1、第7课时 数学归纳法1数学归纳法的适用对象数学归纳法是用来证明关于与_有关命题的一种方法，若n0是起始值，则n0是_正整数n使命题成立的最小正整数2数学归纳法的步骤用数学归纳法证明命题时，其步骤如下：(1)当n_时，验证命题成立；(2)假设n_时命题成立，推证n_时命题也成立，从而推出命题对所有的_命题成立，其中第一步是归纳奠基，第二步是归纳递推，二者缺一不可k1n0(n0N*)k(k n0，kN*)从n0开始的正整数n【思考探究】数学归纳法的两个步骤各有何作用？提示：数学归纳法中两个步骤体现了递推思想，第一步是递推基础，也叫归纳奠基，第二步是递推的依据，也叫归纳递推，两者缺一不可1数学归纳法
2、适用于证明什么类型的命题()A已知结论 B结论已知C直接证明比较困难D与正整数有关答案：D2用数学归纳法证明 12222n12n21(nN*)的过程中，在验证 n1 时，左端计算所得的项为()A1B12C1222D122223解析：当 n1 时，左边有 n2 项，即有 3项和，为 1222.答案：C3已知 f(n)1n 1n1 1n2 1n2，则()Af(n)中共有 n 项，当 n2 时，f(2)1213Bf(n)中共有 n1 项，当 n2 时，f(2)121314Cf(n)中共有 n2n 项，当 n2 时，f(2)1213Df(n)中共有 n2n1 项，当 n2 时，f(2)121314解析
3、：项数为 n2(n1)n2n1.答案：D4用数学归纳法证明：“1121312n1n(nN*，n1)”时，由 nk(k1)不等式成立，推理 nk1 时，左边应增加的项数是_答案：2k5记凸 k 边形的内角和为 f(k)，则凸 k1 边形的内角和 f(k1)f(k)_.解析：由凸 k 边形变为凸 k1 边形时，增加了一个三角形，故 f(k1)f(k).答案：用数学归纳法证明恒等式用数学归纳法证明恒等式的关键是在证明 nk1 时命题成立，要从 nk1 时待证的目标恒等式的一端“拼凑”出归纳假设的恒等式的一端，再运用归纳假设即可同时，还要注意待证的目标恒等式的另一端的变化，即用“k1”替换恒等式中的所
4、有“n”用数学归纳法证明：(n21)2(n222)n(n2n2)n2n1n14(nN*)证明：(1)当 n1 时，左边1210，右边12111140，n1 时等式成立(2)假设 nk(kN*)时等式成立，即：(k21)2(k222)k(k2k2)k2k1k14.则 nk1 时，(k1)212(k1)222k(k1)2k2(k1)(k1)2(k1)2(k21)2(k222)k(k2k2)(2k1)(12k)k2k1k14(2k1)kk1214k(k1)k(k1)2(2k1)14k(k1)(k23k2)14k(k1)(k1)(k2)14(k1)2(k1)1(k1)1当 nk1 时等式成立由(1)(
5、2)知对任意 nN*等式成立【变式训练】1.用数学归纳法证明：12414616812n2n2n4n1(其中 nN*)证明：(1)当 n1 时，等式左边 12418，等式右边141118，等式成立(2)假设 nk(k1，kN*)时等式成立，即 124 14612k2k2k4k1成立，那么当 nk1 时，124 146 16812k2k212k12k12k4k114k1k2 kk214k1k2k124k1k2k14k11，即 nk1 时等式成立由(1)、(2)可知，对任意 nN*等式均成立用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明与 n 有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证
6、明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小对第二类形式，往往要先对 n 取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，再猜出从某个 n 值开始都成立的结论，最后用数学归纳法证明用数学归纳法证明：1n211213 12n12n(nN*)证明：(1)当 n1 时，左边112，右边121，3211232，命题成立当 n2 时，左边1222；右边12252，2112131452，命题成立(2)假设当 nk(k2 且 kN*)时命题成立，即1k211213 12k12k，则当 nk1 时，11213 12k12k112k212k2k1k22k 12k11k12.又 11213 12k12k112k21
7、2k2k12k2k12k12(k1)，即 nk1 时，命题也成立由(1)(2)可知，命题对所有 nN*都成立【变式训练】2.用数学归纳法证明：n2nn1(nN*)证明：(1)当 n1 时，显然命题成立(2)假设 nk(k1，kN*)时，原不等式成立即 k2kk1，k2k(k1)2.则当 nk1 时，左边 k12k1 k23k2 k2k2k2 k122k2 k24k3 k24k4k2(k1)1.k12k1(k1)1.当 nk1 时，原不等式成立由(1)(2)知，原不等式对 nN*成立即 n2nn1(nN*)归纳、猜想与证明“归纳猜想证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式其一般
8、思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用其关键是归纳、猜想出公式已知数列an的前 n 项和为 Sn，其中 anSnn2n1且 a113.(1)求 a2，a3；(2)猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法加以证明解析：(1)a2S22221a1a26，又 a113，则 a2 115，类似地求得 a3 135.(2)猜想：an12n12n1.用数学归纳法证明如下：当 n1 时，由(1)可知等式成立；假设当 nk 时猜想成立，即 ak12k12k1，那么，当 nk1 时，由题设 anSnn2n1得ak
