1、1直线与圆的位置关系有_三种，它们的代数等价条件和几何等价条件如下：记直线 l：AxByc0 及圆 O：x2y2DxEyF0，由AxByc0，x2y2DxEyF0，相交、相切、相离联立得 f(x)0，则直线 l 与圆相交_；直线 l 与圆相切_；直线 l 与圆相离_.又记圆心到直线的距离为 d，则直线 l 与圆相交_；直线 l 与圆相切_；直线 l 与圆相离_.000drdrdr2圆(xa)2(yb)2r2 的切线方程：(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2，其中(x0，y0)为切点3直线被圆截得的弦长：|AB|2 r2d2，如图所示考点一 直线和圆的位置关系示范1(1)过点 P(2,4)引
2、圆(x1)2(y1)21 的切线，则切线方程为()A4x3y40B3x4y40Cx2 或 4x3y40Dx2 或 3x4y40(2)已知圆 x2y24x2y30 和圆外一点 M(4，8)，过M 作圆的切线，切点为 C，D，求切线长分析 求切线方程时，若不知切线斜率，不能遗漏斜率不存在的情况已知直线和圆相切，由圆心到直线的距离等于半径列方程较易解析(1)当切成斜率不存在，则方程为 x2，满足条件切线斜率存在时，设方程为 y4k(x2)，即 kxy42k0，由(x1)2(y1)21 知圆心(1,1)，半径 r1，依题意有|k142k|k211，即|k3|k21，解得 k43.所求方程为 y443(
3、x2)，即 4x3y40，切线方程为 x2 或 4x3y40.(2)圆即(x2)2(y1)28，圆心 O(2，1)，r28，切线长为|OM|2r2 44983 5.【点评】解决直线和圆的位置关系问题，利用几何方法，考虑圆心到直线的距离、半径等的关系较易.展示1(1)已知圆 C 与直线 xy0 及 xy40 都相切，圆心在直线 xy0 上，则圆 C 的方程为()A(x1)2(y1)22 B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)22 D(x1)2(y1)22(2)如果直线 xya0 与圆 x2y22y0 有公共点，则实数 a 的取值范围是_【答案】(1)B(2)1 2，1 2【解析】(1)设圆
4、心为(a，a)，半径为 r，圆 C 与直线 xy0 及 xy40 都相切，r|aa|2|aa4|2.2a42A.解得 a1.r|11|2 2.所求圆的方程为(x1)2(y1)22.(2)由 x2y22y0，得 x2(y1)21，圆心(0，1)|1a|21.解得 1 2a1 2.方法点拨：解决直线和圆的位置关系，由几何特征列出方程或不等式可以使问题解决起来轻松、简洁.考点二 与圆有关的最值问题示范2 圆 x2y24x4y100 上的点到直线 xy140 的最大距离与最小距离的差是()A36 B18 C6 2D5 2分析一 转化为处理圆心到直线的距离的问题分析二 数形结合法，所求的差即为圆的直径解
5、析 圆x2y24x4y100的圆心为(2,2)，半径为3 2，圆心到直线 xy140 的距离为|2214|25 2，最大距离为 8 2，最小距离为 2 2，答案为 6 2，选 C.答案 C【点评】将问题转化为从几何特征入手容易展示2 已知实数 x，y 满足方程 xy40，则 x2y2 的最小值为()A4 B6 C8 D12【答案】C【解析】记直线 xy40 上任意一点为 P，求 x2y2 的最小值，即求平面直角坐标系原点 O 与点 P 的最短距离的平方，即求点 O 到直线 xy4 的距离的平方(x2y2)min|004|12122162 8.方法点拨：从几何特征入手常转化为与圆心有关的问题.求
6、代数式的最值，要注意代数式的几何意义.考点三 直线和圆的位置关系的简单运用示范3 设圆满足：截 y 轴所得弦长为 2；被 x 轴分成两段弧，其弧长比为 3：1；圆心到直线 l：x2y0 的距离为 55，求该圆的方程分析 从圆和直线的位置关系入手，转化为直角三角形问题解析 设圆 C 的圆心为 C(a，b)，半径为 r，则点 C 到 x 轴，y 轴的距离分别为|b|，|a|.由题设，圆 C 截 x 轴所得劣弧的圆心角为 90，知圆 C 截 x轴所得弦长为 2r，故 r22b2，又圆 C 截 y 轴所得弦长为 2.有 r2a21，从而得 2b2a21.又 C(a，b)到 l 的距离为 55.所以，d
