1、高考资源网（） 您身边的高考专家第2讲等差数列及其前n项和基础知识整合1等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列符号表示为an1and(nN*，d为常数)(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A，其中A叫做a，b的等差中项2等差数列的有关公式(1)通项公式：ana1(n1)d.(2)前n项和公式：Snna1d.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.若mn2p(m，n，pN*)，则aman2a
2、p.(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列(6)等差数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等差数列，其公差为n2d.(7)若等差数列的项数为2n(nN*)，则S偶S奇nd，.(8)若等差数列的项数为2n1(nN*)，则S奇S偶an，(S奇nan，S偶(n1)an)(9)若Smn，Snm(mn)，则Smn(mn)(10)由公式Snna1得a1dna1，因此数列是等差数列，首项为a1，公差为等差
3、数列an公差的一半(11)等差数列与函数的关系ana1(n1)d可化为andna1d的形式当d0时，an是关于n的一次函数当d0时，数列为递增数列；当d0时，数列为递减数列Snn2n.当d0时，它是关于n的二次函数数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B为常数) 1(2019河北邯郸模拟)在等差数列an中，a3a412，公差d2，则a9()A14 B15 C16 D17答案D解析a11，a9a18d11617.故选D.2(2019全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和已知S40，a55，则()Aan2n5 Ban3n10CSn2n28n DSnn22n答案A解析设等差数列an的首项为a1，公差
4、为d.由S40，a55可得解得所以an32(n1)2n5，Snn(3)2n24n.故选A.3(2019湖北武汉调研)若等差数列an的前n项和Sn满足S44，S612，则S2()A1 B0 C1 D3答案B解析根据等差数列的性质，可得S2，S4S2，S6S4成等差数列，即2(S4S2)S2S6S4，因此S20.故选B.4(2019宁夏银川模拟)在等差数列an中，S525，a23，则a7()A13 B12 C15 D14答案A解析S55a325，a35，又a23，da3a22，a7a34d5813.故选A.5(2019全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若a35，a713，则S10_.答案100
5、解析an为等差数列，a35，a713，公差d2，首项a1a32d5221，S1010a1d100.6(2019北京高考)设等差数列an的前n项和为Sn，若a23，S510，则a5_，Sn的最小值为_答案010解析a2a1d3，S55a110d10，a14，d1，a5a14d0，ana1(n1)dn5.令an0，则n5，即数列an中前4项为负，a50，第6项及以后为正Sn的最小值为S4S510.核心考向突破考向一等差数列的基本运算 例1(1)(2019西安八校联考)设数列an是等差数列，且a26，a66，Sn是数列an的前n项和，则()AS4S1 DS4S1答案B解析设an的公差为d，由a26，
6、a66，得解得于是，S19，S33(9)318，S44(9)318，所以S4S3，S4S1.故选B.(2)(2019潍坊模拟)在等差数列an中，公差d0，若lg a1，lg a2，lg a4也成等差数列，且a510，则an的前5项和S5()A40 B35 C30 D25答案C解析因为lg a1，lg a2，lg a4成等差数列，所以2lg a2lg a1lg a4lg alg a1a4aa1a4d2a1d，因为d0，所以a1d，又a5a14d10，所以a12，d2，S55a1d30.选C.(3)(2019全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若a10，a23a1，则_.答案4解析由a10，a2
7、3a1，可得d2a1，所以S1010a1d100a1，S55a1d25a1，所以4.等差数列计算中的两个技巧(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量转换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法即时训练1.(2018全国卷)设Sn为等差数列an的前n项和，若3S3S2S4，a12，则a5()A12 B10 C10 D12答案B解析设该等差数列的公差为d，根据题中的条件可得322d42d，整理解得d3，所以a5a14d21210.
8、故选B.2(2019江苏高考)已知数列an(nN*)是等差数列，Sn是其前n项和若a2a5a80，S927，则S8的值是_答案16解析解法一：由S92727a1a962a562a18d6且a53.又a2a5a802a15d0，解得a15，d2.故S88a1d16.解法二：同解法一得a53.又a2a5a803a2a802a22a50a23.d2，a1a2d5.故S88a1d16.3已知数列an中，a37，a73，且是等差数列，则a10_.答案解析设等差数列的公差为d，是等差数列，4d，即4d，解得d，故7d7，解得a10.精准设计考向，多角度探究突破考向二等差数列的性质角度1等差数列项的性质例2
9、(1)(2019温州模拟)等差数列an中，若a4a6a8a10a12120，则a9a11的值是()A14 B15 C16 D17答案C解析因为an是等差数列，所以a4a6a8a10a125a8120，所以a824.所以a9a11a8d(a83d)a816.故选C.(2)设等差数列an的前n项和为Sn，若a2a5a830，则下列一定为定值的是()AS6 BS7 CS8 DS9答案D解析由a2a5a830可得3a530，所以a510，S63(a1a6)不一定是定值；S7(a1a7)不一定是定值；S84(a1a8)不一定是定值；S990.选D.等差数列项的性质：利用等差数列项的性质解决基本量的运算体
