1、考 点 串 串 讲1含绝对值的不等式(1)绝对值的定义：若 xR 则|x|xx0，0 x0，xx0.(2)几何意义：|x|指数轴上坐标为 x 的点到原点的距离(3)绝对值的运算性质：|ab|a|b|；|ab|a|b|(b0)；|a|b|ab|a|b|(当且仅当(ab)b0 时，左边取“”，当且仅当 ab0 时，右边取“”)；|a|b|ab|a|b|(当且仅当 ab0 时，右边取“”，当且仅当(ab)b0 时，左边取“”)；|a1a2a3an|a1|a2|a3|an|(nN*)(4)若 a0，则|x|aaxa；|x|axa 或 xa.2解含绝对值不等式的常用方法：(1)公式法：对 aR，|x|a
2、axa，|x|axa 或 xa.(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号(3)零点划分区间法：用各绝对值的零点划分区间讨论，以去掉绝对值符号，然后把各段上的求解结果并起来即得原绝对值不等式的解集(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解如解不等式|x3|x5|6 可用此法其中(3)(4)适用于含有多个绝对值的不等式3不等式的证明方法(1)比较法作差法：欲证 AB，只需证 AB0.用作差法证明不等式的步骤为：作差变形判断符号注意 作差后，其关键在于变形，变形时，应将差式：a.变形为常数，b.变形为用非负实数(如完全平方、绝对值等)表示出来，c.变形为几个因式的积
3、(商)的形式，总之，变形的目的要有利于符号的判定作商法：欲证 AB，若 B0，只需证AB1；若 B0，只需证明AB1.步骤：作商变形判断商与“1”的大小注意 在比较商式与“1”的大小关系时，应注意函数(特别是指数函数)的性质(特别是单调性)的运用(2)分析法方法：分析法是从需求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，通过肯定这些充分条件都已具备，从而断定原不等式成立特点：执果索因，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”注意 用分析法证明不等式往往把“逆求”错误用做为“逆推”，分析过程只需寻求充分条件即可，而不是充要条件(3)综合法方法：综合法就是从已知出发，借助不等式的性质以及有关定
4、理和重要不等式等，经过逐步地逻辑推理，最后推得待证的不等式特点：由因导果，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”综合法属逻辑方法的范畴，它的严谨体现在步步注明推理依据注意 在证明时，还常要用到以下证题依据：若 a，bR，则|a|0，a20，(ab)20；若 a，b 同号，则baab2；柯西不等式：若 a，b，x，yR，则(a2b2)(x2y2)(axby)2；平方和不等式：若 a，bR，则 a2b212(ab)2；重要不等式：a，b 均为正数，则ab2 ab，a，bR，则 a2b22ab；倒数和不等式，若 a，b 均为正数，则(ab)(1a1b)4.(4)反证法从否定结论出发，经过逻辑推理，
5、导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法注意 用反证法证明不等式要把握三点：必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能的结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾、有的与假设矛盾、有的与已知事实相违背等，推导出的矛盾必须是明显的(5)放缩法欲证 AB，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得 BB1，B1B2，BiA，或 AA1，A1A2，AiB，再利
