1、14生活中的优化问题举例填一填1.优化问题生活中，我们经常遇到面积、体积最大，周长最小，利润最大，用料最省，费用最低，效率最高等等一系列问题，这些问题统称为优化问题2利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f(x)0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值3经济生活中优化问题的解决：经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动4关于利润问题常用的两个等量关系：利润收入成本；利润每件产品的利润销售件数.判一判1.磁盘的最大存储量问题是优化问题()2
2、求某长方体容器的容积问题是优化问题()3汽油的使用效率的提高问题是优化问题()4计算圆柱形容器的容积与求圆柱体积的方法是相同的()5饮料瓶大小对饮料公司利润的影响问题不是优化问题()6关于利润问题中常用收入减去成本求利润()想一想1.利用导数解决实际中的最值问题的一般步骤有哪些？(1)分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)；(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)把所得数学结论回归到数学问题中，看是否符合实际情况并下结论2解决优化问题时应注意哪些问题
3、？(1)列函数解析式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域(2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f(x)0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较3关于利润问题中常用的两个等量关系是什么？利润收入成本；利润每件产品的利润销售件数4优化问题包括哪些问题？生活中，我们遇到的面积、体积最大，周长最小，利润最大，用料最省，费用最低，效率最高等都属于优化问题感悟体会练一练1.若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为：yx327x123(x0)，则获得利
4、润最大时的年产量为()A1百万件 B2百万件C3百万件 D4百万件解析：由yx327x123(x0)，得y3x2273(x3)(x3)，函数yx327x123在(0,3)上是增函数，在(3，)上是减函数，x3时，获得最大利润，故选C.答案：C2.某出版社出版一读物，一页纸上所印文字占去150 cm2，上、下要留1.5 cm空白，左、右要留1 cm空白，出版商为节约纸张，应选用的尺寸为()A左右长12 cm，上下长18 cmB左右长12 cm，上下长19 cmC左右长11 cm，上下长18 cmD左右长13 cm，上下长17 cm解析：设所印文字区域的左右长为x cm，则上下的长为 cm，所以该
5、页纸的左右长为(x2) cm，上下长为 cm，所以该页纸的面积S(x2)3x156，S3，由S0，得x10，当x(0,10)时，S单调递减，当x(10，)时，S单调递增，x10时，Smin216(cm2)，此时该页纸的左右长为12 cm，上下长为18 cm，故选A.答案：A3.如图，内接于抛物线y1x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是_解析：设|CD|2a，a(0,1)，则点C的坐标为(a,0)，点B的坐标为(a,1a2)，矩形ABCD的面积S2a(1a2)2a2a3，a(0,1)由S26a20得a(舍)，或a，当a时，S0，S2a2a3在
6、上单调递增；当a时，S0，S2a2a3在上单调递减，a时，Smax.答案：知识点一面积、体积的最大(小)问题1.若一球的半径为r，则内接于球的圆柱的侧面积最大为()A2r2 Br2C4r2 D.r2解析：设内接于球的圆柱的底面半径为R，母线长为l，则该圆柱的侧面积S2Rl，且2R2r2，R2r2.令yS242R2l242l242r2l22l4，其中0l2r，则y82r2l42l3.由y0，得lr，结合导函数的图象知，当lr时，ymax42r4，Smax2r2，故选A.答案：A2一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图)问当帐篷的顶点O到底面中心O
7、1的距离为多少时，帐篷的体积最大？解析：设OO1为x m(1x4)，底面正六边形的面积为S m2，帐篷的体积为V m3.则由题设可得正六棱锥底面边长为 (m)，于是底面正六边形的面积为S6()2(82xx2)(m2)，所以帐篷的体积为V(82xx2)(x1)(82xx2)(82xx2)(1612xx3)(m3)，求导数，得V(123x2)令V0，解得x2(舍去)或x2.当1x0；当2x4时，V0)，令l20，解得y16(另一负根舍去)，当0y16时，l16时，l0，所以当y16时，函数取得极小值，也就是最小值，此时x32.故选A.答案：A4某工厂要建造一个长方体的无盖箱子，其容积为48 m3，
