1、第2讲一元二次不等式的解法基础知识整合1一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2bxc0(a0)或ax2bxc0)(2)计算相应的判别式(3)当0时，求出相应的一元二次方程的根(4)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集2三个二次之间的关系判别式b24ac000)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x10(a0)的解集x|xx2或xx1x|xx1Rax2bxc0)的解集x|x1x0(a0)恒成立的充要条件是：a0且b24ac0(xR)2ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是：a0且b24ac0的解集
2、为()A. B.C. D.答案B解析2x2x30(x1)(2x3)0，解得x或x0的解集为，故选B.2不等式4x24x10的解集为()A BRC. D.答案C解析因为4x24x1(2x1)2，所以4x24x10的解集为.3若不等式mx22mx42x24x的解集为R，则实数m的取值范围是()A(2,2)B(2,2C(，2)2，)D(，2)答案B解析mx22mx40.当m2时，40，xR；当m2时，(42m)216(2m)0，解得2m2.此时，xR.综上所述，2m2.4关于x的不等式x2px20的解集是(q,1)，则pq的值为()A2 B1 C1 D2答案B解析依题意，得q,1是方程x2px20的
3、两根，q1p，即pq1，故选B.5不等式0的解集是()A. Bx|3x4C. D.答案C解析不等式0，所以不等式的解集是.6若关于x的不等式ax22x20在R上恒成立，则实数a的取值范围是_答案解析当a0时，原不等式可化为2x20，其解集不为R，故a0不满足题意，舍去；当a0时，要使原不等式的解集为R，只需解得a.综上，所求实数a的取值范围是.核心考向突破考向一一元二次不等式的解法 例1解下列关于x的不等式：(1)0x2x24；(2)ax2(a1)x10.解(1)原不等式等价于借助于数轴，如图所示，故原不等式的解集为x|2x1或2x3(2)原不等式化为(ax1)(x1)1；当0a1时，解不等式
4、，得1x1时，解不等式，得x1；当a1时，不等式无解；当a0，解不等式，得x1.综上所述，当a0时，不等式的解集为x|x1；当0a1时，不等式的解集为x1；当a0.解(1)将原不等式移项通分得0，等价于所以原不等式的解集为.(2)原不等式化为(xa)(xa2)0，当a2a0，即a1或aa2或xa.当a2a0，即0a1时，解不等式，得xa；当a2a0，即a0或a1时，解不等式，得xa.综上得，当a1或aa2或xa；当0a1时，不等式的解集为x|xa；当a0或a1时，不等式的解集为x|xa考向二三个二次的关系例2(1)若不等式ax2bxc0的解集为(4,1)，则不等式b(x21)a(x3)c0的解
5、集为()A. B(，1)C(1,4) D(，2)(1，)答案A解析由不等式ax2bxc0的解集为(4,1)，知a0，即3x2x40，解得xb的解集为，则关于x的不等式ax2bxa0的解集为_答案解析由axb的解集为，可知a0两边同时除以a，得x2x0，所以x2x0，即5x2x40，解得1x0的解集为.即时训练2.(2019重庆模拟)关于x的不等式x22ax8a20)的解集为(x1，x2)，且x2x115，则a()A. B C. D答案A解析由条件知x1，x2为方程x22ax8a20的两根，则x1x22a，x1x28a2.故(x2x1)2(x1x2)24x1x2(2a)24(8a2)36a215
6、2，得a.故选A.3若x2pxq0的解集为_答案x|2x3解析x2pxq0，可化为x2x10，即x2x60，2x0的解集为x|2x3精准设计考向，多角度探究突破考向三一元二次不等式恒成立问题角度1形如f(x)0(xR)例3(1)(2019河南郑州期末)若一元二次不等式2kx2kx0对一切实数x都成立，则k的取值范围为()A(3,0 B3,0)C3,0 D(3,0)答案D解析设f(x)2kx2kx，因为2kx2kx0为一元二次不等式，所以k0.又2kx2kx0对一切实数x都成立，即函数f(x)2kx2kx的图象全部在x轴的下方，则有解得3k0.(2)若关于x的不等式(a2)x22(a2)x40对
7、一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是()A(，2 B(，2)C(2,2) D(2,2答案D解析不等式(a2)x22(a2)x40恒成立的条件为当a2时，40恒成立；当a2时，解得2a2.故2a2.选D.角度2形如f(x)0(xa，b)例4(1)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围为()A. B.C. D.答案D解析对于任意xm，m1，都有f(x)0，所以解得m0恒成立，则实数a的取值范围是()A(0,2) B(2，)C(0，) D(0,4)答案A解析二次函数图象开口向上，对称轴为x.x1,1时，f(x)x2ax0恒成立，即f(x)min0.
8、当1，即a2时，f(x)minf(1)1a0，解得a，与a2矛盾；当1，即a2时，f(x)minf(1)1a0，解得a2，与a2矛盾；当11，即2a0，解得0a2时，(x2)(1)x24x40，得x3；当x0，得x1.综上，x3.故选B.一元二次不等式恒成立问题的求解思路(1)形如f(x)0(xR)的不等式确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解(2)形如f(x)0(xa，b)的不等式确定参数范围时，可根据函数的单调性求其最小值(或最大值)，从而求参数的范围(3)形如f(x)0(参数ma，b)的不等式确定x的范围时，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁
9、就是参数即时训练4.若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是()A(，4 B4，)C4,20 D40,20)答案B解析根据已知，可转化为当1x3时，存在x01,3，使得x24x(1a)0.令f(x)x24x(1a)，易知函数在区间1,3上为增函数，故只需函数的最小值f(1)4a0即可，解得a4.5在R上定义运算：1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为()A B C. D.答案D解析由定义知，|x1a2a1x|1等价于x2x(a2a2)1，x2x1a2a对任意实数x恒成立，x2x12，a2a，解得a，则实数a的最大值为.故选D.6对于满足|a|2的所有实数a，使不等式x2ax12xa成立
10、的x的取值范围为_答案(，1)(3，)解析原不等式转化为(x1)ax22x10，设f(a)(x1)ax22x1，则f(a)在2,2上恒大于0，故有即解得所以x3.学科素养培优（十二） 分类讨论思想在不等式中的应用已知关于x的不等式(axa24)(x4)0的解集为A，且A中共含有n个整数，则当n最小时，实数a的值为()A1 B1 C2 D2答案D解析已知关于x的不等式(axa24)(x4)0，当a0时，(x4)0，其中a0，解集为(，4)，整数解有无穷个，故a0不符合条件；当a0时，(x4)0，其中a4，故解集为(，4)，整数解有无穷多个，故a0不符合条件综上所述，a2.答题启示若未知数的系数中含有参数，一般采用分类讨论思想解决问题，如本题中需要分a0三种情况进行讨论，特别是a0的情况下，将二次项的系数化为1时，切记不等号的方向要改变 对点训练(2019云南昆明模拟)若关于x的不等式x2(a1)xa0的解集是4,3的子集，则a的取值范围是()A4,1 B4,3C1,3 D1,3答案B解析原不等式等价于(xa)(x1)0，当a1时，不等式的解集为a,1，此时只要a4即可，即4a1时，不等式的解集为1，a，此时只要a3即可，即1a3.综上可得，4a3.故选B.