10、现了整体求值思想，应用时常将anam2ak(nm2k，n，m，kN*)与amanapaq(mnpq，m，n，p，qN*)相结合，可减少运算量即时训练4.(2019河南豫南、豫北联考)等差数列an中，a4a10a1630，则a182a14的值为()A20 B20 C10 D10答案D解析a4a10a163a1030，a1010，又2a14a18a10，a182a14a1010，故选D.5(2019福建漳州模拟)在等差数列an中，若S918，Sn240，an430，则n的值为()A14 B15 C16 D17答案B解析由等差数列的性质知S99a518，a52，又an430.Sn16n240，n15
11、.故选B.角度2等差数列前n项和的性质例3(1)(2019四川双流中学模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn，若S101，S305，则S40()A7 B8 C9 D10答案B解析由等差数列的性质知S10，S20S10，S30S20，S40S30成等差数列，设其公差为d，2(S20S10)S10(S30S20)，S20S101.d(S20S10)S10，S40S30133，S408.故选B.(2)一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为3227，则该数列的公差d_.答案5解析设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.由已知条件
12、，得解得又因为S偶S奇6d，所以d5.等差数列前n项和的性质在等差数列an中，Sn为其前n项和，则：(1)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列； (2)也为等差数列； (3)S2nn(a1a2n)n(anan1)； (4)S2n1(2n1)an； (5)若n为偶数，则S偶S奇；若n为奇数，则S奇S偶a中(中间项)即时训练6.(2019大同模拟)在等差数列an中，a1a2a50200，a51a52a1002700，则a50()A22.5 B21.5 C28.5 D20答案C解析由(a51a52a100)(a1a2a50)5050d2700200，得d1.由a1a100a2a99a50
13、a5150(a50a51)27002002900，得a50a5158，即2a50d58，所以a5028.5.故选C.7(2019汕头模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn，a19，4，则Sn取最大值时的n为()A4 B5 C6 D4或5答案B解析由an为等差数列，得a5a32d4，即d2，由于a19，所以an2n11，令an2n11，所以Sn取最大值时的n为5，故选B.考向三等差数列的判定与证明 例4(1)(2019辽宁大连模拟)数列an满足a12，a21并且(n2)，则数列an的第100项为()A. B. C. D.答案B解析(n2)，为等差数列，首项为，第二项为1，d，99d50，a100
14、.(2)(2019贵州适应性考试)已知数列an满足a11，且nan1(n1)an2n22n.求a2，a3；证明数列是等差数列，并求an的通项公式解由已知，得a22a14，则a22a14，又因为a11，所以a26.由2a33a212，得2a3123a2，所以a315.证明：由已知nan1(n1)an2n22n，得2，即2，所以数列是首项为1，公差为d2的等差数列，则12(n1)2n1.所以an2n2n.等差数列的判定方法(1)定义法：对于n2的任意自然数，验证anan1为同一常数(2)等差中项法：验证2an1anan2(n3，nN*)成立(3)通项公式法：验证anpnq.(4)前n项和公式法：验
15、证SnAn2Bn.提醒：在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断即时训练8.(2019河南郑州模拟)已知数列an中，a11，a24,2anan1an1(n2，nN*)，当an298时，项数n()A100 B99 C96 D101答案A解析因为2anan1an1(n2，nN*)，所以anan1an1an.由a11，a24得da2a13，所以数列an是首项为1，公差为3的等差数列，所以ana1(n1)d1(n1)33n2.由3n2298，解得n100.故选A.9已知数列an的前n项和为Sn，an0，a11，且2anan14Sn3(nN*)
16、(1)求a2的值并证明：an2an2；(2)求数列an的通项公式解(1)令n1得2a1a24S13，又a11，a2.2anan14Sn3，2an1an24Sn13.得，2an1(an2an)4an1.an0，an2an2.(2)由(1)可知：数列a1，a3，a5，a2k1，为等差数列，公差为2，首项为1，a2k112(k1)2k1，则当n为奇数时，ann.数列a2，a4，a6，a2k，为等差数列，公差为2，首项为，a2k2(k1)2k，则当n为偶数时，ann.综上所述，an学科素养培优（十） 破解等差数列前n项和的最值问题1(2019长春市模拟)等差数列an中，已知|a6|a11|，且公差d0
17、，则其前n项和取最小值时，n的值为()A6 B7 C8 D9答案C解析|a6|a11|且公差d0，a6a11，a6a11a8a90，且a80，a1a2a80a9a100，S3S11，则当n为_时，Sn最大答案7解析解法一：由S3S11，得3a1d11a1d，则da1.从而Snn2n(n7)2a1.又因为a10，所以0.故当n7时，Sn最大解法二：由于f(x)ax2bx是关于x的二次函数，且(n，Sn)在二次函数f(x)的图象上，由S3S11，可知f(x)ax2bx的图象关于直线x7对称由解法一可知a0，S3S11可知d0，a80，d0时，满足的项数n，使Sn取最大值；当a10时，满足的项数n，
18、使Sn取最小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小若有零项，则使Sn取最值的n有两个 对点训练1(2019广东佛山模拟)设等差数列an满足3a85a15，且a10，Sn为其前n项和，则数列Sn的最大项为()AS23 BS24 CS25 DS26答案C解析设等差数列的公差为d，3a85a15，3a121d5a170d，a124d0.a10，d0，a125da260，数列Sn最大项为S25.故选C.2(2019黑龙江哈尔滨模拟)已知数列an为等差数列，若0的最大值n为()A11 B19 C20 D21答案B解析Snn2n有最大值，d0，又0，a110，a10a110，即a1a200，S2010(a1a20)0，使Sn0的n的最大值为19.故选B.- 15 - 版权所有高考资源网
