1、1利用函数图象解决方程根的个数问题2函数图象对称性的证明考点一 函数图象的应用示范1 已知函数 yf(x)是 R 上以 2 为周期的奇函数且其在区间0,1)上的部分图形如右图所示，并已知这一图形是一个二次函数图象的一部分，其中点(1,1)是这个二次函数的顶点，试写出函数 yf(x)在区间2,2上的解析式分析 可以先作出在区间2,2上的全部图象，再写解析式解析 先由“奇函数”这一性质得到(1,0的图象，再由“以 2 为周期”这一性质得到2，1)，(1,2的图象如图：由图象得函数解析式如下，f(x)xx2，2x10，x1xx2，1x0 x2x，0 x10，x1xx2，1x2【点评】函数的图象形象地
2、显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性展示1 设奇函数 f(x)的定义域为5,5，若当 x0,5时，f(x)的图象如下图所示，则不等式 f(x)0 的解集是_【答案】x|2x0 或 20 且 a1)的图象有两个交点，求实数 a 的取值范围分析 可用图象法解析 当 0a1 时，作图如图由图象知 02a1，0a12，此时 a 的取值范围是0，12.当 a1 时，作图如图由图象知 02a1，0a12，此时 a 无解综合上述，知 a 的取值范围是0，12.答案0，12【点评】本题用的是数形结合法，分类讨论展示2(2011 深圳一模)若实数 t 满足 f(t)t，则称 t 是函数 f(
3、x)的一个次不动点设函数 f(x)ln x 与 g(x)ex(其中 e 为自然对数的底数)的所有次不动点之和为 m，则()Am0 Bm0 C0m1【答案】B【解析】画图即知函数 yln x 的图象与直线 yx 有唯一公共点(t，t)，exxxln(x)xt.故两个函数的所有次不动点之和 mt(t)0.或利用函数 yln x 的图象与函数yex 的图象关于直线 yx 对称即得出答案方法点拨：函数图象的应用较多体现在数形结合法上，它能直观地解决求解析式，求最值，解不等式，及方程根的个数，函数零点问题，是近几年高考命题的热点，解决此类问题的关键是细致分析图象所过的特殊点、特殊位置、从左到右图象变化的
4、趋势及对称性、渐近性，奇偶性、周期性等，快速搜寻有价值的信息，通过再加工，从而使问题得以解决.考点二 函数图象对称性的证明示范3 若函数 f(x)满足对于任意 xR 都有 f(x)f(2ax),求证：函数 f(x)的图象关于直线 xa 对称分析 可以转化为点的对称问题证明(1)设函数 f(x)的图象上任意一点为 P(x1，y1)，则 y1f(x1)，点 P 关于直线 xa 对称的点为 P(2ax1，y1)，点 P的坐标满足 f(2ax1)f(x1)y1，点 P在函数 yf(x)的图象上，由点 P 的任意性，知 f(x)的图象关于直线 xa 对称【点评】证明一个函数图象关于一直线对称，可以在图象
5、上任取一点，然后求出该点关于直线对称的点，并证明对称点也在该函数的图象上.展示3 求证：函数 yg(x)与 yg(2ax)的图象关于直线 xa 对称【证明】设函数 yg(x)的图象上任意一点为 P(x1，y1)，则 y1g(x1)，点 P 关于直线 xa 对称的点为 P(2ax1，y1)P的坐标满足 g2a(2ax1)g(x1)y1，点 P在函数 yg(2ax)的图象上另一方面，设函数 yg(2ax)的图象上任意一点为 Q(x2，y2)则 y2g(2ax2)，点 Q 关于直线 xa 对称的点为 Q(2ax2，y2)点 Q的坐标满足 g(2ax2)y2，点 Q在函数 yg(x)的图象上综上，函数
6、 yg(x)与 yg(2ax)的图象关于直线 xa 对称方法点拨：函数图象对称性的证明方法是利用数形结合、等价转化等思想方法把图象对称问题转化为点的对称问题.如果证明一个图象本身的对称，则只需在图象上任取一点，证明经过对称后仍然在该图象上.如果证明两个图象的对称，则需在其中一个图象 C1 上任取一点，证明经过对称后，在另一个图象 C2上，还要在 C2 上任取一点，证明经过对称后，在 C1 上.本课的主要考点是图象的应用，体现在已知图象求解析式、函数值、求解不等式、解决不等式恒成立和方程解的个数问题等，主要方法是数形结合方法，另一考点是图象对称性的判定和证明1(2011 陕西)函数 f(x)xc
7、os x 在区间0，)内()A没有零点B有且仅有一个零点C有且仅有两个零点D有无穷个零点【答案】B【解析】令 y1 x，y2cos x，则它们的图象如下页图所示故选 B.2.(2011 全国新课标)函数 y 1x1的图象与函数 y2sinx(2x4)的图象所有交点的横坐标之和等于()A2 B4 C6 D8【答案】D【解析】图象法求解函数 y 1x1的图象的对称中心是(1,0)也是函数 y2sin x(2x4)的图象的中心，它们的图象在 x1 的左侧有 4 个交点，则 x1 右侧必有 4 个交点.不妨把它们的横坐标由小到大设为 x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，则 x1x8x2x7x3x6x4x52.故选 D.
