1、第2课时等比数列的性质学 习 目 标核 心 素 养1.掌握等比数列的性质及其应用(重点)2.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用(难点、易错点)3.能用递推公式求通项公式(难点)1.通过灵活设项求解等比数列问题以及等比数列性质的应用，培养数学运算素养2.借助递推公式转化为等比数列求通项，培养逻辑推理及数学运算素养1推广的等比数列的通项公式an是等比数列，首项为a1，公比为q，则ana1qn1，anamqnm(m，nN*).2“子数列”性质对于无穷等比数列an，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为ak，公比为qk思
2、考：如何推导anamqnm?提示由qnm，anamqnm.3等比数列项的运算性质在等比数列an中，若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq特别地，当mn2k(m，n，kN*)时，amana对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1ana2an1akank1.4两等比数列合成数列的性质若数列an，bn均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列can，a，anbn，也为等比数列思考：等比数列an的前4项为1，2，4，8，下列判断正确的是(1)3an是等比数列；(2)3an是等比数列；(3)是等比数列；(4)a2n是等比数列提示由定义可判断出(1)(3)(4)正
3、确1对任意等比数列an，下列说法一定正确的是()Aa1，a3，a9成等比数列Ba2，a3，a6成等比数列Ca2，a4，a8成等比数列Da3，a6，a9成等比数列答案D2等比数列an中，a13，q2，则a4 ，an 2432n1a4a1q332324，ana1qn132n1.3在等比数列an中，a54，a76，则a9 9因为a7a5q2，所以q2.所以a9a5q4a5(q2)249.4在等比数列an中，已知a7a125，则a8a9a10a11的值为 25因为a7a12a8a11a9a105，所以a8a9a10a1125.灵活设项求解等比数列【例1】已知4个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项
4、之和为，则此4个数为 8，2，或，2，8设此4个数为a，aq，aq2，aq3.则a4q61，aq(1q)，所以a2q31，当a2q31时，q0，代入式化简可得q2q10，此方程无解；当a2q31时，q0，a2a42a3a5a4a625，求a3a5；(3)若an0，a5a69，求log3a1log3a2log3a10的值思路探究：利用等比数列的性质，若mnpq，则amanapaq求解解(1)等比数列an中，因为a2a4，所以aa1a5a2a4，所以a1aa5.(2)由等比中项，化简条件得a2a3a5a25，即(a3a5)225，an0，a3a55.(3)由等比数列的性质知a5a6a1a10a2a
5、9a3a8a4a79，log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a10)log3(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)log39510.有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，先解出a1和q，然后利用通项公式求解但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项的“下标”的指导作用2(1)已知数列an为等比数列，a33，a1127，求a7；(2)已知an为等比数列，a2a836，a3a715，求公比q.解(1)法一：相除得q89.所以q43，所以a7a3q49.法二：因为aa3a1181，所以
6、a79，又a7a3q43q40，所以a79.(2)因为a2a836a3a7，而a3a715，所以a33，a712或a312，a73.所以q44或，所以q或q.由递推公式转化为等比数列求通项探究问题1如果数列an满足a11，an12an1(nN*)，你能判断出an是等差数列，还是等比数列吗？提示由等差数列与等比数列的递推关系，可知数列an既不是等差数列，也不是等比数列2在探究1中，若将an12an1两边都加1，再观察等式的特点，你能构造出一个等比数列吗？提示在an12an1两边都加1得an112(an1)，显然数列an1是以a112为首项，以q2为公比的等比数列3在探究1中，若将an12an1改
7、为an13an5，又应如何构造出一个等比数列？你能求出an吗？提示先将an13an5变形为an1x3(anx).将该式整理为an13an2x与an13an5对比可知2x5，即x；所以在an13an5两边都加，可构造出等比数列.利用等比数列求出an即可求出an.【例3】已知Sn是数列an的前n项和，且Sn2ann4.(1)求a1的值；(2)若bnan1，试证明数列bn为等比数列思路探究：(1)由n1代入Sn2ann4求得；(2)先由Sn2ann4，利用Sn和an的关系得an的递推关系，然后构造出数列an1利用定义证明解(1)因为Sn2ann4，所以当n1时，S12a114，解得a13.(2)证明
8、：因为Sn2ann4，所以当n2时，Sn12an1(n1)4，SnSn1(2ann4)(2an1n5)，即an2an11，所以an12(an11)，又bnan1，所以bn2bn1，且b1a1120，所以数列bn是以b12为首项，2为公比的等比数列1将本例条件“Sn2ann4”改为“a11，Sn14an2”，“bnan1”改为“bnan12an”，试证明数列bn是等比数列，并求bn的通项公式证明an2Sn2Sn14an124an24an14an.2.所以数列bn是公比为2的等比数列，首项为a22a1.因为S2a1a24a12，所以a25，所以b1a22a13.所以bn32n1.2将本例条件“Sn
9、2ann4”改为“a11，a2aanan1”，试证明数列an是等比数列，并求an的通项公式解由已知得aanan12a0，所以(an12an)(an1an)0.所以an12an0或an1an0，(1)当an12an0时，2.又a11，所以数列an是首项为1，公比为2的等比数列所以an2n1.(2)当an1an0时，1，又a11，所以数列an是首项为1，公比为1的等比数列，所以an1(1)n1(1)n1.综上：an2n1或(1)n1.1已知数列的前n项和或前n项和与通项的关系求通项，常用an与Sn的关系求解2由递推关系an1AanB(A，B为常数，且A0，A1)求an时，由待定系数法设an1A(a
10、n)可得，这样就构造了等比数列an1解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法2所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出基本量3巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要1判断正误(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积()(2)当q1时，an为递增数列()(3)当q1时，an为常数列()答案(1)(2)(3)提示(2)当a10且q1时an为递增数列，故(2)错2在正项等比数列an中，3a1，a3，2a2成等差数列，则等于()A3或1B9或1C1 D9D由3a1，a3，2a2成等差数列可得a3
11、3a12a2，即a1q23a12a1q，a10，q22q30.解得q3或q1(舍).q29.3在和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为 8设插入的3个数依次为a，b，c，即，a，b，c，8成等比数列，由等比数列的性质可得b2ac84，因为a2b0，b2(舍负).所以这3个数的积为abc428.4已知数列an为等比数列(1)若a1a2a321，a1a2a3216，求an；(2)若a3a518，a4a872，求公比q.解(1)a1a2a3a216，a26，a1a336.又a1a321a215，a1，a3是方程x215x360的两根3和12.当a13时，q2，an32n1；当a112时，q，an12.(2)a4a8a3qa5q3a3a5q418q472，q44，q.