1、1直线 l1：A1xB1yC10 和直线 l2：A2xB2yC20的公共点的坐标与方程组A1xB1yC10，A2xB2yC20的解一一对应(1)直线 l1 与 l2 相交_；(2)直线 l1 与 l2 平行_；(3)直线 l1 与 l2 重合 _.方程组有唯一解，此解就是交点坐标方程组无解方程组有无数多组解，即直线 l1 和直线 l2 的方程可以化为同一个方程2两点间的距离公式已知 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|_.3点 P(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离 d_.4两平行线 l1：AxByC10，l2：AxByC20 之间的距离 d_.x2x12y2y12
2、|Ax0By0C|A2B2|C1C2|A2B2考点一 两条直线的交点坐标示范1 过点 A(0,1)作直线，使其被两直线 l1：x3y100，l2：2xy80 所截得的线段恰被点 A 所平分，求此直线的方程分析 知点 A(0,1)可求斜率 k；注意到线段被 A 平分也可设两个端点解析 法一 过点 A 与 x 轴垂直的直线不合题意，所以设所求的直线方程为 ykx1，与 l1，l2 分别交于 M，N 两点，所以联立方程组ykx1，x3y100，ykx1，2xy80，由解得 xM73k1，由得 xN 7k2，因为点 A 平分线段 MN，所以 xMxN2xA，73k1 7k20k14，所以所求直线方程为
3、 x4y40.法二 设所求的直线方程为 ykx1，代入方程(x3y10)(2xy8)0，整理得(25k3k2)x2(28k7)x490，设所求直线与 l1，l2 分别交于 M，N 两点，由题意知 xMxN2xA，28k725k3k2 7k20k14，所以所求直线方程为 x4y40.法三 设所求直线与 l1，l2 分别交于两点 M，N，因为点 N在直线 l2：2xy80 上，故可设 N(t,82t)，因为点 A(0,1)是线段 MN 的中点，由中点坐标公式得 M(t,2t6)，因为点 M在直线 l1：x3y100 上，所以t3(2t6)100，解得t4，M(4,2)，N(4,0)，所以所求直线方
4、程为 x4y40.【点评】法一是求斜率，法二利用设而不求的方法，法三求两点.展示1 当 m 为何值时，三条直线 l1：4xy4，l2：mxy0，l3：2x3my4 不能构成三角形？【解析】三条直线不能构成三角形的情况：有两条直线平行；三条直线相交于一点当 l1l2 时，m4；当 l1l3 时，243m1，即 m16；当 l2l3 时，m213m，无解；当直线 l1，l2，l3 相交于一点时，由4xy4，mxy0，得交点 A44m，4m4m.点 A 在直线 l3 上，即84m3m4m4m4.解得 m23或 m1.综上，当 m1，16，23，4 时，三条直线不能构成三角形方法点拨：求两条直线的交点
5、即解方程组.有时候也可以“设而不求”整体代入应用.考点二 距离公式的应用示范2(2009 全国)若直线 m 被两平行线 l1：xy10与 l2：xy30 所截得的线段的长为 2 2，则直线 m 的倾斜角可以是15；30；45；60；75.其中正确答案的序号是_(写出所有正确答案的序号)分析 一条直线被两条平行线所截得的线段和这两条平行线间的垂线段可以放到一个直角三角形中，通过解直角三角形解决问题利用数形结合，可以避免较大计算量解析 两平行线间的距离为 d|31|11 2，如下图所示，可知直线 m 与 l1，l2 的夹角为 30，l1，l2 的倾斜角为 45，所以直线m的倾斜角等于304575或
6、453015，故填.答案【点评】最常出现的错误就是漏解展示2 已知 M 点到 A(1,0)，B(a,2)及到 y 轴的距离相等且满足条件的点 M 恰有一个，求实数 a 的值【解析】设M(x0，y0)，由题意，得|x0|x012y20，x012y20 x0a2y022.消去x0并整理，得(1a)y204y0(a2a4)0.当a1时，方程有唯一解，从而方程组也有唯一解可知M点恰有一个当a1时，由0，得a0，此时方程有二重根可知M点也恰有一个综上，a1或a0.方法点拨：示范 2 的一般解决方法是通过数形结合转化为两直线的夹角问题如右图所示，设直线 m 被两条平行线 l1，l2 所截得的线段长度为 l