9、Skk2k1，ak1Sk1k12k1，Skk(2k1)akk(2k1)12k12k1k2k1，Sk1(k1)(2k1)ak1，ak1Sk1Sk(k1)(2k1)ak1k2k1，因此，k(2k3)ak1k2k1，ak112k12k312k112k11这就证明了当 nk1 时命题成立由可知命题对任何 nN*都成立【变式训练】3.数列an满足 Sn2nan(nN*)(1)计算 a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想解析：(1)a11，a232，a374，a4158，由此猜想 an2n12n1(nN*)(2)证明：当 n1 时，a11，结论成立假设 nk(
10、k1，且 kN*)时，结论成立，即ak2k12k1，那么 nk1(k1，且 kN*)时，ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak2akak1.2ak12ak，ak12ak222k12k122k112k，这表明 nk1 时，结论成立an2n12n1(nN*)数学归纳法的应用数学归纳法是用来证明与正整数n有关的数学命题的一种常用方法，应用时应注意以下三点：(1)验证是基础数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，n0并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是正确运用数学归纳法第一个要注意的问题(2)递推乃关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k1”的过程，必须把归纳假设“nk
11、”作为条件来导出“nk1”时的命题，在推导过程中，要把归纳假设用上一次或几次(3)寻找递推关系在第一步验证时，不妨多计算几次，并争取正确写出来，这样对发现递推关系是有帮助的探求数列通项公式要善于观察式子的变化规律，观察n处在哪个位置在书写f(k1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，除此之外，多了哪些项，少了哪些项要分清楚从近两年的高考试题来看，用数学归纳法证明与自然数有关的不等式以及与数列有关的命题是高考的热点，题型为解答题，主要考查用数学归纳法证明数学命题的能力，同时考查学生分析问题、解决问题的能力，难度为中高档(本小题满分 12 分)(2010江苏卷)已知A
12、BC的三边长都是有理数(1)求证：cos A 是有理数；(2)求证：对任意正整数 n，cos nA 是有理数【规范解答】证明：(1)由 AB、BC、AC 为有理数及余弦定理知 cos AAB2AC2BC22ABAC是有理数.3 分(2)用数学归纳法证明 cos nA 和 sin Asin nA 都是有理数当 n1 时，由(1)知 cos A 是有理数，从而有 sin Asin A1cos2A 也是有理数.4 分假设当 nk(k1)时，cos kA 和 sin Asin kA都是有理数.5分当 nk1时，由 cos(k1)Acos Acos kAsin Asin kA，sin Asin(k1)A
13、sin A(sin Acos kAcos Asin kA)(sin Asin A)cos kA(sin Asin kA)cos A，及和归纳假设，知 cos(k1)A 与 sin Asin(k1)A 都是有理数.11 分即当 nk1 时，结论成立综合、可知，对任意正整数 n，cos nA 是有理数.12 分【阅后报告】解答本题难点是：一是不知道什么叫有理数，二是假设时，只假设 cos kA，而不假设 sin Asin kA，不能充分说明 cos(k1)A 为有理数(2010安徽卷)设数列 a1，a2，an，中的每一项都不为 0.证明：an为等差数列的充分必要条件是：对任何 nN*都有1a1a2
14、 1a2a31anan1na1an1.证明：先证必要性设数列an的公差为 d.若 d0，则所述等式显然成立若 d0，则 1a1a2 1a2a31anan11da2a1a1a2 a3a2a2a3 an1ananan11d1a1 1a2 1a2 1a3 1an 1an11d1a1 1an1 1d an1a1a1an1 na1an1.再证充分性证法一(数学归纳法)：设所述的等式对一切 nN*都成立首先，在等式 1a1a2 1a2a3 2a1a3两端同乘 a1a2a3，即得 a1a32a2，所以 a1，a2，a3成等差数列，记公差为 d，则 a2a1d.假设 aka1(k1)d，当 nk1 时，观察如
15、下两个等式：1a1a2 1a2a31ak1akk1a1ak，1a1a2 1a2a31ak1ak1akak1ka1ak1.将代入，得k1a1ak 1akak1ka1ak1，在该式两端同乘 a1akak1，得(k1)ak1a1kak.将 aka1(k1)d 代入其中，整理后，得 ak1a1kd.由数学归纳法原理知，对一切 nN*都有 ana1(n1)d.所以an是公差为 d 的等差数列证法二(直接证法)：依题意有1a1a2 1a2a31anan1na1an1，1a1a2 1a2a31anan11an1an2 n1a1an2.得1an1an2 n1a1an2na1an1，在上式两端同乘 a1an1an2，得 a1(n1)an1nan2，同理可得 a1nan(n1)an1.得 2nan1n(an2an)，即 an2an1an1an，所以an是等差数列练规范、练技能、练速度
