立体几何问题需要考生有较强的空间想象能力，观察力，逻辑思维能力.尤其重视转
3、化思想的运用.展示1 如图所示，已知直三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱和底面边长都是 a，截面 AB1C 和截面 A1BC1 相交于 DE，(1)求三棱锥 BA1B1C1 的体积；(2)求三棱锥 BB1DE 的体积【解析】(1)在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，三棱锥 BA1B1C1 与三棱柱 ABCA1B1C1 等底面积等高，三棱锥 BA1B1C1 的体积 V13 34 a2a 312a3.(2)由题意，可知四边形 AA1B1B 和四边形 BB1C1C 都是正方形且 D，E 分别是正方形 AA1B1B 和正方形 BB1C1C 的中心D，E 分别是 A1B 和 BC1 的中点，DEA1C1
4、 且 DE12A1C1.1BB DEV 14111BA BCV14111BA B CV 348a3.方法点拨：求某些空间几何体的体积，直接求解可能不方便，转换成顶点与底面后较方便简捷.考点二用割补法求不规则几何体的体积示范2 如图所示，已知 P 为三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱AA1 上的一个动点，若四棱锥 PBCC1B1 的体积为 V，则三棱柱 ABCA1B1C1 的体积为()A2V B3V C4V3D3V2分析 分析四棱锥 PBCC1B1 与三棱柱 ABCA1B1C1 的关系，找出它们之间的体积的内在联系解析 设三棱柱 ABCA1B1C1 的高为 h，体积为 V，则VPABC111PA
5、 B CV 13SABCh13V，从而四棱柱 PBCC1B1的体积 V23V，V32V，故选 D.答案 D【点评】在求解几何体体积时，要注意图形的特点，特别要注意“割补法”与“等积法”的思想方法的运用展示2 如下图所示，已知在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD是边长为 1 的正方形且ADE，BCF 均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为()A.23 B.32C.43 D.32【答案】A【解析】如下图所示，分别过点 A，B 作 EF 的垂线，垂足分别为 G，H，连接 DG，CH，容易求得 EGHF12，AGGDBHHC 32，SAGDSBHC12 22 1 24，VVEADGV
6、FBHCVAGDBHC13 24 1213 24 12 24 1 23.故选 A.方法点拨：在计算不规则几何体的体积时，经常会用到“等积变换”“分割求和”“拼补求差”等方法.考点三组合体的表面积和体积示范3 如下图所示，已知正四面体 ABCD 的外接球的体积为 4 3，求正四面体的体积分析 设法寻求正四面体的棱长与球的半径之间的关系解析 法一 由已知，43R34 3，R 3.设 AE 为球的直径故 ADDE，AEO1D.设 ADa，则 O1D23 32 a 33 a，故 AO1 63 a，O1E2RAO12 3 63 a.由射影定理知，O1D2AO1O1E，解得 a2 2.故 V13 34 a
7、2AO183.法二 将正四面体 ABCD 置于正方体中正四面体的外接球即为正方体的外接球，正方体的对角线长为球的直径由 V 球4 3 得 R 3，正方体棱长为 2，所以 AB2 2，SBCD122 22 2sin 602 3.点 A 到平面 BCD 的距离 h232R4 33，VABCD13SBCDh83.【点评】对于某些简单几何体的组合体问题，一般是通过作出截面，使构成组合体的各简单几何体的元素，相对地集中在一个平面图形中.以达到空间问题向平面问题的转化，这种转化思想是解决立体几何问题的重要思想.展示3(2008 宁夏、海南)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面已知该六棱柱的顶点都在同
8、一个球面上且该六 棱 柱 的 体 积 为 98，底 面 周 长为 3，则 这 个 球 的体 积 为_【答案】43【解析】如下图所示，球心应在上、下底面中心连线 OO1 的中点底面周长为 3，边长为12.由体积为98，得侧棱长为 3，O1C112.R2O1C2112OO121.R1，V 球43R343.方法点拨：解决组合体问题，关键是解决半径问题，常常选择适当的轴截面将其转化为平面几何问题来解决.对于球的外接、内切问题，关键是弄清楚几何体的哪一个几何量线段长“充当”了球的直径或半径的角色.高考中考查表面积和体积的问题，主要可分为以下三类：1柱体、锥体、台体的侧面积分别是侧面展开图的面积，因此，弄
9、清侧面展开图的形状及各线段的位置关系是求侧面积及解决有关问题的关键2柱体、锥体、台体的体积关键是找到相应的底面积和高充分运用多面体面及旋转体的轴截面，将空间问题转化成平面问题3球的有关问题，注意球半径、截面圆半径、球心到截面距离构成的直角三角形.1(2010 江苏)如图所示，已知在四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，PDDCBC1，AB2，ABDC，BCD90，(1)求证：PCBC；(2)求点 A 到平面 PBC 的距离【解析】(1)因为 PD平面 ABCD，BC平面 ABCD，所以 PDBC.由BCD90，得 BCDC.又 PDDCD，PD平面 PCD，DC平面 PCD，所以 BC平
10、面 PCD.因为 PC平面 PCD，所以 PCBC.(2)连接 AC，设点 A 到平面 PBC 的距离为 h，因为 ABDC，BCD90，所以ABC90.从而由 AB2，BC1，得ABC 的面积 SABC1.由 PD平面 ABCD 及 PD1，得三棱锥 PABC 的体积V13SABCPD13.因为 PD平面 ABCD，DC平面 ABCD，所以 PDDC.又 PDDC1，所以 PC PD2DC2 2.由 PCBC，BC1，得PBC 的面积 SPBC 22，由 V13SPBCh13 22 h13，得 h 2.2(2011 江西)(1)如图所示，对于任一给定的四面体 A1A2A3A4，找出依次排列的
11、四个相互平行的平面 1，2，3，4，使得 Aii(i1,2,3,4)且其中每相邻两个平面间的距离都相等；(2)给定依次排列的四个相互平行的平面 1，2，3，4，其中每相邻两个平面间的距离都为 1，若一个正四面体A1A2A3A4 的四个顶点满足 Aii(i1,2,3,4)，求该正四面体A1A2A3A4 的体积【解析】(1)如图所示，取 A1A4 的三等分点 P2，P3，A1A3的中点 M，A2A4 的中点 N，过三点 A2，P2，M 作平面 2，过三点 A3，P3，N 作平面 3，因为 A2P2NP3，A3P3MP2，所以 23，再过点 A1，A4 分别作平面 1，4 与平面 2 平行，那么四个
12、平面1，2，3，4 依次相互平行由线段 A1A4 被平行平面 1，2，3，4 截得的线段相等知其中每相邻两个平面间的距离相等故1，2，3，4 为所求平面(2)如左下图所示，现将此正四面体 A1A2A3A4 置于一个正方体 ABCDA1B1C1D1 中(或者说，在正四面体的四个面外侧各镶嵌一个直角正三棱锥，得到一个正方体)，E1，F1 分别是 A1B1，C1D1 的中点，EE1D1D 和 BB1F1F 是两个平行平面，若其距离为1，则四面体 A1A2A3A4 即为满足条件的正四面体如右下图所示是正方体的上底面，现设正方体的棱长为 a，若 A1MMN1，则有 A1E1a2.D1E1 A1D21A1E21 52 a，由 A1D1A1E1A1MD1E1，得 a 5.于是正四面体积的棱长 d 2a 10.其体积 Va3416a313a35 53(即等于一个棱长为 a 的正方体割去四个直角三棱锥后的体积)