6、用传递性，达到欲证的目的，这种方法叫做放缩法(6)用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明不等式必须严格遵循数学归纳法的基本程序“两步一结论”由于不等式的特殊性，在 nknk1 的过程中，假设成立的结论代入后与目标结论尚有较大差异，此时要综合运用不等式的证明方法4均值不等式(1)对于三个正数，同样有如下结论：如果 a，b，c 都是正数，那么abc33 abc，当且仅当 abc 时取等号同时，我们称abc3为 a，b，c 的算术平均，称3 abc为 a，b，c 的几何平均，该定理又可叙述为：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均已知 x，y，z 都是正数，()如果积 xyz 是定值 P，那么当 x
7、yz 时，和 xyz 有最小值 33 P；()如果和 xyz 是定值 S，那么当 xyz 时，积 xyz 有最大值S327.(2)利用均值不等式求最值时，要注意条件：一正、二定、三相等，即在 xy2 xy中，x 和 y 都要大于零，要有定积或定和出现，同时要求“”成立5柯西不等式定理 1 设 a，b，c，d 均为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，其中等号当且仅当 adbc 时成立，这一形式通常称为柯西不等式的代数形式定理 2 设，为平面上的两个向量，则|，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反时成立，这个定理称为柯西不等式的向量形式定理 3 设 x1，y1，x2，y2，x3，y3
8、 为任意实数，则x1x22y1y22 x2x32y2y32 x1x32y1y32，这个不等式通常称为三角形不等式定理 4 设 n 为大于 1 的自然数，ai，bi(i1,2，n)为任意实数，则i1na2i i1nb2i(i1naibi)2，其中等号当且仅当b1a1b2a2bnan时成立(当 ai0 时，约定 bi0，i1,2，n)推论 若 n 个实数 a1，a2，an 的和为定值 S 时，它们的平方和不小于1nS2，当且仅当 a1a2an 时，平方和取最小值1nS2.6排序不等式(1)一般地，设有两组数 a1a2a3，b1b2b3，可以得到 6个不同的和数：a1b1a2b2a3b3，a1b1a
9、2b3a3b2，a1b2a2b1a3b3，a1b2a2b3a3b1，a1b3a2b1a3b2，a1b3a2b2a3b1.其中，和数 a1b1a2b2a3b3 称为同序和，和数 a1b3a2b2a3b1 称为反序和，其余情况则称为乱序和(2)定理 设两组实数 a1，a2，an 与 b1，b2，bn，且a1a2an，b1b2bn，c1，c2，cn 为 b1，b2，bn 的任意一个排列，则和数 a1c1a2c2ancn 在 a1，a2，an与 b1，b2，bn 同序时最大，反序时最小，即a1b1a2b2anbna1c1a2c2ancna1bna2bn1anb1，等号当且仅当 a1a2an 或 b1b
10、2bn 时成立7平均不等式定理 若 a1，a2，an 为正数，则有a1a2annn a1a2an，等号当且仅当 a1a2an 时成立其中，a1a2ann称为这 n 个正数的算术平均，n a1a2an称为这 n 个正数的几何平均这个不等式通常称为算术几何平均不等式它表明：n 个正数的算术平均不小于它们的几何平均.典 例 对 对 碰题型一 含绝对值的不等式的解法例 1 解不等式|x2|x1|4.分析(1)根据绝对值的意义，分区间分别去掉绝对值符号，解不等式(2)根据绝对值的几何意义解析 解法一：|x2|0 和|x1|0 的根分别是2 和 1，把实数轴分为三个区间：(，2，(2,1)，1，)在这三个
11、区间上|x2|x1|有不同的解析表达式，它们构成了三个不等式组x2 时，|x2|x1|42x1x42x5x52.所以不等式组x2|x2|x1|4 的解集为x|52x22x1 时，|x2|x1|4x21x410.所以不等式组2x1|x2|x1|4 的解集为x|2x1x1 时，|x2|x1|4x2x142x3x32.所以不等式组x1|x2|x1|4 的解集为x|1x32因此原不等式的解集为的并集：x|52x32解法二：x 为不等式|x2|x1|4 的解x 是与数轴上的点A(2)及 B(1)两点距离之和小于 4 的点A、B 两点的距离为 3.因此线段 AB 上任何一点到 A，B 距离之和都等于 3，
