1、1异面直线 a，b 所成角的定义经过空间任一点 O，作直 线_，把_所成的_叫做直线 a 与 b 所成的角(或夹角)2射影自一点 P 向平面 引垂线，垂足 P叫做点 P 在平面 内的正射影(简称射影)，PP的长度称点 P 到平面 的距离图形F 上的所有点在平面 上的射影构成的图形 F，叫做图形 F 在平面 上的射影3平面的斜线如果直线 m 与平面 相交又不垂直，则直线 m 叫做平面 的斜线，交点称为斜足OAa，OBbOA 与 OB最小正角4斜线与平面所成的角平面 的一条斜线 PA 和它在平面 上的射影 OA 所成的锐角(PAO)，叫做斜线与平面所成的角平面的垂线与平面所成的角为 90，而直线在
2、平面内或直线与平面平行，此直线与平面所成的角为 0.任意直线与一个平面所成的角的取值范围为_(如图所示)0，90 5二面角从一条直线 AB 出发的两个_(和)所组成的图形叫做二面角记作二面角 AB，AB 叫做二面角的棱，两个半平面(和)叫做二面角的面二面角的平面角：在二面角的棱 AB 上任取一点 O，过 O分别在二面角的两个面、内作与棱垂直的射线 OM、ON，我们把MON 叫做二面角 AB 的平面角，用它来度量二面角的大小(如下图所示)半平面考点一异面直线所成的角示范1 如右图所示，已知在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，BAB1B1A1C130，则 AB 与 A1C1 所成的角为_，AA
3、1 与 B1C 所成的角为_，AB1 与 A1C1 所成的角的余弦值为_【解析】因为 ABA1B1，所以 AB 与 A1C1 所成的角也就是A1C1 与 A1B1 的夹角B1A1C130.已知四边形 BCC1B1 为正方形，AA1 与 B1C 所成的角利用平移可知也就是 BB1 与 B1C 所成的角 45.因为 A1C1AC，再连接 B1C，这样 AB1 与 A1C1 所成的角即为B1AC，设 BB11，则 AB12，AC2，B1C 2.从而 cosB1AC34.答案 30 45 34【点评】求异面直线所成的角最基本的方法就是平移.展示1 如图所示，已知在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，
4、AD1与 BD 所成角为 1，AC1 与 B1D1 所成角为 2，BC 与平面 ABC1D1所成角为 3，则有()A123 B123C213 D231【答案】C【解析】160，290，345，故选 C.方法点拨：平移到某一点后解三角形.要注意角的范围0，90.考点二线面所成的角示范2 已知正方体 ABCDA1B1C1D1，(1)求 AD1 与平面 ABCD 所成的角的大小；(2)求 AC1 与平面 ABCD 所成的角的正切值；(3)求 AB1 与平面 ABC1D1 所成的角的正弦值解析(1)DD1平面 ABCD，DAD1为AD1与平面ABCD所成的角的平面角，其大小为45.(2)CC1平面 A
5、BCD，C1AC 为 AC1 与平面 ABCD 所成的角的平面角tanC1ACCC1AC 22.(3)先连接 B1C，可证明 B1C平面 ABC1D1.设 B1C 与 BC1 交于点K.则B1AK 为 AB1 与平面 ABC1D1 所成的角sinB1AKB1KAB112，即 AB1 与平面 ABC1D1 所成的角的正弦值为12.【点评】立体几何中的计算题一般是先证明后计算.求线面所成的角的关键是找面之垂线.展示2 如图所示，已知四棱锥 PABCD 的底面是正方形，PD底面 ABCD，点 E 在棱 PB 上，(1)求证：平面 AEC平面 PDB；(2)当 PD 2AB 且 E 为 PB 的中点时
6、，求 AE 与平面 PDB所成的角的大小(2)(2011汕头一模)如右下图所示，已知圆柱的高为2，底面半径为3，AE，DF是圆柱的两条母线，B，C是下底面圆周上的两点，已知四边形ABCD是正方形，求证：BCBE；求正方形ABCD的边长；求直线EF与平面ABF所成角的正弦值【解析】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力(1)四边形ABCD是正方形，ACBD.PD底面ABCD，AC平面ABCD.PDAC.PDDBD，AC平面PDB.AC平面AEC，平面AEC平面PDB.(2)设 ACBDO，连接 OE，由(1)，知 AC平