8、高为3 m，如果箱底每平方米的造价为15元，箱侧面每平方米的造价为12元，则箱子的最低总造价为()A900元 B840元C818元 D816元解析：设箱子的长为x m，则宽为(m)，根据题意，箱子的总造价y1521224072(x0)，y72，由y0，得x4(舍)或x4，当x4时，y取得最小值816，所以当底面为边长为4 m的正方形时，箱子的总造价最低为816元，故选D.答案：D知识点三利润最大、效率最高问题5.已知某商品的生产成本C与产量q(0q100)的函数关系为C1004q，价格p与产量q的函数关系式为p25q，则利润L最大时，产量q等于()A76 B80C84 D88解析：依题意，利润
9、LpqCq(1004q)q221q100(0q100)，则Lq21，由L0，得q84，当0q0；当84q100时，L0，q84时，L取得最大值782，故选C.答案：C6某种产品每件成本为6元，每件售价为x元(6x11)，年销量为u万件，若已知u与2成正比，且售价为10元时，年销量为28万件(1)求年利润y万元关于售价x的函数关系式；(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润解析：(1)设uk2，因为售价为10元时，年销量为28万件，所以28k2，解得k2.所以u222x221x18，所以y(2x221x18)(x6)2x333x2108x108(6x0；当x(9,11)时，y0.所以函
10、数y2x333x2108x108在(6,9)上是递增的，在(9,11)上是递减的所以当x9时，ymax135，所以售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元.综合知识优化问题的综合应用7.张师傅欲将一球形的石材工件削砍加工成一圆柱形的新工件，已知原球形工件的半径为2，则张师傅的材料利用率的最大值等于()A. B.C. D.解析：设球的半径为R，圆柱的半径为r，高为h，则r2R2，球的体积V1R3，圆柱的体积V2r2hhR2hh3V2R2h2，由V20得hR，圆柱的最大体积V2R2R3R3，材料利用率的最大值，故选C.答案：C8如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图已知AB为直径，且AB2
11、km，O为圆心，C为圆周上靠近A的一点，D为圆周上靠近B的一点，且CDAB.现在准备从A经过C到D建造一条观光路线，其中A到C是圆弧，C到D是线段CD.设AOCx rad，观光路线总长为y km.(1)求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；(2)求观光路线总长的最大值解析：(1)由题意知，x1x，CD2cos x，因为C为圆周上靠近A的一点，D为圆周上靠近B的一点，且CDAB，所以0x，所以yx2cos x，x.(2)记f(x)x2cos x，则f(x)12sin x，令f(x)0，得x，列表xf(x)0f(x)递增极大值递减所以函数f(x)在x处取得极大值，这个极大值就是最大值，即f
12、，答：观光路线总长的最大值为千米基础达标一、选择题1内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为()A.和B.R和RC.R和R D以上都不对解析：设矩形的宽为x，则长为2，矩形的周长l2x4(0xR)，则l2，由l0，得xR(舍)或xR，当0x0；当RxR时，l0，当xR时，l取得最大值，此时矩形的长为R，故选B.答案：B2用长为24 m的钢筋做成一个长方体框架，若这个长方体框架的底面为正方形，则这个长方体体积的最大值为()A8 m3 B12 m3C16 m3 D24 m3解析：设长方体的底面边长为x m，则高为(62x) m，0x390时，P(x)70 090100x是减函数，P(x)
13、P(390)70 09010039031 0900)，则底面积Sx2，所以h.S表x3x22x2，S表x，令S表0得x，因为S表只有一个极值，故x为最小值点，故选C.答案：C5某人要购买8件礼物，分两次购买，商家规定每次购买礼物的付款金额为当次购买礼物数量的三次方，若使购买礼物总付款额最少，此人每次购买礼物的数量分别为()A2,6 B4,4C3,5 D1,7解析：设第一次购买礼物x件，则第二次购买礼物(8x)件，总付款金额f(x)x3(8x)324x2192x512，f(x)48x192，由f(x)0，得x4，此时付款总额最少，故选B.答案：B6如图，在等腰梯形ABCD中，CD40，AD40，
14、梯形ABCD的面积最大时，AB等于()A40 B60C80 D120解析：设BAD，则ABCD2ADcos 4080cos ，梯形的高hADsin 40sin ，梯形ABCD的面积S(4080cos 40)40sin 1 600sin 1 600sin cos .S1 600cos 1 600(cos2sin2)1 600(2cos2cos 1)1 600(cos 1)(2cos 1)由S0，得cos .，此时AB408080，故选C.答案：C7要制作一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为()A. cm B. cmC. cm D. cm解析：如图，设圆锥底面半径为r，高