12、因此都是原不等式的解但我们需要找到原不等式解的全体，于是关键在于找到与 A、B 距离之和为 4 的点如图所示，我们从 B 向右移动12个单位至点 B1(32)，此时与 A 及B 距离之和增加 1 个单位，同理我们从 A 点向左移动12个单位到点A1(52)，这时 A1 与 A 及 B 距离之和也增加 1 个单位从数轴上可以看到 A1 与 B1 之间的任何点到 A，B 的距离之和均小于 4，而当 x52或 x32时，x 与 A，B 两点的距离之和都不小于 4.因而原不等式的解集为x|52x32点评 解法一主要是分类讨论去绝对值，关键是确定讨论的区间解法二主要是根据具体问题结合数轴可得解集(即图象
13、法).变式迁移 1不等式|2x1|x2|4 的解集为_答案 x|x1 或 x1解析 当 x12时，原不等式可化为2x12x4x1.当12x2 时，原不等式可化为 2x12x4，x1.又12x2，1x2.当 x2 时，原不等式可化为 2x1x24，x53.又 x2，x2.综上可得原不等式的解集为x|x1 或 x1.题型二 含参数的不等式的解法例 2 设 a0，b0，解关于 x 的不等式：|ax2|bx.解析 原不等式可化为 ax2bx 或 ax2bx，即(ab)x2或(ab)x2x 2ab，当 ab0 时，由得 x 2ab，此时，原不等式的解集为x|x 2ab或 x 2ab；当 ab0 时，由得
14、 x，此时，原不等式的解集为x|x 2ab；当 0ab 时，由得 x 2ab，此时，原不等式的解集为x|x 2ab综 上 可得，当 a b 0 时，原 不 等式 的解 集为(，2ab 2ab，)；当 0ab 时，原不等式的解集为(，2ab.变式迁移 2已知|x4|x3|a 有解，求 a 的取值范围解析 设数 x,3,4 在数轴上对应的点分别为 P、A、B，由绝对值的几何意义，有|PA|PB|a 成立又AB1，数轴上的点到 A、B 的距离之和大于等于 1，即|x4|x3|1.当 a1 时，不等式有解.题型三 利用均值不等式证明不等式例 3 已知 a，b，c 均为正数，求证：(abc)(1a1b1
15、c)9.证明 因为 a，b，c 均为正数，根据三个正数的平均不等式，可知 abc33 abc，1a1b1c331abc.上述两个不等式的右边都大于 0，两式相乘得(abc)(1a1b1c)33 abc331abc9.变式迁移 3设 a、b、c 均为正实数，求证：12a 12b 12c 1bc 1ca 1ab.证明 a、b、c 均为正实数，12(12a 12b)12 ab 1ab，当 ab 时等号成立；12(12b 12c)12 cb 1bc，当 bc 时等号成立；12(12c 12a)12 ca 1ca，当 ca 时等号成立以上三个不等式相加即得12a 12b 12c 1bc 1ca 1ab，
16、当且仅当 abc 时等号成立.题型四 利用柯西不等式证明不等式例 4 已知 x，y 为实数，且满足 3x22y26，求证：2xy 11.证明 根据柯西不等式，有(23 3x 12 2y)2(23)2(12)2(3x)2(2y)2化简，有(2xy)2116(3x22y2)3x22y26，(2xy)211，2xy 11.变式迁移 4已知 a，b，c 都为正数，求证：a2b b2c c2a abc.证法一 由a2b b2a，b2c c2b，c2aa2c，两边相加即可证法二 由柯西不等式(a)2(b)2(c)2(ca)2(ab)2(bc)2(cab)2，所以a2b b2c c2a abc.题型五 利用
17、柯西不等式求最值例 5 已知 x，y，a，bR，且axby1，求 xy 的最小值分 析 由 于 ax by 1，则 可 以 构 造 x y (x)2(y)2(ax)2(by)2(a b)2 的形式，从而利用柯西不等式求出最值解析 x，y，a，bR，axby1，xy(x)2(y)2(ax)2(by)2(a b)2.当且仅当 xby yax，即xyab时取等号(xy)min(a b)2.点评 利用柯西不等式求最值，实际上就是利用柯西不等式进行放缩，但放缩时要注意等号成立的条件是否符合题意.变式迁移 5已知实数 a，b，c，d 满足 abcd3，a22b23c26d25，试求 a 的最值解析 由柯西
