1、1椭圆的定义平面内与两定点 F1，F2 的距离的和等于定长 2a(2a|F1F2|)的点的轨迹叫做_，即点集 MP|PF1|PF2|2a,2a|F1F2|是椭圆；其中两定点 F1，F2 叫_，定点间的距离叫_(当 2a|F1F2|时，点的轨迹为线段 F1F2；当 2a|F1F2|时，无轨迹)椭圆 焦点焦距2椭圆的标准方程焦点在 x 轴上：x2a2y2b21(ab0)；焦点在 y 轴上：y2a2x2b21(ab0)3点 P(x0，y0)和椭圆x2a2y2b21(ab0)的关系(1)点 P(x0，y0)在椭圆外_；(2)点 P(x0，y0)在椭圆上_；(3)点 P(x0，y0)在椭圆内_.x20a
2、2y20b21x20a2y20b21x20a2y20b21考点一 椭圆的定义示范1 已知点 F1，F2 为椭圆x225y291 的两个焦点，过点F1 的直线交椭圆于 A，B 两点，若|F2A|F2B|12，则|AB|_.分析 由椭圆的定义，得|AF1|AF2|BF1|BF2|4a，其中|AF1|BF1|AB|，将已知条件代入即可解析 ABF2 的周长为 4a20，|AB|8.答案 8【点评】要有用椭圆定义的意识展示1 已知在长方形 ABCD 中，AB2 2，BC1，以线段AB 的中点 O 为原点建立如右图所示的平面直角坐标系，则以 A，B 为焦点且过 C，D 两点的椭圆的标准方程是_【答案】x
3、24y221【解析】由题意，可得点 A，B，C 的坐标分别为(2，0)，(2，0)，(2，1)设椭圆的标准方程是x2a2y2b21(ab0)，则2a|AC|BC|2 22102 2 2210242 2.a2，b2a2c2422.椭圆的标准方程是x24y221.方法点拨：解题时要灵活运用椭圆的定义，注意 a，b，c 的几何意义及在图形中对应的线段.考点二 椭圆的标准方程示范2 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(0，2)和(0,2)且过32，52，求椭圆的标准方程分析 要求椭圆的标准方程可以从定义入手，寻找 a，b，c的值，也可写出关于 a，b，c 的方程组，解方程组解析 法一 因为椭圆的焦点在 y
4、轴上，所以设它的标准方程为y2a2x2b21(ab0)由椭圆的定义知，2a322522 2322522 232 1012 102 10，a 10，又 c2，b2a2c21046，所以所求标准方程为y210 x261.法二 b2a2c2a24，可设所求方程y2a2 x2a241，后将点32，52 的坐标代入可求出 a，从而求出椭圆方程【点评】求椭圆的方程可以由定义求出长半轴 a 和短半轴 b的长，再根据条件写出方程；也可以由待定系数法解方程组求出 a，b，c，由定义的方法一般计算较易.展示2 已知点 M 在椭圆x2a2y2b21(ab0)上，以点 M 为圆心的圆与 x 轴相切于椭圆的右焦点 F，
5、(1)若圆 M 与 y 轴相切，求椭圆的离心率；(2)若圆 M 与 y 轴相交于 A，B 两点且ABM 是边长为 2 的正三角形，求椭圆的方程【解析】(1)设 M(x0，y0)，圆 M 的半径为 r，依题意，得 x0cr|y0|.将 x0c 代入椭圆方程，得|y0|b2a.所以b2a C.又 b2a2c2，从而得 c2aca20.两边除以 a2，得 e2e10.解得 e1 52.因为 e(0,1)，所以 e 512.(2)因为ABM 是边长为 2 的正三角形，所以圆 M 的半径 r2，M 到圆 y 轴的距离 d 3.又由(1)，知 rb2a，dC.所以 c 3，b2a 2.又 a2b2c2，解
6、得 a3，b22a6.故所求椭圆的方程是x29y261.方法点拨：求椭圆方程的过程中也要有用椭圆定义的意识.另外，要求椭圆的标准方程需先确定椭圆焦点在 x 轴上还是在 y轴上，以确定椭圆方程的形式.考点三 椭圆方程的应用示范3已知椭圆E的焦点在x轴上，长轴长为4，离心率为32，(1)求椭圆E的标准方程；(2)已知点A(0,1)和直线l：yxm，线段AB是椭圆E的一条弦且直线l垂直平分弦AB，求实数m的值分析(1)求椭sa，b，c的方程组即可(2)中|DA|DB|说明点D是线段AB的中垂线上的点，问题转化为求线段AB的中垂线与x轴的交点解析(1)由题设知c4，ac1，a5，b3.所求方程为x22
7、5y291.(2)假设存在点D(x0,0)，由|DA|DB|，则点D在线段AB的中垂线上，又线段AB的中点为4，y1y22，线段AB的中垂线方程为：yy1y22x1x2y1y2(x4)又x2125y219 1，x2225y2291，x21x2225 y21y2290.x1x2y1y2259 y1y28.在中令y0，y1y2225y1y272(x04)x06425，存在点D为6425，0.【点评】已知椭圆与直线相交，联立方程，解方程组就能求出交点坐标.展示3 已知椭圆x216y241 上有两点 P，Q，O 是原点，若直线 OP，OQ 的斜率之积为14，求证：|OP|2|OQ|2 为定值【解析】设