7、面 PDB 于 O.AEO 为 AE 与平面 PDB 所成角O，E 分别为 DB，PB 的中点，OEPD，OE12PD.PD底面 ABCD，OE底面 ABCD.AO平面 ABCD，OEAO.在 RtAOE 中，OE12PD 22 ABAO，AOE45，即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45.(2)AE是圆柱的母线，AE底面BEFC.BC平面BEFC，AEBC.ABCD是正方形，ABBC.AEABA，BC平面ABE.BE平面ABE，BCBE.四边形AEFD为矩形且ABCD是正方形，EF綊BC.BCBE，四边形EFBC为矩形BF为圆柱下底面的直径设正方形ABCD的边长为x，则ADEFAB
8、x.在RtAEB中，AE2，ABx且BE2AE2AB2，得BE2x24.在RtBEF中，BF6，EFx且BE2EF2BF2，得BE236x2.解得x2 5，即正方形ABCD的边长为2 5.如图所示以F为原点建立空间直角坐标系，则A(2 5，0,2)，B(2 5，4,0)，E(2 5，0,0)，F A(2 5，0,2)，F B(2 5，4,0)，F E(2 5，0,0)设平面AEF的法向量为n(x，y，z)，则nF Ax，y，z2 5，0，22 5x2z0，nF Bx，y，z2 5，4，02 5x4y0.令x1，则y 52，z 5，即n1，52，5.设直线EF与平面ABF所成角的大小为，则sin
9、 cosn，E FnE FnE F 2 52 55415 2 2929.所以直线EF与平面ABF所成角的正弦值为2 2929.方法点拨：关键是从线上一点作面的垂线，形成一个直角三角形.考点三二面角示范3(2011深圳一模)如图所示，已知AC是圆O的直径，点B在圆O上，BAC30，BMAC交AC于点M，EA平面ABC，FCEA，AC4，EA3，FC1，(1)求证：EMBF；(2)求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值解析 法一(1)EA平面ABC，BM平面ABC，EABM.又BMAC，EAACA，BM平面ACFE，而EM平面ACFE，BMEM.AC是圆O的直径，ABC90.又BAC30，
10、AC4，AB2 3，BC2，AM3，CM1.EA平面ABC，FCEA，FC1，FC平面ABC.EAM与FCM都是等腰直角三角形EMAFMC45.EMF90，即EMMF(也可由勾股定理证得)MFBMM，EM平面MBF.而BF平面MBF，EMBF.(2)延长EF交AC延长线于点G，连接BG，过C作CHBG，连结FH.由(1)知FC平面ABC，BG平面ABC，FCBG.而FCCHC，BG平面FCH.FH平面FCH，FHBG，FHC为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角在RtABC中，BAC30，AC4，BMABsin30 3.由FCEAGCGA13，得GC2.BG BM2MG22 3.又GCH
11、GBM，GCBGCHBM，则CHGCBMBG2 32 3 1.FCH是等腰直角三角形，FHC45.平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为 22.法二(1)同法一，得AM3，BM 3.如图，以A为坐标原点，垂直于AC、AC、AE所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系由已知条件得A(0,0,0)，M(0,3,0)，E(0,0,3)，B(3，3,0)，F(0,4,1)，M E(0，3,3)，B F(3，1,1)由M EB F(0，3,3)(3，1,1)0，得M EB F，EMBF.(2)由(1)知B E(3，3,3)，B F(3，1,1)设平面BEF的法向量为n(x，y，z)，由nB E