18、不等式得，(2b23c26d2)(121316)(bcd)2，即 2b23c26d2(bcd)2，由条件可得，5a2(3a)2，解得 1a2，当且仅当 2b12 3c13 6d16时等号成立，代入 b12，c13，d16时，amax2；代入 b1，c23，d13时，amin1.方 法 路 路 通1解含绝对值的不等式的指导思想是去掉绝对值常用的方法是：由定义分段讨论；利用绝对值不等式的性质；平方；利用绝对值的几何意义2解含参数的不等式，如果转化不等式的形式或求不等式的解集时与参数的取值范围有关，就必须分类讨论注意：(1)要考虑参数的总取值范围；(2)用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏3利用绝
19、对值的定义和几何意义来分析，绝对值的特点是解决带有绝对值符号问题的关键，如何去掉绝对值符号，一定要认真总结规律与方法4绝对值不等式的证明通常与放缩法联系在一起，放缩法用如下绝对值不等式：(1)|ab|a|b|；(2)|ab|ac|cb|.5证明不等式的基本依据：(1)实数大小的比较原则；(2)不等式的性质；(3)几个重要不等式，特别是均值不等式6证明不等式的常用方法：(1)比较法；(2)分析法；(3)综合法；(4)放缩法；(5)反证法；(6)数学归纳法7利用柯西不等式求最值问题关键是构造(a2b2)(c2d2)和(acbd)2，再用结论8利用不等式解决最值(尤其是含多个变量)问题，特别是条件最
20、值问题，通常运用平均值不等式、柯西不等式、排序不等式及幂平均不等式等，但要注意取等号的条件能否满足.正 误 题 题 辨例已知 x0，满足 3x4y13，求 x24y2 的最小值错解 由柯西不等式可知：(3222)x2(2y)2(3x4y)2169.13(x24y2)169.x24y213.x24y2 的最小值为 13.点击 本题错误的原因在于应用柯西不等式解题时忽视了公式中等号成立的条件事实上等号成立需满足三点：x0；3x4y13；32y2x，即 x3y.解得 x3，显然不满足 x0.正解 3x4y13，2y133x2，x24y2x2(2y)2x2(133x2)2134(x26x13)134(
21、x3)24134(x3)213.又x0，当 x0 时，(x24y2)min134(03)2131694.x24y2 的最小值为1694.不等式选讲考 点 串 串 讲1含绝对值的不等式(1)绝对值的定义：若 xR 则|x|xx0，0 x0，xx0.(2)几何意义：|x|指数轴上坐标为 x 的点到原点的距离(3)绝对值的运算性质：|ab|a|b|；|ab|a|b|(b0)；|a|b|ab|a|b|(当且仅当(ab)b0 时，左边取“”，当且仅当 ab0 时，右边取“”)；|a|b|ab|a|b|(当且仅当 ab0 时，右边取“”，当且仅当(ab)b0 时，左边取“”)；|a1a2a3an|a1|a
22、2|a3|an|(nN*)(4)若 a0，则|x|aaxa；|x|axa 或 xa.2解含绝对值不等式的常用方法：(1)公式法：对 aR，|x|aaxa，|x|axa 或 xa.(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号(3)零点划分区间法：用各绝对值的零点划分区间讨论，以去掉绝对值符号，然后把各段上的求解结果并起来即得原绝对值不等式的解集(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解如解不等式|x3|x5|6 可用此法其中(3)(4)适用于含有多个绝对值的不等式3不等式的证明方法(1)比较法作差法：欲证 AB，只需证 AB0.用作差法证明不等式的步骤为：作差变形判
23、断符号注意 作差后，其关键在于变形，变形时，应将差式：a.变形为常数，b.变形为用非负实数(如完全平方、绝对值等)表示出来，c.变形为几个因式的积(商)的形式，总之，变形的目的要有利于符号的判定作商法：欲证 AB，若 B0，只需证AB1；若 B0，只需证明AB1.步骤：作商变形判断商与“1”的大小注意 在比较商式与“1”的大小关系时，应注意函数(特别是指数函数)的性质(特别是单调性)的运用(2)分析法方法：分析法是从需求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，通过肯定这些充分条件都已具备，从而断定原不等式成立特点：执果索因，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”注意 用分析法证明不等