8、直线 OP 的方程为 ykx，则直线 OQ 的方程为 y 14kx.由ykx，x216y241，得x2164k21，y2 16k24k21.|OP|2x2y21616k24k21.同理|OQ|264k244k21.|OP|2|OQ|21616k24k21 64k244k21 20.方法点拨：解方程组求直线和椭圆的交点坐标是近年高考新趋势.高考中，常常有求椭圆方程的容易题求椭圆的方程要有用椭圆定义的意识，有时可由定义或图形直接得到长半轴 a、短半轴 b、半焦距 c，继而得到椭圆的方程，比待定系数法求椭圆方程快捷许多求椭圆方程时还必须注意判断椭圆的焦点是在 x轴上还是在 y 轴上1(2011 全国
9、)已知在平面直角坐标系中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，离心率为 22，过点 F1 的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点且ABF2 的周长为 16，那么椭圆 C 的方程为_【答案】x216y281【解析】设椭圆的方程是x2a2y2b21(ab0)，由 e 22，知ca 22，即b2a212.由于ABF2 的周长为|AB|BF2|AF2|AF1|AF2|BF1|BF2|4a16，则 a4，b28.椭圆 C 的方程是x216y281.2(2011 天津)设椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P(a，b)满足|PF2|F1F2|，(1)求
10、椭圆的离心率 e；(2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A，B 两点，若直线 PF2 与圆(x1)2(y 3)216 相交于 M，N 两点且|MN|58|AB|，求椭圆的方程a【解析】(1)设 F1(c,0)，F2(c,0)(c0)，因为|PF2|F1F2|，所以 ac2b22C.整理，得 2ca2ca10.解得ca1(舍去)或ca12，即 e12.(2)由(1)，知 a2c，b 3C.可得椭圆方程为 3x24y212c2，直线 PF2 的方程为 y 3(xc)A，B 两点的坐标满足3x24y212c2，y 3xc，消去 y 并整理，得 5x28xc0.解得 x10，x285C.则原方程组的解为
11、x10，y1 3c，x285c，y23 35 C.不妨设 A85c，3 35 c，B(0，3c)，|AB|85c 23 35 c 3c 2165 c，|MN|58|AB|2C.圆心(1，3)到直线 PF2 的距离 d|3 3 3c|23|2c|2.d2|MN|2242，34(2c)2c216,7c212c520.解得 c267(舍去)或 c2.椭圆的方程为x216y2121.3(2010 湖北)已知椭圆 C：x22y21 的两焦点为 F1，F2，点 P(x0，y0)满足 0 x202 y201，则|PF1|PF2|的取值范围为_，直 线 x0 x2 y0y 1 与 椭 圆 C 的 公 共 点
12、个 数_【答案】2,2 2)0【解析】依题意，知点 P 在椭圆内部画出图形，由数形结合，可得当 P 在原点处时，(|PF1|PF2|)min2；当 P 在椭圆顶点处时，(|PF1|PF2|)max(21)(21)2 2，故范围为2，2 2)因此(x0，y0)在椭圆x22y21 的内部，则直线xx02 yy01 上的点(x，y)均在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为 0.4(2010 湖南)为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距 8 km 的 A，B 两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过 A，B 两点的直线为 x 轴、线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐
13、标系(如下图所示)，考察范围到 A，B 两点的距离之和不超过 10 km 的区域(1)求考察区域边界曲线的方程；(2)如左图所示，设线段 P1P2 是冰川的部分边界线(不考虑其他边界)，当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动 0.2 km，以后每年移动的距离为前一年的2 倍经过多长时间，点 A 恰好在冰川边界线上？【解析】(1)设边界曲线上点 P 的坐标为(x，y)，则由|PA|PB|10，知点 P 在以 A，B 为焦点、长轴长为 2a10 的椭圆上此时短半轴长 b 52423.所以考察区域边界曲线(如下图所示)的方程为x225y291.(2)易知过点 P1，P2 的直线方程为 4x3y470.因此点 A到直线 P1P2 的距离为 d|1647|4232315.设经过 n 年，点 A 恰好在冰川边界线上，则利用等比数列求和公式，可得0.22n121315.解得 n5，即经过 5 年，点 A 恰好在冰川边界线上
