1、综合测试题(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列说法正确的是()A命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B语句“当a1时，方程x24xa0有实根”不是命题C命题“矩形的对角线互相垂直且平分”是真命题D命题“当a4时，方程x24xa0有实根”是假命题答案D2如果命题“綈p且綈q”是真命题，那么下列结论中正确的是()A“p或q”是真命题B“p且q”是真命题C“綈p”为真命题 D以上都有可能解析若“綈p且綈q”是真命题，则綈p，綈q均为真命题，即命题p、命题q都是假命题，故选C.答案
2、C3若椭圆1(ab0)的离心率为，则双曲线1的渐近线方程为()Ayx By2xCy4x Dyx解析由椭圆的离心率e，可知，故双曲线的渐近线方程为yx，选A.答案A4若是任意实数，则方程x2y2sin4表示的曲线不可能是()A椭圆 B双曲线C抛物线 D圆解析当sin1时，曲线表示圆当sin0，且sin1时，曲线表示椭圆答案C5曲线yx31在点(1,0)处的切线方程为()A3xy30 B3xy30C3xy0 D3xy30解析y3x2，yx13，故切线方程为y3(x1)，即3xy30.答案B6下列命题中，正确的是()A是f(x)sin(x2)的图象关于y轴对称的充分不必要条件B|a|b|ab|的充要
3、条件是a与b的方向相同Cb是a，b，c三数成等比数列的充分不必要条件Dm3是直线(m3)xmy20与mx6y50互相垂直的充要条件答案A7函数f(x)x2alnx在x1处取得极值，则a等于()A2 B2C4 D4解析f(x)的定义域为(0，)，又f(x)2x，由题可知，f (1)2a0，a2.当a2时，f(x)2x，当0x1时，f(x)1时，f(x)0，f(x)在x1处取得极值故选B.答案B8设椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2F1F2，PF1F230，则C的离心率为()A. B.C. D.解析设|PF2|m，则|PF1|2m，|F1F2|m.故离心率e.答
4、案D9给出下列三个命题：若ab1，则；若正整数m和n满足mn，则；设P(x1，y1)为圆O1：x2y29上任一点，圆O2以Q(a，b)为圆心且半径为1.当(ax1)2(by1)22时，圆O1与圆O2相切其中假命题的个数为()A0个 B1个C2个 D3个解析考查不等式的性质及其证明，两圆的位置关系显然命题正确，命题用“分析法”便可证明其正确性命题：若两圆相切，则两圆心间的距离等于4或2，二者均不符合，故为假命题故选B.答案B10如图所示是yf(x)的导数图象，则正确的判断是 ()f(x)在(3,1)上是增函数；x1是f(x)的极小值点；f(x)在(2,4)上是减函数，在(1,2)上是增函数；x2
5、是f(x)的极小值点A BC D解析从图象可知，当x(3，1)，(2,4)时，f(x)为减函数，当x(1,2)，(4，)时，f(x)为增函数，x1是f(x)的极小值点，x2是f(x)的极大值点，故选B.答案B11已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是直线l：x(c2a2b2)上一点，且PF1PF2，|PF1|PF2|4ab，则双曲线的离心率是()A. B.C. 2 D. 3解析设直线l与x轴交于点A，在RtPF1F2中，有|PF1|PF2|F1F2|PA|，则|PA|，又|PA|2|F1A|F2A|，则(c)(c)，即4a2b2b2(c2a2)，即3a2c2，从而e.选B
6、.答案B12设p：f(x)x32x2mx1在(，)内单调递增，q：m对任意x0恒成立，则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析f(x)在(，)内单调递增，则f(x)0在(，)上恒成立，即3x24xm0对任意xR恒成立，故0，即m；m对任意x0恒成立，即m()max，因为2，当且仅当x2时，“”成立，故m2.易知p是q的必要不充分条件答案B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中横线上)13以1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为_解析双曲线1的焦点坐标为(0，4)，顶点坐标为(0，2)，椭圆的顶点坐标为(0，4)，焦点坐
7、标为(0，2)，在椭圆中a4，c2，b24.椭圆的方程为1.答案114给出下列三个命题：函数ytanx在第一象限是增函数；奇函数的图象一定过原点；函数ysin2xcos2x的最小正周期为，其中假命题的序号是_解析不正确，如x时tanx1，当x时tanx1，而，所以tanx不是增函数；不正确，如函数y是奇函数，但图象不过原点；正确答案15若要做一个容积为324的方底(底为正方形)无盖的水箱，则它的高为_时，材料最省解析把材料最省问题转化为水箱各面的面积之和最小问题，然后列出所用材料和面积关于边长a的函数关系式设水箱的高度为h，底面边长为a，那么Va2h324，则h，水箱所用材料的面积是Sa24a
8、ha2，令S2a0，得a3648，a6，h3，经检验当水箱的高为3时，材料最省答案316已知f(x)(2xx2)ex，给出以下几个结论：f(x)0的解集是x|0x0，又ex0，2xx20.0x2，故正确由f(x)(2xx2)ex，得f(x)(2x2)ex，令f(x)0，得x1，x2.当x时，f(x)0，f(x)单调递减；当x0，f(x)单调递增f()是极小值，f()为极大值，故正确由知，f()为最大值，没有最小值，故错，正确答案三、解答题(本大题共6个小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)若p(x)：sinxcosxm，q(x)：x2mx10.若xR，p(x
9、)为假命题，且q(x)为真命题，求实数m的取值范围解sinxcosxsin，又xR，p(x)为假命题，m.xR，q(x)为真命题，即对任意实数x，不等式x2mx10恒成立，m240，2m2.故xR，p(x)为假命题，q(x)为真命题，实数m的取值范围是mb0)的离心率为，直线l：yx2与以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切求椭圆C1的方程解e，e2，a23b2.直线l：yx2与圆x2y2b2相切，b，b2.b24，a212.椭圆C1的方程是1.19(12分)已知函数f(x)lnx，g(x)(a0)，设F(x)f(x)g(x)(1)求函数F(x)的单调区间；(2)若以函数yF(x)(
10、x(0,3)图象上任意一点P(x0，y0)为切点的切线的斜率k恒成立，求实数a的最小值解(1)F(x)f(x)g(x)lnx(x0)，则F(x)(x0)，a0，由F(x)0，得x(a，)，F(x)在(a，)上单调递增；由F(x)0，得x(0，a)，F(x)在(0，a)上单调递减F(x)的单调递减区间为(0，a)，单调递增区间为(a，)(2)由(1)知F(x)(0x3)，则kF(x0)(00，所以当x2时，f(x)0；当0x2时，f(x)0时原方程有唯一解，所以函数yh(x)与ym的图象在y轴右侧有唯一的交点又h(x)4x14，且x0，所以当x4时，h(x)0；当0x4时，h(x)0时原方程有唯
11、一解的充要条件是mh(4)16ln224.22(12分)已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(4,1)，直线l：yxm交椭圆于A，B两点(1)求椭圆的方程；(2)若直线l不过点M，试问直线MA，MB与x轴能否围成等腰三角形？解(1)根据题意，设椭圆的标准方程为1(ab0)，因为e，a2b2c2，所以a24b2.又椭圆过点M(4,1)，所以1，则可得b25，a220，故椭圆的方程为1.(2)将yxm代入1并整理得5x28mx4m2200，(8m)220(4m220)0，得5m5.设直线MA，MB的斜率分别为k1和k2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.k1k2.上式分子(x1m1)(x24)(x2m1)(x14)2x1x2(m5)(x1x2)8(m1)8(m1)0，即k1k20.所以直线MA，MB与x轴能围成等腰三角形