24、式往往把“逆求”错误用做为“逆推”，分析过程只需寻求充分条件即可，而不是充要条件(3)综合法方法：综合法就是从已知出发，借助不等式的性质以及有关定理和重要不等式等，经过逐步地逻辑推理，最后推得待证的不等式特点：由因导果，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”综合法属逻辑方法的范畴，它的严谨体现在步步注明推理依据注意 在证明时，还常要用到以下证题依据：若 a，bR，则|a|0，a20，(ab)20；若 a，b 同号，则baab2；柯西不等式：若 a，b，x，yR，则(a2b2)(x2y2)(axby)2；平方和不等式：若 a，bR，则 a2b212(ab)2；重要不等式：a，b 均为正数，则a
25、b2 ab，a，bR，则 a2b22ab；倒数和不等式，若 a，b 均为正数，则(ab)(1a1b)4.(4)反证法从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法注意 用反证法证明不等式要把握三点：必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能的结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾、有的与假设矛盾、有的与已知事实相违背等，推导出的矛盾
26、必须是明显的(5)放缩法欲证 AB，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得 BB1，B1B2，BiA，或 AA1，A1A2，AiB，再利用传递性，达到欲证的目的，这种方法叫做放缩法(6)用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明不等式必须严格遵循数学归纳法的基本程序“两步一结论”由于不等式的特殊性，在 nknk1 的过程中，假设成立的结论代入后与目标结论尚有较大差异，此时要综合运用不等式的证明方法4均值不等式(1)对于三个正数，同样有如下结论：如果 a，b，c 都是正数，那么abc33 abc，当且仅当 abc 时取等号同时，我们称abc3为 a，b，c 的算术平均，称3 abc为 a，
27、b，c 的几何平均，该定理又可叙述为：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均已知 x，y，z 都是正数，()如果积 xyz 是定值 P，那么当 xyz 时，和 xyz 有最小值 33 P；()如果和 xyz 是定值 S，那么当 xyz 时，积 xyz 有最大值S327.(2)利用均值不等式求最值时，要注意条件：一正、二定、三相等，即在 xy2 xy中，x 和 y 都要大于零，要有定积或定和出现，同时要求“”成立5柯西不等式定理 1 设 a，b，c，d 均为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，其中等号当且仅当 adbc 时成立，这一形式通常称为柯西不等式的代数形式定理 2 设，为平面
28、上的两个向量，则|，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反时成立，这个定理称为柯西不等式的向量形式定理 3 设 x1，y1，x2，y2，x3，y3 为任意实数，则x1x22y1y22 x2x32y2y32 x1x32y1y32，这个不等式通常称为三角形不等式定理 4 设 n 为大于 1 的自然数，ai，bi(i1,2，n)为任意实数，则i1na2i i1nb2i(i1naibi)2，其中等号当且仅当b1a1b2a2bnan时成立(当 ai0 时，约定 bi0，i1,2，n)推论 若 n 个实数 a1，a2，an 的和为定值 S 时，它们的平方和不小于1nS2，当且仅当 a1a2an 时，平方和
