1、上海2006届高三数学八校联考（松江二中、青浦、七宝、育才、市二、行知、进才、位育）一、 填空题（412）：1、不等式的解集是 。2、（理）设、是方程的两根，则 。（文）设、是方程的两根，则 。3、数列中的第2010项是 。4、集合非空，则中所有元素的和是 。5、若，则复数的模是 。6、已知函数的反函数是，则方程的解是 。7、已知数列是公差不为零的等差数列，设，则数列的前项和的表达式可以是 。（用中的项表示）8、关于函数有下列命题：的定义域是；是偶函数；在定义域内是增函数；的最大值是，最小值是。其中正确的命题是 。（写出你所认为正确的所有命题序号）9、走廊上有一排照明灯共盏，为了节约用电，要关
2、掉其中的三盏。如果关掉的三盏灯不是两端的灯，且任意两盏都不相邻，就不会影响照明，那么随机关掉其中的三盏灯，影响照明的概率是 。 10、（理）设函数的图像与直线及轴所围成图形的面积称为函数在上的面积。已知函数在上的面积为，则函数在上的面积为 。 （文）设函数的图像与直线及轴所围成图形的面积称为函数在上的面积。已知函数在上的面积为，则函数在上的面积为 。11、用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板。随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的。已知一个铁钉受击次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，请从这个实事中提炼出一个不等式组是 。12、
3、（理）已知，记，（其中），例如： 。设，且满足，则有序数组是 。 （文）在中，的面积为，则的值为 。二、选择题（44）：13、设、是两个集合，对于，下列说法正确的是 （ D ） A存在，使 B一定不成立 C不可能为空集 D是的充分条件14、（理）若，则一定不属于的区间是 ( C ) A B C D （文）若，则一定不属于的区间是 ( D ) A B C D15、（理）满足不等式的正整数的个数记为，的前项和记为，则 （ A ）A B C D （文）已知等比数列的公比是不为的正数，数列满足，当， 时，数列的前项和最大，则的值为 （ C ） A B C D 16、已知函数，则函数的图像可能是 （ A
4、 ） 二、 解答题（本大题满分86分，共6题）：17、（12=9+3）（理）设表示幂函数在上是增函数的的集合；表示不等式 对任意恒成立的的集合。（1）求；（2）试写出一个解集为的不等式。（文）设表示幂函数在上是增函数的的集合；表示不等式对任意恒成立的的集合。（1）求；（2）试写出一个解集为的不等式。解：（理）（1）幂函数在上是增函数，即， 又不等式对任意恒成立，即， 。 （2）一个解集为的不等式可以是 。 （文）（1）幂函数在上是增函数，即， 又不等式对任意恒成立，即， 。 （2）一个解集为的不等式可以是 。18、（12=6+6）已知复数， （1）当时，求的取值范围； （2）（理）是否存在实数
5、，使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由。 （文）是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由。解：（1）， 。 （2）（理），为纯虚数， （文），（舍去） 。19、（14=9+5）已知，关于的一元二次方程的两实数根、满足 ，且，（1）求数列和的通项公式；（2）求的值。解：（1），且， 是一个以为首项，为公差的等差数列。， 。 （2） 。20、（16=4+12）已知函数， （1）在右侧坐标系中作出函数的草图； （2）研究其值域、奇偶性和单调性，并分别加以证明。 解：（1） ， （2）的值域为。，是偶函数。 任取，则，即，在上是增函数， 又是偶函数，在上是减函数。21、（14=8
6、+6）为了能更好地了解鲸的生活习性，某动物研究所在受伤的鲸身上安装了电子监测装置。从海岸放归点处（如图所示）把它放归大海，并沿海岸线由西向东不停地对鲸进行了分钟的跟踪观测，每隔分钟踩点测得数据如下表（设鲸沿海面游动）。然后又在观测站处对鲸进行生活习性的详细观测。已知，观测站的观测半径为。（）根据表中数据：计算鲸沿海岸线方向运动的速度，写出、满足的关系式并画出鲸的运动路线简图；（）若鲸继续以（）中的运动路线运动，则鲸大约经过多少分钟（从放归时计时），可进入前方观测站的观测范围（精确到分钟）？解：（）由表中数据知：鲸沿海岸线方向运行的速度为（km/分钟），、满足的关系式为， 鲸的运动路线图如图：
7、（）如图，设鲸所在的位置为点，点位于点的正北方向，点位于点的正东方向 由（）知。 又，依题意，当鲸到观测站的距离不大于时进入观测站的观测范围，即 ， 。故鲸从A点进入前方观测站B所用的时间大约为（分钟）。答：鲸大约经过113分钟进入B站的观测范围。22、（18=4+8+6）（理）已知为正常数。 （1）可以证明：定理“若、，则（当且仅当时取等号）”推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明）； （2）若在上恒成立，且函数的最大值大于，求实数的取值范围，并由此猜测的单调性（无需证明）； （3）对满足（2）的条件的一个常数，设时，取得最大值。试构造一个定义在 上的函数，使当时，当时，
8、取得最大值的自变量的值构成以为首项的等差数列。解：（1）若、，则（当且仅当时取等号）。 （2）在上恒成立，即在上恒成立，即，又，即时，又，。 综上，得 。 易知，是奇函数，时，函数有最大值，时，函数有最小值。故猜测：时，单调递减；时，单调递增。（3）依题意，只需构造以为周期的周期函数即可。 如对，此时， 即 。（文）已知函数，（）当时，若在上单调递增，求的取值范围；（）求满足下列条件的所有实数对：当是整数时，存在，使得是的最大值，是的最小值；（）对满足（）的条件的一个实数对，试构造一个定义在，且上的函数，使当时，当时，取得最大值的自变量的值构成以为首项的等差数列。解：（）当时，若，则在上单调递减，不符题意。故，要使在上单调递增，必须满足 ， 。（）若，则无最大值，故，为二次函数，要使有最大值，必须满足，即且，此时，时，有最大值。又取最小值时，依题意，有，则，且，得，此时或。满足条件的实数对是。（）当实数对是时，依题意，只需构造以2（或2的正整数倍）为周期的周期函数即可。如对，此时，故。