1、人教版 八年级数学上册 竞赛专题：直角三角形(含答案)【例l】（1）直角ABC三边的长分别是，和5，则ABC的周长_.ABC的面积_.（2）如图，已知RtABC的两直角边AC5，BC12，D是BC上一点，当AD是A的平分线时，则CD_.（太原市竞赛试题）解题思路：对于（1），应分类讨论；对于（2），能在RtACD中求出CD吗？从角平分线性质入手.【例2】如图所示的方格纸中，点A，B，C，都在方格线的交点，则ACB（ ）A.120 B.135 C.150 D.165 （“希望杯”邀请赛试题）解题思路：方格纸有许多隐含条件，这是解本例的基础.【例3】如图，P为ABC边BC上的一点，且PC2PB，已
2、知ABC45，APC60，求ACB的度数.（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：不能简单地由角的关系推出ACB的度数，综合运用条件PC2PB及APC60，构造出含30的直角三角形是解本例的关键.【例4】如图，在ABC中，C90，A30，分别以AB，AC为边在ABC的外侧作等边ABE和等边ACD，DE与AB交于F，求证：EFFD.（上海市竞赛试题）解题思路：已知FD为RtFAD的斜边，因此需作辅助线，构造以EF为斜边的直角三角形，通过全等三角形证明.【例5】如图，在四边形ABCD中，ABC30，ADC60，ADCD，求证：（北京市竞赛试题）解题思路：由待证结论易联想到勾股定理，因此，三条线段可构成
3、直角三角形，应设法将这三条线段集中在同一三角形中.【例6】斯特瓦尔特定理：如图，设D为ABC的边BC上任意一点，a，b，c为ABC三边长，则.请证明结论成立.解题思路：本题充分体现了勾股定理运用中的数形结合思想.能力训练A级1.如图，D为ABC的边BC上一点，已知AB13，AD12，AC15，BD5，则BC_.2.如图，在RtABC中C90，BE平分ABC交AC于E，DE是斜边AB的垂直平分线，且DE1cm，则AC_cm.3.如图，四边形ABCD中，已知ABBCCDDA2231，且B90，则DAB_.（上海市竞赛试题）4.如图，在ABC中，AB5，AC13，边BC上的中线AD6，则BC的长为_
4、.（湖北省预赛试题）5.如果一个三角形的一条边是另一条边的2倍，并且有一个角是30 ，那么这个三角形的形状是（ ）A.直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D.不能确定 （山东省竞赛试题）6.如图，小正方形边长为1，连结小正方形的三个顶点可得ABC，则AC边上的高为（ ）A. B. C. D. （福州市中考试题）7.如图，一个长为25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑（ ）A. 15分米 B. 9分米 C. 8分米 D. 5分米8.如图，在四边形ABCD中，BD90，A60，AB4，AD5，那么等于（ ）A.1 B. 2
5、 C. D. 9. 如图，ABC中，ABBCCA，AECD，AD，BE相交于P，BQAD于Q，求证：BP2PQ.（北京市竞赛试题）10. 如图，ABC中，ABAC.（1）若P是BC边上中点，连结AP，求证：（2）P是BC边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若P是BC边延长线上一点，线段AB，AP，BP，CP之间有什么样的关系？请证明你的结论.11.如图，直线OB是一次函数图象，点A的坐标为（0，2），在直线OB上找点C，使得ACO为等腰三角形，求点C的坐标.12.已知：如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在处，交AD于E，AD8，AB4，求B
6、ED的面积.（山西省中考试题）B级1.若ABC的三边a,b,c满足条件：，则这个三角形最长边上的高为_.2.如图，在等腰RtABC中，A90，P是ABC内的一点，PA1，PB3，PC，则CPA_.3. 在ABC中，AB15，AC13，高AD12，则ABC的周长为_.4.如图，在RtABC中，ACB90，CDAB于D，AF平分CAB交CD于E，交CB于F，且EGAB交CB于G，则CF与GB的大小关系是（ ）A. CFGB B. CFGB C. CFGB D. 无法确定5. 在ABC中，B是钝角，AB6，CB8，则AD的范围是（ ）A. 8AC10 B. 8AC14 C. 2AC14 D. 10A
7、C14（江苏省竞赛试题）6.满足两条直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个（浙江省竞赛试题）7.如图，ABC是等腰直角三角形，ABAC，D是斜边BC的中点，E，F分别是AB，AC边上的点，且DEDF，若BE12，CF5，求DEF的面积.（四川省联赛试题）8.如图，在RtABC中，A90，D为斜边BC中点，DEDF，求证：（江苏省竞赛试题）9.周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明有几个.（全国联赛试题）10.如图，在ABC中，BAC45，ADBC于D，BD3，CD2，求ABC面积
8、.（天津市竞赛试题）11.如图，在ABC中，BAC90，ABAC，E，F分别是BC上两点，若EAF45，试推断BE，CF，EF之间数量关系，并说明理由.12.已知在RtABC中，ACB90，ACBC，MCN45.（1）如图1，当M，N在AB上时，求证：（2）如图2，将MCN绕点C旋转，当M在BA的延长线上时，上述结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由. （天津市中考试题）参考答案例1 （1）12或30；6或30； 提示：，得；由，得，（2） 提示：作DEAB于E，设CD=x，则BE=13-5=8，DE=x，BD=12-x，由，得例2 B 提示：过B作BDAC延长线于D点，设CD=x
9、，BD=y，可求得：x=y，则BCD=45，故BCA=135例3 ACB=75 提示：过C作CQAP于Q，连接BQ，则AQ=BQ=CQ例4 提示：过E作EGAB于G，先证明RtEAGRtABC，再证明EFGDFA例5 连接ACAD=DC，ADC=60，ADC是等边三角形，DC=CA=AD，以BC为边向四边形外作等边三角形BCE，即BC=BE=CE，则BCE=EBC=CEB=60，ABE=ABC+EBC=90，连接AE，则，易证BDCEAC，得BD=AE，故例6 过A作AEBC于E，设DE=x，BD=u，DC=v，AD=t，则，故，消去x得，即A级114 23 31354 提示：延长AD至E，使
10、DE=AD，连接BE，则ACDEBD，BE=AC=13，AE=12，又AB=5，则BAD=90，5D 6C 7C 8B 9提示：ADCBEA，BPQ=6010（1）（2）略 （3）提示：AB，AP，BP，CP，之间的关系是11提示：满足提议的点有4个，作别分别为：； 1210B级1 2135 提示：将PAC绕A点顺时针旋转90， 332或42 提示：分类讨论。4B 5D 6C 提示：设直角三角形两直角边长为a，b（ab），则（a，b，k均为正整数），化简得：(ka-4)(ka-b)=8，或，解得（k，a，b）=（1，5，12）或（2，3，4）或（1，6，8）7 提示：连接AD，由ADECDF，得ED=DF，AE=CF=5，AF=BE=12，8提示：延长ED至G，使DG=ED，连接CG，FG，则BE=CG，EF=FG9解：设此直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a，b，面积为S，则：由得：2c3 由得：，把代入上式得：3c=9-S，即63c9，而S为整数，从而3c=7或8，若3c=7，则S=2，代入、得：，ab=4，