29、取最小值1nS2.6排序不等式(1)一般地，设有两组数 a1a2a3，b1b2b3，可以得到 6个不同的和数：a1b1a2b2a3b3，a1b1a2b3a3b2，a1b2a2b1a3b3，a1b2a2b3a3b1，a1b3a2b1a3b2，a1b3a2b2a3b1.其中，和数 a1b1a2b2a3b3 称为同序和，和数 a1b3a2b2a3b1 称为反序和，其余情况则称为乱序和(2)定理 设两组实数 a1，a2，an 与 b1，b2，bn，且a1a2an，b1b2bn，c1，c2，cn 为 b1，b2，bn 的任意一个排列，则和数 a1c1a2c2ancn 在 a1，a2，an与 b1，b2，
30、bn 同序时最大，反序时最小，即a1b1a2b2anbna1c1a2c2ancna1bna2bn1anb1，等号当且仅当 a1a2an 或 b1b2bn 时成立7平均不等式定理 若 a1，a2，an 为正数，则有a1a2annn a1a2an，等号当且仅当 a1a2an 时成立其中，a1a2ann称为这 n 个正数的算术平均，n a1a2an称为这 n 个正数的几何平均这个不等式通常称为算术几何平均不等式它表明：n 个正数的算术平均不小于它们的几何平均.典 例 对 对 碰题型一 含绝对值的不等式的解法例 1 解不等式|x2|x1|4.分析(1)根据绝对值的意义，分区间分别去掉绝对值符号，解不等
31、式(2)根据绝对值的几何意义解析 解法一：|x2|0 和|x1|0 的根分别是2 和 1，把实数轴分为三个区间：(，2，(2,1)，1，)在这三个区间上|x2|x1|有不同的解析表达式，它们构成了三个不等式组x2 时，|x2|x1|42x1x42x5x52.所以不等式组x2|x2|x1|4 的解集为x|52x22x1 时，|x2|x1|4x21x410.所以不等式组2x1|x2|x1|4 的解集为x|2x1x1 时，|x2|x1|4x2x142x3x32.所以不等式组x1|x2|x1|4 的解集为x|1x32因此原不等式的解集为的并集：x|52x32解法二：x 为不等式|x2|x1|4 的解x
32、 是与数轴上的点A(2)及 B(1)两点距离之和小于 4 的点A、B 两点的距离为 3.因此线段 AB 上任何一点到 A，B 距离之和都等于 3，因此都是原不等式的解但我们需要找到原不等式解的全体，于是关键在于找到与 A、B 距离之和为 4 的点如图所示，我们从 B 向右移动12个单位至点 B1(32)，此时与 A及 B 距离之和增加 1 个单位，同理我们从 A 点向左移动12个单位到点 A1(52)，这时 A1 与 A 及 B 距离之和也增加 1 个单位从数轴上可以看到 A1 与 B1 之间的任何点到 A，B 的距离之和均小于 4，而当 x52或 x32时，x 与 A，B 两点的距离之和都不
33、小于 4.因而原不等式的解集为x|52x32点评 解法一主要是分类讨论去绝对值，关键是确定讨论的区间解法二主要是根据具体问题结合数轴可得解集(即图象法).变式迁移 1不等式|2x1|x2|4 的解集为_答案 x|x1 或 x1解析 当 x12时，原不等式可化为2x12x4x1.当12x2 时，原不等式可化为 2x12x4，x1.又12x2，1x2.当 x2 时，原不等式可化为 2x1x24，x53.又 x2，x2.综上可得原不等式的解集为x|x1 或 x1.题型二 含参数的不等式的解法例 2 设 a0，b0，解关于 x 的不等式：|ax2|bx.解析 原不等式可化为 ax2bx 或 ax2bx
34、，即(ab)x2或(ab)x2x 2ab，当 ab0 时，由得 x 2ab，此时，原不等式的解集为x|x 2ab或 x 2ab；当 ab0 时，由得 x，此时，原不等式的解集为x|x 2ab；当 0ab 时，由得 x 2ab，此时，原不等式的解集为x|x 2ab综 上 可得，当 a b 0 时，原 不 等式 的解 集为(，2ab 2ab，)；当 0ab 时，原不等式的解集为(，2ab.变式迁移 2已知|x4|x3|a 有解，求 a 的取值范围解析 设数 x,3,4 在数轴上对应的点分别为 P、A、B，由绝对值的几何意义，有|PA|PB|a 成立又AB1，数轴上的点到 A、B 的距离之和大于等于
35、 1，即|x4|x3|1.当 a1 时，不等式有解.题型三 利用均值不等式证明不等式例 3 已知 a，b，c 均为正数，求证：(abc)(1a1b1c)9.证明 因为 a，b，c 均为正数，根据三个正数的平均不等式，可知 abc33 abc，1a1b1c331abc.上述两个不等式的右边都大于 0，两式相乘得(abc)(1a1b1c)33 abc331abc9.变式迁移 3设 a、b、c 均为正实数，求证：12a 12b 12c 1bc 1ca 1ab.证明 a、b、c 均为正实数，12(12a 12b)12 ab 1ab，当 ab 时等号成立；12(12b 12c)12 cb 1bc，当 b
