1、1中点坐标公式设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段 AB 的中点 P(x0，y0)的坐标公式为_x0 x1x22，y0y1y22.2中心对称问题点关于点成中心对称的对称中心恰是以这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题设点P(x0，y0)，对称中心为A(a，b)，则点P关于A的对称点为P(_，_)2ax0 2by03点关于直线成轴对称问题由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标一般情形如下：设点 P(x0，y0)关于直线 ykxb 的对称点为 P(x，y)，则有yy0 xx0k
2、1，yy02kxx02B.可求出 x，y.特殊地，点 P(x0，y0)关于直线 xa 的对称点为P(2ax0，y0)；点 P(x0，y0)关于直线 yb 的对称点为 P(x0,2by0)；点 P(x0，y0)关于直线 xy0(即 yx)的对称点为 P(y0，x0)；点 P(x0，y0)关于直线 xy0(即 yx)的对称点为 P(y0，x0)4曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题一般是转化为点的中心对称或轴对称(这里既可选择特殊点，也可选任意点实施转化)一般结论如下：(1)曲线 f(x，y)0 关于已知点 A(a，b)的对称曲线的方程是f(2ax,2by)0；(2)曲线 f(x，y)0 关
3、于直线 ykxb 的对称曲线的求法：设曲线 f(x，y)0 上任意一点为 P(x0，y0)，P 点关于直线 ykxb 的对称点为 P(x，y)，则由上面第三点，知点 P 与 P的坐标满足yy0 xx0k1，y0y2kx0 x2B.从中解出 x0，y0.代入已知曲线 f(x，y)0，应有 f(x0，y0)0.利用坐标代换法就可求出曲线 f(x，y)0 关于直线 ykxb 的对称曲线方程5两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：(1)点(x，y)关于 x 轴的对称点为(x，y)；(2)点(x，y)关于 y 轴的对称点为(x，y)；(3)点(x，y)关于原点的对称点为(x，y)；(4)点(x，y
4、)关于直线 xy0 的对称点为(y，x)；(5)点(x，y)关于直线 xy0 的对称点为(y，x)考点一 点关于直线的对称问题示范1 已知直线 l：2xy40 上有一点 P，求它与两定点A(4，1)，B(3,4)的距离之差的最大值分析 找点 A 关于直线 l 的对称点 A，直线 AB 与直线 l的交点即为所求的 P 点解析 设 A(a，b)，则b1a421，24a2 b12 40，解得a0，b1，所以线段|AB|4123023 2.【点评】求路程最短问题可以转化为求点关于直线的对称点的问题.展示1 已知点 A 的坐标为(4,4)，直线 l 的方程为 3xy20，(1)求点 A 关于直线 l 的
5、对称点 A的坐标；(2)求直线 l 关于点 A 的对称直线 l的方程【解析】(1)设点 A的坐标为(x，y)因为点 A 与 A关于直线 l 对称，所以 AAl 且线段 AA的中点在直线 l 上而直线 l 的斜率是3.所以 kAA13.又 kAAy4x4，所以y4x413.又直线 l 的方程为 3xy20，线段 AA的中点坐标为x42，y42，所以 3x42y4220.由，得 x2，y6.所以点 A的坐标为(2,6)(2)关于点 A 对称的两直线 l 与 l互相平行，于是可设直线l的方程为 3xyc0.在直线 l 上任取一点 M(0,2)，设其关于点 A 对称的点为 M(x，y)，于是 M点在直
6、线 l上且线段 MM的中点为点 A.由此得x024，y224，即 x8，y6.于是有 M(8,6)因为点 M在直线 l上，所以 3(8)6c0.c18.故直线 l的方程为 3xy180.方法点拨：求点关于直线的对称点的问题，由对称两点连线段的中点在中垂线上列出方程组求解.考点二 直线关于直线的对称问题示范2 试求直线 l1：xy20 关于直线 l2：3xy30对称的直线 l 的方程分析 已知直线 l1 和直线 l2 相交，求出交点，再找出另一点即可解析 解方程组xy20，3xy30，得x52，y92.直线 l1 和 l2 的交点为 A52，92.在直线 l1 上取点(2,0)，设其关于直线 l
7、2 的对称点为(a，b)则b0a231，3a22 b02 30，解得a175，b95，所求直线 l 的方程为y929592x52175 52，即 7xy220.【点评】两个独立的条件可以确定一条直线，故在解题中应寻找能确定直线的两个独立条件，如两个相异的点，直线的斜率和直线上的点等等.展示2 从点 P(2,3)出发的光线，射在直线 l：xy10 上，反射后到达点 Q(1,1)，(1)求入射光所在直线方程；(2)求光线所经路程全长【分析】求入射光线所在直线方程可先求点 Q 关于直线 l的对称点 Q，再由两点式求出方程；求光线所经过的路程应该求线段 QQ的中点【解析】如下图所示，设点 Q 关于直线
8、 l 的对称点为 Q，由光的性质，知入射光所在直线为 PQ.设 Q(x，y)，由x12 y12 10，y1x111，得x2，y2.可得 Q(2，2)入射光所在直线方程为y232x222，即 5x4y20，光线所经路程长等于|PQ|41.方法点拨：求直线关于直线的对称直线，关键要找到确定直线的两个独立的条件.考点三 对称在解题中的运用示范3 已知在ABC 中，三个顶点分别为 A(3,3)，B(2，2)，C(7,1)求A 的平分线 AD 所在直线的方程 分析 由角平分线是到角的两边距离相等的点的轨迹，可列方程解析 由已知可求得 AC 边所在直线的方程为 x5y120，AB 边所在直线方程为 5xy