12、0，nB F0，得 3x3y3z0 3xyz0令x 3得y1，z2，n(3，1,2)，由已知EA平面ABC，所以取面ABC的法向量为AE(0,0,3)，设平面BEF与平面ABC所成的锐二面角为，则coscosn，A E 30102332 2 22，平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为 22.展示3如图所示，已知在底面是菱形的四棱锥PABCD中，ABC60，PAACa，PBPD 2a，点E在PD上且PEED21，(1)求证：PA平面ABCD；(2)求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；(3)在棱PC上是否存在一点F，使BF平面AEC？证明你的结论【解析】(1)底面ABCD是菱
13、形，ABC60，ABADACa.在PAB中，由PA2AB22a2PB2，知PAAB.同理PAAD.PA平面ABCD.(2)作EGPA交AD于点G，由PA平面ABCD，知EG平面ABCD.作GHAC于点H，连接EH，则EHAC，EHG即为二面角的平面角又PEED21，EG13a，AG23a，GHAGsin 60 33 a.从而tan EGGH 33，30.(3)当F是棱PC的中点时，BF平面AEC.证明如下：取PE的中点M，连接FM，则FMCE.故FM平面AEC.(a)由EM12PEED，得E是MD的中点连接BM，BD，设BDACO，则O为BD的中点BMOE.故BM平面AEC.(b)由(a)(b
14、)，知平面BFM平面AEC.又BF平面BFM，BF平面AEC.方法点拨：能直接证明图中某个角为所求二面角的平面角求异面直线所成角的关键平移直线；求线面角的关键作垂线，找射影1(2011新课标)如图所示，已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB60，AB2AD，PD底面ABCD，(1)求证：PABD；(2)若PDAD，求二面角APBC的余弦值【解析】(1)因为DAB60，AB2AD，由余弦定理，得BD 3AD.从而BD2AD2AB2.故BDAD.又PD底面ABCD，可得BDPD.所以BD平面PAD.故PABD.(2)如下图所示，以D为原点、AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半
15、轴建立空间直角坐标系Dxyz.则A(1,0,0)，B(0，3，0)，C(1，3，0)，P(0,0,1)AB(1，3，0)，PB(0，3，1)，BC(1,0,0)设平面PAB的法向量为n(x，y，z)，则 nAB0，nPB0，即x 3y0，3yz0.因此可取n(3，1，3)设平面PBC的法向量为m，则 mPB0，mBC0.可取m(0，1，3)cosm，n 42 7 2 77.故二面角APBC的余弦值为2 77.【点评】本题考查线面垂直及二面角的求法，考查学生对空间位置关系的理解，考查学生的空间想象能力、逻辑思维能力及运算能力，属中等难度题2(2010全国)如下图所示，已知在直三棱柱ABCA1B1
16、C1中，ACBC，AA1AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE3EB1，(1)求证：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；(2)设异面直线AB1与CD的夹角为45，求二面角A1AC1B1的正切值【解析】本题考查直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力此类问题要会利用三垂线定理找出线面、面面所在的角，也要掌握向量解法(1)连接A1B交AB1于点F，如下页图所示四边形AA1B1B为正方形，A1BAB1且AFFB1.AE3EB1，D为BB1的中点，DEBF.DEAB1.作CGAB，G为垂足，由ACBC，知G为AB的中点底面ABC平面AA1B
17、1B，CG平面AA1B1B.连接DG，则DGAB1.故DEDG.从而DECD.DE为异面直线AB1与CD的公垂线(2)DGAB1.故CDG为异面直线AB1与CD的夹角CDG45.设AB2，则AB122，DG2，CG2，AC 3.作B1HA1C1，H为垂足，底面A1B1C1平面AA1C1C，B1H平面AA1C1C，作HKAC1，K为垂足，连接B1K，则B1KAC1.B1KH为二面角A1AC1B1的平面角B1HA1B1A1C2112A1B12A1C12 23，HC1 B1C21B1H2 33，AC1 22 32 7，HKAA1HC1AC12 33 7，tanB1KHB1HHK 14.二面角A1AC1B1的正切值为 14.