36、c 时等号成立；12(12c 12a)12 ca 1ca，当 ca 时等号成立以上三个不等式相加即得12a 12b 12c 1bc 1ca 1ab，当且仅当 abc 时等号成立.题型四 利用柯西不等式证明不等式例 4 已知 x，y 为实数，且满足 3x22y26，求证：2xy 11.证明 根据柯西不等式，有(23 3x 12 2y)2(23)2(12)2(3x)2(2y)2化简，有(2xy)2116(3x22y2)3x22y26，(2xy)211，2xy 11.变式迁移 4已知 a，b，c 都为正数，求证：a2b b2c c2a abc.证法一 由a2b b2a，b2c c2b，c2aa2c，
37、两边相加即可证法二 由柯西不等式(a)2(b)2(c)2(ca)2(ab)2(bc)2(cab)2，所以a2b b2c c2a abc.题型五 利用柯西不等式求最值例 5 已知 x，y，a，bR，且axby1，求 xy 的最小值分 析 由 于 ax by 1，则 可 以 构 造 x y (x)2(y)2(ax)2(by)2(a b)2 的形式，从而利用柯西不等式求出最值解析 x，y，a，bR，axby1，xy(x)2(y)2(ax)2(by)2(a b)2.当且仅当 xby yax，即xyab时取等号(xy)min(a b)2.点评 利用柯西不等式求最值，实际上就是利用柯西不等式进行放缩，但放
38、缩时要注意等号成立的条件是否符合题意.变式迁移 5已知实数 a，b，c，d 满足 abcd3，a22b23c26d25，试求 a 的最值解析 由柯西不等式得，(2b23c26d2)(121316)(bcd)2，即 2b23c26d2(bcd)2，由条件可得，5a2(3a)2，解得 1a2，当且仅当 2b12 3c13 6d16时等号成立，代入 b12，c13，d16时，amax2；代入 b1，c23，d13时，amin1.方 法 路 路 通1解含绝对值的不等式的指导思想是去掉绝对值常用的方法是：由定义分段讨论；利用绝对值不等式的性质；平方；利用绝对值的几何意义2解含参数的不等式，如果转化不等式
39、的形式或求不等式的解集时与参数的取值范围有关，就必须分类讨论注意：(1)要考虑参数的总取值范围；(2)用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏3利用绝对值的定义和几何意义来分析，绝对值的特点是解决带有绝对值符号问题的关键，如何去掉绝对值符号，一定要认真总结规律与方法4绝对值不等式的证明通常与放缩法联系在一起，放缩法用如下绝对值不等式：(1)|ab|a|b|；(2)|ab|ac|cb|.5证明不等式的基本依据：(1)实数大小的比较原则；(2)不等式的性质；(3)几个重要不等式，特别是均值不等式6证明不等式的常用方法：(1)比较法；(2)分析法；(3)综合法；(4)放缩法；(5)反证法；(6)数学归
40、纳法7利用柯西不等式求最值问题关键是构造(a2b2)(c2d2)和(acbd)2，再用结论8利用不等式解决最值(尤其是含多个变量)问题，特别是条件最值问题，通常运用平均值不等式、柯西不等式、排序不等式及幂平均不等式等，但要注意取等号的条件能否满足.正 误 题 题 辨例已知 x0，满足 3x4y13，求 x24y2 的最小值错解 由柯西不等式可知：(3222)x2(2y)2(3x4y)2169.13(x24y2)169.x24y213.x24y2 的最小值为 13.点击 本题错误的原因在于应用柯西不等式解题时忽视了公式中等号成立的条件事实上等号成立需满足三点：x0；3x4y13；32y2x，即 x3y.解得 x3，显然不满足 x0.正解 3x4y13，2y133x2，x24y2x2(2y)2x2(133x2)2134(x26x13)134(x3)24134(x3)213.又x0，当 x0 时，(x24y2)min134(03)2131694.x24y2 的最小值为1694.THANKS
