1、已知递推公式，求数列的通项公式常见的有以下三种类型：1形如 an1cand 的，可转化为 an1rc(anr)的形式，由待定系数法可得 r_.dc12形如 anan1f(n)的，可以用“叠加法”，即 anan1f(n)，an1an2f(n1)，a3a2f(3)，a2a1f(2)，所有等式两边分别相加，得 an_a1f(2)f(3)f(n)3形如已知 a1 且 anan1f(n)的，可以用“叠乘法”：即 anan1f(n),an1an2f(n1)，a3a2f(3),a2a1f(2)，所有等式两边分别相乘，得 anan1an1an2a3a2a2a1f(n)f(n1)f(3)f(2)，即 an_a1
2、f(2)f(3)f(n1)f(n)考点一等差或等比利用基本量示范1 设等差数列an的首项 a1 及公差 d 都为整数，前 n 项和为 Sn，(1)若 a110，S1498，求数列an的通项公式；(2)若 a16，a110，S1477，求所有可能的数列的通项公式分析 利用基本量 a1，d 的整数特性解析(1)由 S1498，得 2a113d14，又 a11a110d0，解得 d2，a120，因此，an的通项公式 an222n(n1,2，)由，得7d117，由，得 13d1，即 d 113，从而 d1，代入，得 10a112，又 a1Z，a111 或 a112，an12n 或 an13n.展示1
3、设等比数列an前 n 项和为 Sn，S41，S817，求an.【解析】设数列an的公比为 q，由 S41，S817，必有 q1.通项公式 an2n115 或 an1n2n15.方法点拨：对于等差(比)数列应用基本量，使用课本已经导出的公式，轻松解题方程组思想、不等式组思想考点二叠加与叠乘示范2已知点列An(xn,0)(nN*)，其中x10，x23，A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3中点An是线段An1An2的中点，(1)写出xn与xn1，xn2之间的关系式(n3)；(2)设anxn1xn，求数列an的通项公式；(3)求数列xn的通项公式解析(1)由题可知，xnxn1xn22(n3)(
4、2)由2xnxn1xn2有2(xnxn1)(xn1xn2)2an1an2即an1an212又a1x2x13an3(12)n1(3)由(2)知xnxn1an1x2x1a1等式两边分别相加得xnan1a1312n213112n11122112n1展示2 设数列an是首项为1的正项数列且(n1)a 2n1na 2nan1an0(n1,2,3，)，求它的通项公式an.【分析】把递推关系进行因式分解，化为(an1an)(n1)an1nan0即可【解析】依题意，可得(an1an)(n1)an1nan0.an1an0，(n1)an1nan.an1an nn1.a2a112，a3a223，anan1n1n.以
5、上n1个式子左右两边相乘，得ana11n.又a11，an1n.考点三由 an1kanf(n)求通项示范3 由下列数列an的递推公式求其通项公式：(1)a11，an1ann；(2)a11，an12an1；(3)a11，an13an2n1；(4)a11，an1an2an1.分析 转化为一个是等比(或等差)的新数列，是求解的关键解析(1)依题意得：anan1n1，an1an2n2，a3a22，a2a11.以上各式相加，得 ana1123(n2)(n1)n1n2，故 ann2n22.(2)依题意得：an112(an1)，an1是一个以 a112 为首项，q2 为公比的等比数列，所以 an122n1，即
6、 an2n1.(3)an13an2n1，an12n132an2n1，设an12n1t32an2nt，其中32tt1,即 t2，数列an2n2 是公比为32的等比数列，首项为a12 252，an2n25232n1，an2n53n12n 2 53n12n1(n1 时也成立)，所求 an53n12n1.(4)依题意知an各项均不为 0，两边取倒数，得 1an 1an12，所以数列1an 是以 1a11 为首项，以 2 为公差的等差数列所以 1an1(n1)22n1，故 an12n1.【点评】(1)解法是迭加法；(2)构造新数列an1是关键；(3)通过两边除以 2n1，转化为形如 an1AanB(其中
7、 A、B为常数)的问题，然后构造等比数列bn2,而解之；或者构造 an12n23(an2n1),则an2n1是等比数列，而解之；或者两边同除以 3n1，化为an13n1an3n(23)n1，然后用迭加法解之请同学们自己完成，然后还可以考虑问题：已知数列an中，a11，an13ann，求 an；(4)转化为1an 是关键展示3(1)(2011 广东理)设 b0，数列an满足 a1b，annban1an12n2(n2)，求数列an的通项公式；(2)设 b0，数列cn满足 c1b，cnnbcn1cn1bn1(n2)，求数列cn的通项公式【解析】(1)由 a1b0，知annban1an12n20，na
8、n1b2bn1an1.令 An nan，A11b，当 n2 时，An1b2bAn11b 2b22n2bn12n1bn1A11b 2b22n2bn12n1bn.当 b2 时，An1b12bn12b bn2nbnb2；当 b2 时，Ann2.(2)由 cnnbcn1cn1bn1，得ncnn1cn1 1b.又 c1b.所以数列ncn 是以1b为首项、以1b为公差的等差数列则ncn1b(n1)1bnb.所以 cnb.【点评】ankan1f(n)，应分类讨论：k1 叠加；k1，f(n)b(常数)构造新数列上述 2011 年广东高考题及变式值得体会方法点拨：由递推公式求通项公式主要观察递推公式的特征，合理
9、选择方法注意递推公式不仅仅是一个式子，而是对任意 nN*恒成立的无数个式子，形如 an1canf(n)的式子包含三种基本型例如：(1)an12an3；(2)an1ann；(3)an13an2n.1特别注意叠加、叠乘这些基本法；2形如 an1kanb 务必掌握，其余文科仅供了解1(2009全国 理)已知在数列an中，a11，an111n ann12n，(1)设bnann，求数列bn的通项公式；(2)求数列an的前n项和Sn.【解析】(1)由已知，有 an1n1ann 12n.bn1bn 12n.利用累差迭加即可求出数列bn的通项公式bn212n1(nN*)(2)由(1)，知an2n n2n1.Sn k1n2k k2k1 k1n(2k)k1nk2k1.而 k1n(2k)n(n1)，又 k1nk2k1是一个典型的错位相减法模型，易得k1nk2k14n22n1.Snn(n1)n22n1 4.2(2011四川)设数列an的前n项和为Sn，若a11，an13Sn(n1)，则a6()A344B3441 C44D441【答案】A【解析】由an13Sn，得an3Sn1(n2)两式相减，得an1an3(SnSn1)3an.则an14an(n2)又a11，a23，则a6a244344.故选A.
