1、第3讲二项式定理基础知识整合1二项式定理的内容(1)(ab)nCanCan1b1CanrbrCbn(nN*)(2)第r1项，Tr1Canrbr.(3)第r1项的二项式系数为C(r0,1，n)2二项式系数的性质(1)0rn时，C与C的关系是相等(2)二项式系数先增后减中间项最大且n为偶数时第1项的二项式系数最大，最大为Cn，当n为奇数时第1或1项的二项式系数最大，最大为Cn或Cn.(3)各二项式系数和：CCCC2n，CCC2n1，CCC2n1.1注意(ab)n与(ba)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题2解题时，要注意区别二项式系数和项的系数的不同、项数和项的不
2、同3切实理解“常数项”“有理项(字母指数为整数)”“系数最大的项”等概念1(2020东莞调研测试)二项式6的展开式的常数项为()A15 B15 C20 D20 答案B解析二项式6的展开式的通项公式为Tr1Cx6rrC(1)rx63r.令63r0，求得r2，展开式的常数项是C15，故选B.2(2019全国卷)(12x2)(1x)4的展开式中x3的系数为()A12 B16 C20 D24答案A解析解法一：(12x2)(1x)4的展开式中x3的系数为1C2C12.故选A.解法二：(12x2)(1x)4(12x2)(14x6x24x3x4)，x3的系数为142412.故选A.3若(x1)4a0a1xa
3、2x2a3x3a4x4，则a0a2a4的值为()A9 B8 C7 D6答案B解析令x1，则a0a1a2a3a40，令x1，则a0a1a2a3a416，两式相加，得a0a2a48.4(xy)(xy)5的展开式中x2y4的系数为()A10 B5 C5 D10答案B解析(xy)5的展开式的通项公式为Tr1Cx5ryr，令5r1，得r4，令5r2，得r3，(xy)(xy)5的展开式中x2y4的系数为C1(1)C5.故选B.5设(5x)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，MN240，则展开式中x3的系数为()A500 B500 C150 D150答案C解析由题意可得N2n，令x1，则M(5
4、1)n4n(2n)2.(2n)22n240,2n16，n4.展开式中第r1项Tr1C(5x)4r()r(1)rC54rx4.令43，即r2，此时C52(1)2150.6(2019浙江高考)在二项式(x)9的展开式中，常数项是_，系数为有理数的项的个数是_答案165解析由二项展开式的通项公式可知Tr1C()9rxr，rN,0r9，当为常数项时，r0，T1C()9x0()916.当项的系数为有理数时，9r为偶数，可得r1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数是5.核心考向突破考向一求展开式中的特定项或特定项系数例1(1)18的展开式中含x15的项的系数为()A153 B153 C17 D17答
5、案C解析Tr1Cx18rrrCx18r，令18r15，解得r2，所以含x15的项的系数为2C17.(2)(2019山东枣庄模拟)若(x2a)10的展开式中x6的系数为30，则a等于()A. B. C1 D2答案D解析10的展开式的通项公式为Tr1Cx10rrCx102r，令102r4，解得r3，所以x4的系数为C；令102r6，解得r2，所以x6的系数为C，所以(x2a)10的展开式中x6的系数为CaC30，解得a2.故选D.(3)(2019天津高考)8的展开式中的常数项为_答案28解析8的展开式的通项为Tr1C8rrC28rrx84r.令84r0，得r2，展开式中的常数项为T3C26228.
6、求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路(1)利用通项公式将Tr1项写出并化简(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出r.(3)代回通项公式得所求即时训练1.(2019广州调研)9的展开式中x3的系数为()A BC. D.答案A解析二项展开式的通项Tr1Cx9rrrCx92r，令92r3，得r3，所以展开式中x3的系数为3C.故选A.2(2020河南信阳摸底)(x21)5的展开式的常数项是()A5 B10 C32 D42答案D解析由于5的展开式的通项为C5r(2)rC(2)rx，故(x21)5的展开式的常数项是C(2)C(2)542.故选D.3已知9的
7、展开式中x3的系数为，则a_.答案4解析9的展开式的通项公式为Tr1C9rr(1)ra9r2Cxr9.令r93，得r8，则(1)8a24C，解得a4.精准设计考向，多角度探究突破考向二二项式系数与各项的系数问题角度二项展开式中系数的和例2(1)(2019郑州一中测试)若二项式n的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为()A1 B1 C27 D27答案A解析由题意，得CCC2n8，即n3，所以3的展开式的系数之和为(12)31，故选A.(2)已知(12x)7a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5a6x6a7x7，则a1a2a3a4a5a6_，a0a1a2a3a4a5a6a7
8、_，a2a4a6_.答案12621871092解析令x0，得a01.令x1，得1a0a1a2a7.又a7C(2)7(2)7，a1a2a61a0a7126.令x1，得a0a1a2a3a4a5a6a7372187.，得a0a2a4a61093，a2a4a61092.赋值法的应用(1)对形如(axb)n(a，bR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1.(2)对形如(axby)n(a，bR)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令xy1.(3)一般地，对于多项式(abx)na0a1xa2x2anxn，令g(x)(abx)n，则(abx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(abx)n的
9、展开式中奇数项的系数和为g(1)g(1)，(abx)n的展开式中偶数项的系数和为g(1)g(1)即时训练4.(2019东北三校联考)若(1x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则|a0|a1|a2|a3|a4|a5|()A0 B1 C32 D1答案A解析由(1x)5的展开式的通项公式Tr1(1)rCxr，可得a1，a3，a5为负数，a0，a2，a4为正数，故有|a0|a1|a2|a3|a4|a5|a0a1a2a3a4a5(11)50.故选A.5(2019郑州一测)在n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为321，则x2的系数为_答案90解析令x1，则n4n，所以n的展开式中，各
