1、1常用的函数模型(1)一次函数模型：ykxb(k0)；(2)反比例函数模型：y kxbc(k0)；(3)二次函数模型：yax2bxc(a0)；(4)正比与反比和函数模型：yaxbx(ab0)；(5)指数函数模型：ykaxb(k0，a0 且 a1)；(6)对数函数模型：yklogaxb(k0，a0 且 a1)；(7)无理函数模型2应用函数模型解决实际问题(数学建模)的一般步骤：(1)_；(2)_；(3)_；(4)_阅读题目、理解题意设置变量、建立函数关系应用函数知识和数学方法解决问题检验、作答考点一 形如 f(x)axbx的函数模型的应用示范1 某旅游风景区为方便学生集体旅游，特制学生寒假旅游专
2、用卡，每张卡 60 元，使用规定：不记名，每卡每次一人，每天只限一次，可连续使用一周实验小学现有 1 500 名学生，准备趁寒假分若干批去此风景区旅游(来回只需一天)，除需购买若干张旅游卡外，每次都乘坐 5 辆客车(每辆客车最大客容量为55 人)，每辆客车每天费用为 500 元，若使全体同学都到风景区旅游一次，按上述方案，每位同学最少要交多少钱？分析 求每位同学的花钱数最少，就是求旅游的总费用最少，所以变量应设旅游卡的购买数为 x，用 x 把总费用表示出来本题的总费用旅游卡钱每天租车钱租车次数，由此构造函数模型解析 设买 x 张旅游卡，总费用为 y 元，依题意得，购买卡需 60 x 元，租车的
3、次数为1 500 x，则租车的费用为1 500 x5005(元)，所以 y60 x1 500 x5005(0 x275 且 xN)，因为 x0，所以 y260 x1 500 x500530 000(元)，当且仅当 60 x1 500 x5005，即 x250 时，y 取得最小值为 30 000 元，此时，每人所需交钱数为30 0001 500 20 元，旅游所需天数1 500250 63)设该容器的建造费用为 y 千元，(1)写出 y 关于 r 的函数解析式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的 r.【解析】(1)设容器的容积为 V 立方米，由题意，知 Vr2l43r3.又 V
4、803，故 lV43r3r2803r243r4320r2r.由于 l2r，因此 0r2.所以建造费用y2rl3 4r2c2r4320r2r 34r2c，因此 y 4(c2)r2160r(0r2)(2)由(1)，得y8(c2)r160r2 8c2r2r3 20c2(03，所以 c20.当 r3 20c20 时，r320c2，令320c2m，则 m0.所以 y8c2r2(rm)(r2rmm2)当 0m92时，当 rm 时，y0；当 r(0，m)时，y0；所以 rm 是函数 y 的极小值点，也是最小值点当 m2，即 3c92时，当 r(0,2)时，y0，函数单调递减，所以 r2 是函数 y 的最小值
5、点综上，当 392时，建造费用最小时，r320c2.2(2010 福建)某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口 O 北偏西 30且与该港口相距 20 海里的 A 处，并正以 30 海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以 v 海里/时的航行速度匀速行驶，经过 t 小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在 30 分钟内(含 30 分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；(3)是否存在 v，使得小艇以 v 海里/时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若
6、存在，试确定 v 的取值范围；若不存在，请说明理由【解析】(1)设相遇时小艇的航行距离为 S 海里，则S 900t2400230t20cos9030 900t2600t400900t132300.则当 t13时，Smin10 3，v10 31330 3.故小艇以 30 3 海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小(2)如下图所示，设小艇与轮船在 B 处相遇由 题 意，可 知(vt)2 202 (30t)2 22030tcos(90 30)化简，得 v2400t2 600t 9004001t342675.由于 00)，于是 400u2600u900v20.(*)小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程(*)应有不等正根，即60021 600900v20，900v20.解得 15 3v30.所以 v 的取值范围是(15 3，30)