7、|a2b|5 15.得 a2b1.2b2a21，a2b1或2b2a21，a2b1，解得a1，b1或a1，b1，于是 r22b22.所求圆方程是(x1)2(y1)22 或(x1)2(y1)22.【点评】已知条件较多时，应明确解题方向.待定系数法的关键是要列出方程组.展示3 已知圆 C：(x1)2(y2)225，直线 l：(2m1)x(m1)y7m4，(1)求证：不论 m 取何值，直线 l 总是与圆 C 相交；(2)求直线 l 被圆 C 截得的弦的最短长度及此时直线 l 的方程【解析】(1)法一 联立方程，得 0 恒成立(较繁，从略)法二 圆心(1,2)到直线 l 的距离d|2m12m27m4|2
8、m12m12|3m1|5m26m2 55，直线 l 与圆 C 总相交法三 对直线 l，取 m0，1，得 xy4 和 x3.联立得交点 A(3,1)可以验证直线 l 必过点 A，但|AC|55，点 A 在圆内，l 与圆 C 必相交(2)法一 联立后，用两点距离公式，计算量大法二(1)中 d 5时，有(3m1)25(5m26m2)解得 m34.此时直线 l 的方程为 2xy50，弦长取最小值为 2 r2d24 5.法三 如(1)法三，当 lCA 时，弦长 2 r2CA24 5为最短此时，由 kkCA1，得 k2.由点斜式得 l 的方程为 y12(x3)，即 2xy50.方法点拨：多考虑几何特征，往
9、往有较好的思路.本课在高考中主要考查直线和圆的位置关系，解决问题一般都可以从几何方法和从代数方法入手，一般应先考虑从几何方法入手，注意数形结合，注意图形中出现的直角三角形给出的等量关系。若从几何方法确实无法入手，才考虑用代数方法。1(2011 湖北)已知过点(1，2)的直线 l 被圆 x2y22x2y10 截得的弦长为2，则直线 l 的斜率为_【答案】1 或177【解析】由题意，得直线 l 的斜率必存在，设为 k.则直线的方程为 y2k(x1)又圆的方程可化为(x1)2(y1)21，圆心到直线的距离 d|k1k2|1k21222.k1 或177.2(2011 重庆)已知在圆 x2y22x6y0
10、 内，过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面积为()A5 2 B10 2C15 2 D20 2【答案】B【解析】圆：(x1)2(y3)210，由圆的性质，可知圆的最长弦长 2 10，最短弦恰好以 E(0,1)为中点设 F 为圆的圆心F(1,3)，则 EF 5，最短弦长为 2 10 522 5.S 四边形 ABCD122 102 510 2.3(2010山东理)已知圆C过点(1,0)且圆心在x轴的正半轴上，直线l：yx1被该圆所截得的弦长为22，则圆C的标准方程为_【解析】设圆心坐标为(x0,0)(x00)，圆过点(1,0)，半径 r|x01|，圆心到
11、直线 xy10 的距离为 d|x01|2.由弦长为 2 2，可知|x01|22(2)2|x01|2.解得(x01)24.x012.x03 或 x01(舍去)故圆 C 的标准方程是(x3)2y24.4(2010 江苏)在平面直角坐标系中，圆 x2y24 上有且仅有四个点到直线 12x5yc0 的距离为 1，则实数 c 的取值范围是_【解析】考查圆与直线的位置关系圆的半径为 2，设圆心(0,0)到直线 12x5yc0 的距离 d，由题意，得 0d1，即0|c|122521，13c13.故实数 c 的取值范围是(13,13)5(2011佛山一模)若点P在直线l1：xy30上，过点P的直线l2与曲线C：(x5)2y216只有一个公共点M，则|PM|的最小值为_【答案】4【解析】如右图所示，要求|PM|min，只需求|PC|min.过点C作ll1，垂足为P0，|P0C|即为所求|PC|min|P0C|503|24 2.|PM|min 32164.
