1、2.5等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和学 习 目 标核 心 素 养1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用(重点)2.会用错位相减法求数列的和(重点)3.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题1.通过等比数列前n项和的实际应用，培养数学建模素养2.借助等比数列基本量的计算及错位相减法的应用，培养数学运算素养1等比数列前n项和公式思考：类比等差数列前n项和是关于n的二次型函数，如何从函数的角度理解等比数列前n项和Sn?提示可把等比数列前n项和Sn理解为关于n的指数型函数2错位相减法(1)推导等比数列前n项和的方法一般地，等比数列an的前n项和可写为：Sna1a1qa1q2a
2、1qn1，用公比q乘的两边，可得qSna1qa1q2a1qn1a1qn， 由，得(1q)Sna1a1qn，整理得Sn(q1).(2)我们把上述方法叫错位相减法，一般适用于数列anbn前n项和的求解，其中an为等差数列，bn为等比数列，且q1.思考：等比数列的前n项和公式的推导还有其他的方法吗？提示根据等比数列的定义，有：q，再由合比定理，则得q，即q，进而可求Sn.1等比数列1，x，x2，x3，(x0)的前n项和Sn为()ABC. DC当x1时，数列为常数列，又a11，所以Snn.当x1时，qx，Sn.2等比数列an中，a11，q2，则S5 31S531.3等比数列an中，公比q2，S544，
3、则a1的值为 4由S544，解得a14.4某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年的产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为 11(1.151)a去年产值为a，从今年起5年内各年的产值分别为1.1a，1.12a，1.13a，1.14a，1.15a.所以1.1a1.12a1.13a1.14a1.15aa11(1.151)a.等比数列基本量的运算【例1】在等比数列an中，(1)S230，S3155，求Sn；(2)a18，an，Sn，求n；(3)a1an66，a2an1128，Sn126，求q.解(1)由题意知解得或从而Sn5n1或Sn.(2)显然q1，由Sn，即，q.又ana1qn1，即8
4、，n6.(3)因为a2an1a1an128，所以a1，an是方程x266x1280的两根从而或又Sn126，所以q为2或.1在等比数列 an的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用2在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q1或q1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论1在等比数列an中(1)若a1，an16，Sn11，求n和q；(2)已知S41，S817，求an.解(1)由Sn得11，q2，又由ana1qn1得16(2)n1，n5.(2)若q1，则S82S4，不合题意，q1，S41，S817，两式相
5、除得171q4，q2或q2，a1或a1，an2n1或(2)n1.等比数列前n项和公式的实际应用【例2】借贷10 000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.0161.061，1.0151.051)思路探究：解决等额还贷问题关键要明白以下两点：(1)所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为SP(1r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和(2)从还贷之月起，每月还贷金额是构成等比数列还是等差数列，首项是什么，公比或公差是多少解法一：设每个月还贷
6、a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1n6)，则a010 000，a11.01a0a，a21.01a1a1.012a0(11.01)a，a61.01a5a1.016a011.011.015a.由题意，可知a60，即1.016a011.011.015a0，a.1.0161.061，a1 739.故每月应支付1 739元法二：一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1104(10.01)6104(1.01)6(元).另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2a(10.01)5a(10.01)4aa1
7、.0161102(元).由S1S2，得a.以下解法同法一，得a1 739，故每月应支付1 739元解数列应用题的具体方法步骤(1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求：明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题？是求an，还是求Sn？特别要注意准确弄清项数是多少弄清题目中主要的已知事项(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式2一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度
8、都是它在前一分钟里上升高度的80%. 这个热气球上升的高度能超过125 m吗？解用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，得an1an，因此，数列an是首项a125，公比q的等比数列热气球在前n分钟内上升的总高度为Sna1a2an1251()n125.故这个热气球上升的高度不可能超过125 m错位相减法求和探究问题1对于S641248262263，用2乘以等式的两边可得2S64248262263264，对这两个式子作怎样的运算能解出S64?提示比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出S64，即S642641.2由项数相等的等差数列n与等比数列2n相应项的积构成新的数列n2n是等比数列吗？是
9、等差数列吗？该数列的前n项和Sn的表达式是什么？提示由等差数列及等比数列的定义可知数列n2n既不是等差数列，也不是等比数列该数列的前n项和Sn的表达式为Sn121222323n2n.3在等式 Sn121222323n2n两边同乘以数列2n的公比后，该等式的变形形式是什么？认真观察两式的结构特征，你能将求Sn的问题转化为等比数列的前n项和问题吗？提示在等式Sn121222323n2n，两边同乘以2n的公比可变形为2Sn122223324(n1)2nn2n1，得：Sn1212223242nn2n1(2122232n)n2n1.此时可把求Sn的问题转化为求等比数列2n的前n项和问题我们把这种求由一个
10、等差数列an和一个等比数列bn相应项的积构成的数列anbn前n项和的方法叫错位相减法【例3】已知等比数列an满足：a1，a1，a2，a3成等差数列，公比q(0，1)，(1)求数列an的通项公式；(2)设bnnan，求数列bn的前n项和Sn.思路探究：(1)根据a1，a2，a3成等差数列求得公比q，写出通项公式；(2)由bnnan可知利用错位相减法求和解(1)设等比数列an的公比为q，a1，因为a1，a2，a3成等差数列，所以2a2a1a3，即得4q28q30，解得q或q，又因为q(0，1)，所以q，所以an.(2)根据题意得bnnan，Sn，Sn，作差得Sn，Sn2(n2).本题中设cn，求数
11、列cn的前n项和Sn.解由题意知cnn2n，所以Sn121222323(n2)2n2(n1)2n1n2n，2Sn122223324(n2)2n1(n1)2nn2n1，两式相减得：Sn1212223242n12nn2n1n2n1(1n)2n12，所以Sn(n1)2n12.错位相减法的适用题目及注意事项(1)适用范围：它主要适用于an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和(2)注意事项：利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式错对齐，以便于作差，正确写出(1q)Sn的表达式利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况1在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及
12、五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”2前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q1和q1时是不同的公式形式，不可忽略q1的情况3一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列且公比为q，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法求和1判断正误(1)求等比数列an的前n项和时可直接套用公式Sn来求()(2)若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Snna.()(3)若某数列的前n项和公式为Snaqna(a0，q0且q1，nN*)，则此数列一定是等比数列()答案(1)(2)(3)提示(1)错误在求等比数列前n项和时，首先应看
13、公比q是否为1，若q1，可直接套用，否则应讨论求和(2)正确若数列既是等差数列，又是等比数列，则是非零常数列，所以前n项和为Snna.(3)正确根据等比数列前n项和公式Sn(q0且q1)变形为Snqn(q0且q1)，若令a，则和式可变形为Snaaqn.2在等比数列an中，a3，其前三项的和S3，则数列an的公比q()ABC或1D或1C由题意，可得a1q2，a1a1qa1q2，两式相除，得3，解得q或1.3在公比为整数的等比数列an中，如果a1a418，a2a312，则这个数列的前8项之和S8 510a1a4a1(1q3)18，a2a3a1(qq2)12，两式联立解得q2或，而q为整数，所以q2，a12，代入公式求得S8510.4求和：.解设Sn，则Sn.，得Sn，Sn3.