7、，两平行线间的距离是 d，当 ld 时，直线 m 与直线l1，l2 垂直，根据垂直关系解决；当 ld 时，根据图中的直角三角形可以求出直线 m 与直线 l1，l2 的夹角，根据这个夹角和直线l1，l2 的倾斜角就可以求出直线 m 的倾斜角利用数形结合，可简化计算展示 2 利用距离公式将几何问题代数化，用方程解的个数来解决问题考点三 利用坐标法证明简单的几何问题示范3 求证：平行四边形两对角线长的平方和等于四边长的平方和分析 以对角线 AC 为 x 轴、中点 O 为原点建立平面直角坐标系，再给出平行四边形的四个顶点坐标，利用距离公式证明解析 如图，以ABCD 的中心为原点，建立坐标系，可设A(a
8、,0)，C(a,0)，B(b，c)，D(b，c)，则|AC|2(2a)24a2，|BD|2(2b)2(2c)24b24c2，|AC|2|BD|24(a2b2c2)，而|AB|2(ab)2c2，|BC|2(ba)2c2，|AB|2|BC|2|CD|2|DA|22(|AB|2|BC|2)4(a2b2c2)，|AC|2|BD|2|AB|2|BC|2|CD|2|DA|2.【点评】将几何关系用坐标表示出来，那图形的关系，就变成代数的运算了，当然，直接用余弦定理，更易证出.展示3 已知 AO 是ABC 边 BC 的中线，求证：|AB|2|AC|22(|AO|2|OC|2)【证明】如下图所示，以 BC 边的
9、中点为原点，边 BC 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系设 C(c,0)，A(a，b)，则 B(c,0)，|AB|2(ac)2b2，|AC|2(ac)2b2，|OA|2a2b2，|OC|2c2.|AB|2|AC|2(ac)2b2(ac)2b22(a2b2c2)，2(|OA|2|OC|2)2(a2b2c2)|AB|2|AC|22(|OA|2|OC|2)方法点拨：建立适当的平面直角坐标系，然后将已知条件化为点的坐标或直线位置关系，再证明所证问题，有时也可借助向量处理本课高考中主要考查根据直线的方程，由方程组的思想求两直线的交点及判别两直线的位置关系掌握点线距离公式、两平行直线的距离公式是求解距离
10、问题的关键解题时运用“设而不求”、数形结合的思想可以有效减少计算量1(2011安徽理)设0，点A的坐标为(1,1)，点B在抛物线yx2上运动，点Q满足 BQ QA，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足 QM MP，求点P的轨迹方程【解析】由 QM MP，知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上可设P(x，y)，Q(x，y0)，M(x，x2)，则x2y0(yx2)，即y0(1)x2y.设B(x1，y1)，由 BQ QA，得(xx1，y0y1)(1x,1y0)解得x11x，y11y0.将代入，得x11x，y112x21y.又点B在抛物线yx2上，则y1x21.再将代入y1x21，得(
11、1)2x2(1)y(1)x2，(1)2x2(1)y(1)2x22(1)x2，2(1)x(1)y(1)0.因0，两边同除以(1)，得2xy10.故点P的轨迹方程为y2x1.2(2011安徽)设直线l1：yk1x1，l2：yk2x1，其中实数k1，k2满足k1k220，(1)求证：直线l1与l2相交；(2)求证：直线l1与l2的交点在椭圆2x2y21上【证明】(1)假设直线l1与l2不相交，则直线l1，l2平行，有k1k2.代入k1k220，得k2120.这与k1为实数的事实相矛盾从而k1k2，即直线l1与l2相交(2)法一 由方程组yk1x1，yk2x1，解得交点P的坐标为2k2k1，k2k1k
12、2k1.而2x2y222k2k12k2k1k2k128k22k212k1k2k22k212k1k2 k21k224k21k2241.点P在椭圆2x2y21上法二 交点P的坐标(x，y)满足y1k1x，y1k2x，故知x0.k1y1x，k2y1x.代入k1k220，得y1x y1x 20.整理，得2x2y21.直线l1与l2的交点P在椭圆2x2y21上3(2010广东理)已知圆心在x轴上，半径为2 的圆O位于y轴左侧且与直线xy0相切，则圆O的方程是_【答案】(x2)2y22【解析】设圆心坐标为(a,0)(a0)，则由圆心到直线的距离为 2，得|a|2 2.故a2.因此圆O的方程为(x2)2y22.4(2010上海理)圆C：x2y22x4y40的圆心到直线3x4y40的距离d_.【答案】3【解析】考查点到直线距离公式，圆心(1,2)到直线3x4y40的距离为|31424|53.
