1、第四章三角函数、解三角形第四讲正、余弦定理及解三角形练好题考点自测1.2020全国卷,7,5分理在ABC中,cos C=23,AC=4,BC=3,则cos B=()A.19B.13C.12D.232.2017 山东,9, 5分理在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin AcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是()A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A3.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=18,b=24,A=45,则此三角形()A.无解B.有一解C.有两解D.解的个数不确定4.下列说
2、法正确的是(ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c)()在ABC中,若AB,则必有sin Asin B;在ABC中,若b2+c2a2,则ABC为锐角三角形;在ABC中,若A=60,a=43,b=42,则B=45或B=135;若满足条件C=60,AB=3,BC=a的ABC有两个,则实数a的取值范围是(3,2);在ABC中,若acosB=bcosA,则ABC是等腰三角形.A.B.C.D.5.2019全国卷,15,5分理ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=3,则ABC的面积为.6.2019浙江,14,6分在ABC中,ABC=90,AB=4,BC=3,点D在线段
3、AC上.若BDC=45,则BD=,cosABD=.7.2016全国卷,13,5分理ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=45,cos C=513,a=1,则b=.8.2020深圳市高三统一测试在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a+b)(sin A-sin B)= (a-c)sin C,b=2,则ABC的外接圆面积为.9.湖北高考,5分理如图4-4-1,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD=m.图4-4-1拓展变式1.(
4、1)2020江淮十校联考ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2asin A-bsinB=2csin C,cosA=14,则sinBsinC=()A.4B.3C.2D.1(2)在锐角三角形ABC中,b=2,a+c=7(ac),且满足2asin BcosC+2csin BcosA=3b,则a-c=.2.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,(1)若cbc,求b的值;(2)若a=3,A=3,且ABC为锐角三角形,求ABC周长的取值范围.4.2018全国卷,17,12分理在平面四边形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5.(1)求cosADB;(2)若DC=2
5、2,求BC.5.(1)解三角形与数列、基本不等式综合设ABC的角A,B,C成等差数列,且满足sin(A-C)-sinB=-32,BC延长线上有一点D,满足BD=2,则ACD面积的最大值为()A.1B.34C.32D.63(2)新课标全国,5分理在平面四边形ABCD中,A=B=C=75,BC=2,则AB的取值范围是.6.2020山东,15,5分某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图4-4-6所示.O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,A是圆弧AB与直线AG的切点,B是圆弧AB与直线BC的切点,四边形DEFG为矩形,BCDG,垂足为C,tanODC=35,BHDG,EF=12 cm,D
6、E=2 cm,A到直线DE和EF的距离均为7 cm,圆孔半径为1 cm,则图中阴影部分的面积为cm2.图4-4-6答 案第四讲正、余弦定理及解三角形1.A由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos C=16+9-24323=9,AB=3,所以cos B=9+9-1629=19,故选A.2.A由题意可知sin B+2sin BcosC=sin AcosC+sin(A+C),即2sin BcosC=sin AcosC,又cos C0,故2sin B=sin A,由正弦定理可知a=2b.故选A.3.CbsinA=122aB,则ab,a2Rb2R(R为ABC的外接圆的半径),即sin Asi
7、n B,正确;对于,在ABC中,若b2+c2a2,则A是锐角,但ABC不一定是锐角三角形,错误;对于,由asinA=bsinB得sin B=basin A=424332=22,因为ab,所以BA,所以B=45,错误;对于,由条件可得BCsinCABBC,即32a3a,解得3a2,正确;对于,由acosB=bcosA得sin AcosB=sin BcosA,即sin(A-B)=0,又A,B为三角形的内角,所以A=B,故ABC是等腰三角形,正确.故选C.5.63因为a=2c,b=6,B=3,所以由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得62=(2c)2+c2-22cccos3,得c=2 3,