15、为h，则h2r2202.所以r，所以圆锥体积Vr2h(400h2)h(400hh3)(0h20)，所以V(4003h2)，令V0，得h或h(舍去)当0h0；当h时，V0)，为使耗电量最小，则其速度应定为_解析：yx239x40(x0)，由y0，得x40，当x(0,40)时，y0，函数yx3x240x单调递增，x40时，y取得最小值，即此时耗电量最小，其速度应定为40.答案：409做一个无盖的圆柱体水桶，若要使其体积是27，且用料最省，则圆柱的底面半径为_解析：设圆柱的底面半径为R，则圆柱的母线长L，圆柱体水桶的表面积SR22RLR22RR2，S2R，由S0，得R3，当0R3时，S单调递增，当圆
16、柱的底面半径为3时，用料最省答案：310把长为60 cm的铁丝围成矩形，长为_，宽为_时，矩形的面积最大解析：设矩形的长为x cm(0x30)，则矩形的宽为(30x) cm，矩形的面积Sx(30x)30xx2，由S302x0，得x15(cm)，此时，宽为15 cm，当长和宽均为15 cm时，矩形的面积最大答案：15 cm15 cm11某公司一年购买某种货物400吨，每次购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，则一年的总运费与总存储费之和的最小值为_万元解析：设该公司一年购买某种货物n次，则n，总运费与存储费之和f(x)4n4x4x，f(x)4，令f(x)0，得x20(舍)或x20
17、，当0x20时，f(x)20时，f(x)0，x20时，f(x)取得最小值，最小值为f(20)420160(万元)答案：16012某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站_千米处解析：设仓库与车站相距x千米，依题意，设每月土地占用费y1，每月库存货物的运费y2k2x，其中k1，k2是比例系数，2，810k2，k120，k2，两次费用之和yx(x0)，由y0，得x5(舍)或x5，当仓库建在离车站相距5千米处时
18、，两次费用之和最小答案：5三、解答题13如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40 km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50 km.两厂要在此岸边A，D之间合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省？解析：设C点距D点x km，则AC50x(km)，所以BC(km)又设总的水管费用为y元，依题意，得y3a(5x)5a(0x0，且r0可得0r0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，V(r)0，故V(r)在(5,5)上为减函数由此可知，V(r)在r5处取得
19、最大值，此时h8，即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大.能力提升15.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值解析：(1)由题设，每年能源消耗费用为C(x)(0x10)，再由C(0)8，得k40，因此C(x).而建造
20、费用为C1(x)6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)20C(x)C1(x)206x6x(0x10)(2)f(x)6，令f(x)0，即6，解得x5，x(舍去)当0x5时，f(x)0，当5x0，故x5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)6570.故当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元16在互联网时代，网校培训已经成为青年学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量h(x)(单位：千套)与销售价格x(单位：元/套)满足的关系式h(x)f(x)g(x)(3x7，m为常数)，其中f(x)与(x3)成反比，g(x)与(x7)的平方成正比，已知销售价格为5元/
21、套时，每日可售出套题21千套；销售价格为3.5元/套时，每日可售出套题69千套(1)求h(x)的表达式(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题3元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大(保留1位小数)解析：(1)因为f(x)与x3成反比，g(x)与x7的平方成正比，所以可设f(x)，g(x)k2(x7)2，k10，k20，则h(x)f(x)g(x)k2(x7)2.由题意，得h(5)21，h(3.5)69，即解得所以h(x)4 (x7)2(3x7)(2)由(1)可知，套题每日的销售量h(x)4(x7)2，设每日销售套题所获得的利润为F(x)，则F(x)(x3)104(x7)2(x3)4x368x2364x578，从而F(x)12x2136x3644(3x13)(x7)，3x0，所以函数F(x)在上单调递增；x时，F(x)0，所以函数F(x)在上单调递减，所以x4.3时，函数F(x)取得最大值故当销售价格为4.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大