9、120.设 M(x，y)为A 的平分线 AD 上任意一点，由角平分线的定义，得|x5y12|1252|5xy12|5212，x5y125xy12 或 x5y12(5xy12)，即yx6 或 yx.结合图形，可知 kACkADkAB，即15kAD5，所以 yx6 舍去故A 的平分线 AD 所在直线的方程为 yx.【点评】由方程可同时求出内、外角平分线，可以结合图形确定所求.展示3 在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的长为 2，宽为 1，AB，AD 边分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与原点重合如图所示，将矩形折叠，使 A 点落在线段 DC 上若折痕所在直线的斜率为 k，试写出折痕所在
10、直线的方程【解析】当 k0 时，此时 A 点与 D 点重合，折痕所在的直线方程 y12；当 k0 时，将矩形折叠后 A 点落在线段 CD 上的点为 G(a,1)，所以点 A 与点 G 关于折痕所在的直线对称，有 kOGk1，1ak1ak.则 G 点坐标为(k,1)从而折痕所在的直线与 OG 的交点坐标(线段 OG 的中点)为 Mk2，12，折痕所在的直线方程 y12kxk2，即 ykxk22k2.故折痕所在的直线方程为 y12或 ykxk22k2.方法点拨：对称问题的核心是点的中心对称和点关于直线的轴对称其他的对称问题都可设法转化为这两类问题处理许多问题隐藏着对称问题，如角平分线、线段的中垂线
11、、光线反射等，要注意挖掘对称问题除了用中点坐标公式及斜率关系外，还应注意应用轨迹思想高考中经常考查点的中心对称和点关于直线的轴对称的问题解决对称问题时要注意运用方程思想、轨迹思想例如求直线 l1 关于直线 l 的对称直线 l2 的方程时，既可以由两个独立条件就可以确定直线入手先求直线 l2 上的两点再求直线 l2 的方程或者求直线 l2 的斜率和截距求直线 l2 的方程，也可以由轨迹的思想由直线 l2 上任意一点关于直线 l 的对称点在直线 l1 上，求出直线 l2 的方程可以根据题目的已知条件，题型是客观题还是解答题，选择恰当的方法解题1(2011福建理)如右图所示，己知直线l：yxm(mR
12、)，(1)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P且点P在y轴上，求该圆的方程；(2)若直线l关于x轴对称的直线为l，直线l与抛物线C：x24y是否相切？说明理由【解析】(1)法一(1)依题意，点P的坐标为(0，m)，因为MPl，所以0m2011.解得m2，即点P的坐标为(0,2)从而圆的半径r|MP|2020222 2.故所求圆的方程为(x2)2y28.法二 设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为(x2)2y2r2.依题意，所求圆与直线l：xym0相切于点P(0，m)则4m2r2，|20m|2r，解得m2，r2 2.所以所求圆的方程为(x2)2y28.(2)因为直线l的方程为yxm，所以
13、直线l的方程为yxm.由yxm，x24y，得x24x4m0.4244m16(1m)，当m1，即0时，直线l与抛物线C相切；当m1，那0时，直线l与抛物线C不相切综上，当m1时，直线l与抛物线C相切；当m1时，直线l与抛物线C不相切2(2011全国大纲理)如右图所示，已知O为原点，点F为椭圆C：x2 y22 1在y轴正半轴上的焦点，过点F且斜率为2的直线l与椭圆C交于A，B两点，点P满足 OA OB OP 0，(1)求证：点P在椭圆C上；(2)设点P关于点O的对称点为Q，求证：A，P，B，Q四点在同一圆上【解析】(1)依题意，得F(0,1)，直线l的方程为y 2x1.代入x2y221并化简，得4
14、x22 2x10.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x3，y3)，则x1x2 22，y1y2 2(x1x2)21.依题意，得x3(x1x2)22，y3(y1y2)1.所以点P的坐标为 22，1.经验证，点P的坐标为 22，1 满足方程x2y221.故点P在椭圆C上(2)由(1)，得P 22，1.则由题设，知Q22，1，线段PQ的垂直平分线l1的方程为y 22 x.设线段AB的中点为M，则M24，12，线段AB的垂直平分线l2的方程为y 22 x14.由，得直线l1，l2的交点为N 28，18.|NP|22 28211823 118，|AB|1 22|x2x1|3 22，|AM|3 24
15、，|MN|24 282121823 38，|NA|AM|2|MN|23 118，故|NP|NA|.又|NP|NQ|，|NA|NB|，所以|NA|NP|NB|MQ|，由此知A，P，B，Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上3(2010湖南)若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3b,3a)，则线段PQ的垂直平分线l的斜率为_；圆(x2)2(y3)21关于直线l对称的圆的方程为_【答案】1 x2(y1)21【解析】若PQ的斜率不存在，则a3b，此时P，Q重合，不满足题意，因此直线PQ的斜率k3ab3ba1.直线l的方程为y3ab2x3ab2，即xy30.设圆心(2,3)关于直线xy30的对称点为(m，n)，则m223n2 30，n3m21.解得m0，n1.故所求圆的方程为x2(y1)21.