10、项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以2n32，解得n5.二项展开式的通项Tr1Cx5rrC3rx5r，令5r2，得r2，所以x2的系数为C3290.角度二项式系数的最值问题例3(1)设m为正整数，(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a7b，则m()A5 B6 C7 D8答案B解析由题意，得aC，bC，则13C7C，13，解得m6，经检验m6为原方程的解，故选B.(2)(2019安徽马鞍山模拟)二项式n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为()A3 B5 C6 D7答案D解析根据n的展开式中只
11、有第11项的二项式系数最大，得n20，n的展开式的通项为Tr1C(x)20rr()20rCx20，要使x的指数是整数，需r是3的倍数，r0,3,6,9,12,15,18，x的指数为整数的项共有7项故选D.求二项式系数最大项(1)如果n是偶数，那么中间一项的二项式系数最大(2)如果n是奇数，那么中间两项的二项式系数相等并最大即时训练6.已知(1x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A212 B211 C210 D29答案D解析因为展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，所以CC，解得n10，所以根据二项式系数和的相关公式可知，奇数项的二项式系数和为2n129
12、.7若n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是()A180 B120 C90 D45答案A解析由只有第6项的二项式系数最大，可知n10，于是展开式的通项为Tr1C()10rr2rCx5，令50，得r2，所以展开式中的常数项是22C180.故选A.角度项的系数的最值问题例4(1)(2020承德摸底)若(12x)6的展开式中第二项大于它的相邻两项，则x的取值范围是()A.x .xC.x .x答案A解析即x.(2)若n的展开式中第6项系数最大，则不含x的项为()A210 B10 C462 D252答案A解析第6项系数最大，且项的系数为二项式系数，n的值可能是9,10,11.设常数
13、项为Tr1Cx3(nr)x2rCx3n5r，则3n5r0，其中n9,10,11，rN，n10，r6，故不含x的项为T7C210.求展开式系数最大项如求(abx)n(a，bR)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，An1，且第k项系数最大，应用从而解出k来，即得即时训练8.(2020宜昌高三测试)已知(x3x2)n的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项解令x1，则展开式中各项系数和为(13)n22n.又展开式中二项式系数和为2n，2n32，n5.(1)n5，展开式共6项，二项式系
14、数最大的项为第三、四两项，T3C(x)3(3x2)290x6，T4C(x)2(3x2)3270x.(2)设展开式中第k1项的系数最大，则由Tk1C(x)5k(3x2)k3kCx，得k，k4，第5项系数最大，即展开式中系数最大的项为T5C(x)(3x2)4405x.考向三二项式定理的应用例5(1)(2019潍坊模拟)设aZ，且0a13，若512020a能被13整除，则a()A0 B1 C11 D12答案D解析由于51521，(521)2020C522020C522019C5211，又由于13能整除52，所以只需13能整除1a，0a13，aZ，所以a12.(2)0.9910的第一位小数为n1，第二
15、位小数为n2，第三位小数为n3，则n1，n2，n3分别为()A9,0,4 B9,4,0 C9,2,0 D9,0,2答案A解析0.9910(10.01)10C110(0.01)0C19(0.01)1C18(0.01)210.10.00450.9045.二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1x)n1nx.即时训练9.190C902C903C(1)k90kC9010C除以88的余数是()A1 B1 C87 D87答案B解析190C902C90
16、3C(1)k90kC9010C(190)108910(881)108810C889C881.前10项均能被88整除，余数是1.101.028的近似值是_(精确到小数点后三位)答案1.172解析1.028(10.02)8CC0.02C0.022C0.0231.172.学科素养培优（二十二）二项式定理破解三项式问题1(2020柳州摸底)(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为()A10 B20 C30 D60答案C解析由二项展开式通项易知Tr1C(x2x)5ryr，令r2，则T3C(x2x)3y2，对于二项式(x2x)3，由Tt1C(x2)3txtCx6t，令t1，所以x5y2的系数为CC30.
17、故选C.2.5的展开式中的常数项为_(用数字作答)答案解析解法一：原式5(x)25(x)10.求原式的展开式中的常数项，转化为求(x)10的展开式中含x5项的系数，即C()5.所以所求的常数项为.解法二：要得到常数项，可以对5个括号中的选取情况进行分类：5个括号中都选取常数项，这样得到的常数项为()5.5个括号中的1个选，1个选，3个选，这样得到的常数项为CCC()3.5个括号中的2个选，2个选，1个选，这样得到的常数项为C2C.因此展开式的常数项为()5CCC()3C2C.答题启示二项式定理研究两项和的展开式，对于三项式问题，一般是通过合并、拆分或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解对点训练1(x2x1)10的展开式中x3的系数为()A210 B210 C30 D30答案A解析(x2x1)10x2(x1)10C(x2)10C(x2)9(x1)Cx2(x1)9C(x1)10，所以展开式中x3的系数为CCC(C)210.故选A.2.3的展开式中x2的系数是_(用数字作答)答案15解析因为36，所以Tr1Cx6rrC(1)rx62r，令62r2，解得r2，所以展开式中x2的系数是C(1)215.