8、所以a=43,所以ABC的面积S=12acsin B=124 323sin3=63.6.12257210在RtABC中,易得AC=5,sin C=ABAC=45.在BCD中,由正弦定理得BD=BCsinBDCsinBCD=32245=1225,sinDBC=sin180-(BCD+BDC)=sin(BCD+BDC)=sinBCDcosBDC+cosBCDsinBDC=4522+3522=7210.又ABD+DBC=90,所以cosABD=sinDBC=7210.7.2113解法一因为cos A=45,cos C=513,所以sin A=35,sin C=1213,从而sin B=sin(A+C
9、)=sin AcosC+cosAsinC=35513+451213=6365.由正弦定理asinA=bsinB,得b=asinBsinA=2113.解法二因为cos A=45,cos C=513,所以sin A=35,sin C=1213,从而cos B=-cos(A+C)=-cos AcosC+sinAsinC=-45513+351213=1665.由正弦定理asinA=csinC,得c=asinCsinA=2013.由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得b=2113.解法三因为cos A=45,cos C=513,所以sin A=35,sin C=1213,由正弦定理asinA=
10、csinC,得c=asinCsinA=2013.从而b=acosC+ccosA=2113.8.43利用正弦定理将已知等式转化为(a+b)(a-b)=(a-c)c,即a2+c2-b2=ac,所以由余弦定理得cos B=a2+c2-b22ac=12,因为0B0,所以2sin AcosC+2sin CcosA=3,即sin(A+C)=32,所以sin B=32,cos B=12.因为b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac-2accos B,所以ac=1.因为(a-c)2=(a+c)2-4ac=7-4=3,且ac,所以a-c=3.2.(1)钝角三角形已知cbcos A,由正弦定理,得
11、 sinCsinBcos A,即sin Csin BcosA,所以sin(A+B)sin BcosA,即sin BcosA+cosBsinA-sin BcosA0,所以cos BsinA0,于是有cos B0,即B为钝角,所以ABC是钝角三角形.(2)等腰三角形或直角三角形因为c-acosB=(2a-b)cos A,所以由正弦定理得sin C-sin AcosB=2sin AcosA-sin BcosA,又C=-(A+B),所以sin C=sin(A+B ),所以sin AcosB+cosAsinB-sin AcosB=2sin AcosA-sin BcosA,所以cos A(sin B-si
12、n A)=0,所以cos A=0或sin B=sin A,所以A=2或B=A(B=-A舍去),所以ABC为等腰三角形或直角三角形.3.(1)因为43S=a2+b2-c2,所以4312absin C=2abcos C,所以tan C=33,又0Cc=7,所以b=33.(2)由正弦定理及a=3,A=3得3sin3=bsinB=csinC,故b=2sin B,c=2sin C=2sin(23-B).则ABC的周长为3+2sin B+2sin(23-B)=3+3cos B+3sin B=3+23sin(B+6).由题意可知0B2,023-B2,解得6B2.所以3B+623,故32sin(B+6)1,因
13、此三角形ABC周长的取值范围为(3+3,33.4.(1)在ABD中,由正弦定理得BDsinA=ABsinADB.由题设知,5sin45=2sinADB,所以sinADB=25.由题设知,ADB90,所以cosADB=1-225=235.(2)由题设及(1)知,cosBDC=sinADB=25.在BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252225=25,所以BC=5.5.(1)B因为ABC的角A,B,C成等差数列,所以B=3,又sin(A-C)-sin B=-32,所以A=B=C=3,设ABC的边长为x,由已知有0x2,则SACD=12x(2-x)sin
14、23=34x(2-x)34(x+2-x2)2=34(当且仅当x=2-x,即x=1时取等号),故选B.(2)(6-2,6+2)如图D 4-4-1,作PBC,使B=C=75,BC=2,作直线AD分别交线段PB,PC于A,D两点(不与端点重合),且使BAD=75,则四边形ABCD就是符合题意的四边形.过C作AD的平行线交PB于点Q,在PBC中,可求得BP=6+2,在QBC中,可求得BQ=6-2,所以AB的取值范围是(6-2,6+2).图D 4-4-16.52+4如图D 4-4-2,连接OA,作AQDE,交ED的延长线于Q,AMEF于M,交DG于E,交BH于F,记过O且垂直于DG的直线与DG的交点为P,设OP=3m,则DP=5m,不难得出AQ=7,AM=7,于是AE=5,EG=5,AGE=AHF=4,AOH为等腰直角三角形,又AF=5-3m,OF=7-5m,AF=OF,5-3m=7-5m,得m=1,AF=5-3m=2,OF=7-5m=2,OA=22,则阴影部分的面积S=135360(22)2+122222-2=(52+4)(cm2).
