1、课时分层作业(十三)抛物线的简单几何性质(建议用时：60分钟)一、选择题1方程y2所表示曲线的形状是()D方程y2等价于故选D2过抛物线C：y212x的焦点作直线l交C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1x26，则|AB|()A16 B12C10 D8B由题意知p6，故|AB|x1x2p123过抛物线y24x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A有且仅有一条 B有且仅有两条C有无穷多条 D不存在B设A(x1，y1)，B(x2，y2)当斜率不存在时，x1x22不符合题意当斜率存在时，由焦点坐标为(1,0)，可设直线方程为yk(x1)，由得
2、k2x2(2k24)xk20，(2k24)24k416k2160，x1x25，k2，即k因而这样的直线有且仅有两条4已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 ()Ax1 Bx1Cx2 Dx2B易知抛物线的焦点为F，所以过焦点且斜率为1的直线的方程为yx，即xy，代入y22px得y22p2pyp2，即y22pyp20，由根与系数的关系得p2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线的方程为y24x，准线方程为x15设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足，如果直线AF的斜
3、率为，那么|PF|()A4 B8 C8 D16B设P(x0，y0)，则A(2，y0)，又F(2,0)，所以，即y04由y8x0得8x048，所以x06从而|PF|628二、填空题6抛物线y24x的弦ABx轴，若|AB|4，则焦点F到直线AB的距离为_2由抛物线的方程可知F(1,0)，由|AB|4且ABx轴得y(2)212，xA3，所求距离为3127过抛物线y24x的焦点作一条直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为2，则|AB|_6设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为抛物线的准线方程为x1，焦点为F(1,0)，则根据抛物线的定义可知|AF|x11，|BF|x21，所以|AB
4、|x11x212xM222268抛物线y24x上的点到直线xy40的最小距离为_设与直线xy40平行且与抛物线y24x相切的直线方程为xym0由得x2(2m4)xm20，则(2m4)24m20，解得m1，即直线方程为xy10，直线xy40与直线xy10的距离为d即抛物线y24x上的点到直线xy40的最小距离为三、解答题9已知抛物线C：y2x2和直线l：ykx1，O为坐标原点(1)求证：l与C必有两交点；(2)设l与C交于A，B两点，且直线OA和OB斜率之和为1，求k的值解(1)证明：联立抛物线C：y2x2和直线l：ykx1，可得2x2kx10，所以k280，所以l与C必有两交点(2)设A(x1
5、，y1)，B(x2，y2)，则1，因为y1kx11，y2kx21，代入，得2k1，由(1)可得x1x2k，x1x2，代入得k110已知抛物线C：y22px(p0)，焦点为F，O为坐标原点，直线AB(不垂直于x轴)过点F且与抛物线C交于A，B两点，直线OA与OB的斜率之积为p(1)求抛物线C的方程；(2)若M为线段AB的中点，射线OM交抛物线C于点D，求证：2解(1)因为直线AB过点F且与抛物线C交于A，B两点，F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB(不垂直x轴)的方程可设为yk(k0)，所以y2px1，y2px2，(p0)，因为直线OA与OB的斜率之积为p，所以p，所以2p2，得x
6、1x24，由得k2x2(k2p2p)x0，其中(k2p2p)2k2p2k20，所以x1x2，x1x2，所以p4，抛物线C的方程为：y28x(2)证明：设M(x0，y0)，D(x3，y3)，因为M为线段AB的中点，所以x0(x1x2)，y0k(x02)，所以直线OD的斜率kOD，直线OD的方程为ykODxx，代入抛物线C：y28x的方程，得x3，所以k22，因为k20，所以k2221已知抛物线x22py(p0)的焦点为F，过F作倾斜角为30的直线与抛物线交于A，B两点，若(0,1)，则()A B C DC因为抛物线的焦点为F，故过点F且倾斜角为30的直线的方程为yx，与抛物线方程联立得x2pxp
7、20，解方程得xAp，xBp，所以，故选C2过抛物线C：y24x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MNl，则M到直线NF的距离为()A B2 C2 D3C抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线方程为x1由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y(x1)联立方程组解得或点M在x轴的上方，M(3,2)MNl，N(1,2)|NF|4，|MF|MN|4MNF是边长为4的等边三角形点M到直线NF的距离为2故选C3已知点A(2,0)，B(4,0)，动点P在抛物线y24x上运动，则取得最小值时的点P的坐标是_(0,0)设P(x0，y0)，则(x02，y0)，(
8、x04，y0)，所以(x02)(x04)y，又y4x0，所以x10x08(x05)217，因为x00，所以当x00时，取得最小值此时点P的坐标为(0,0)4已知抛物线y24x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则yy的最小值是_32y4x1，y4x2，则yy4(x1x2)，若过点P(4,0)的直线垂直于x轴，则直线方程为x4，此时x1x28，yy32，若过点P(4,0)的直线存在斜率，则设直线方程为yk(x4)，由得k2x2(8k24)x16k20，则x1x288，此时yy32，因此yy的最小值为325已知点A，B是抛物线y22px(p0)上的两点，且OAOB(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；(2)求证：直线AB过定点解(1)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则有kOA，kOB因为OAOB，所以kOAkOB1，所以x1x2y1y20因为y2px1，y2px2，所以y1y20因为y10，y20，所以y1y24p2，所以x1x24p2(2)证明：因为y2px1，y2px2，两式相减得(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)，所以，所以kAB，故直线AB的方程为yy1(xx1)，所以yy1，即y因为y2px1，y1y24p2，代入整理得y，所以y(x2p)，即直线AB过定点(2p,0)
