1、单元质量评估(二)第二讲（120分钟 150分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设mn,nN+,x1,a=(lgx)m+(lgx)-m,b=(lgx)n+(lgx)-n,则a与b的大小关系为()A.abB.abC.与x的值有关,大小不定D.以上都不正确2.已知abc0,A=a2ab2bc2c,B=ab+cbc+aca+b,则A与B的大小关系是()A.AB B.A1+成立的正整数a的最大值是()A.10 B.11 C.12 D.134.(2013杭州高二检测)已知ba0,且a+b=1,则()A.2abbB.2abbC.2
2、abbD.2abbcb B.cbaC.cba D.acb6.用反证法证明命题“如果a”时,假设的内容是()A.= B.C.=且 D.=或7.已知正整数a,b满足4a+b=30,则使得+取最小值时的实数对(a,b)是()A.(5,10) B.(6,6)C.(10,5) D.(7,2)8.已知ABC中,C=90,则的取值范围是()A.(0,2) B.C. D.9.若实数a,b满足0ab且a+b=1,则下列四个数中最大的是()A. B.a2+b2 C.2ab D.a10.设a,b,c,dR,若a+d=b+c,且|a-d|b-c|,则有()A.ad=bc B.adbc D.adbc11.在ABC中,A
3、,B,C分别为a,b,c所对的角,且a,b,c成等差数列,则B满足的条件是()A.0B B.0BC.0B D.B0 B.ab0,b0,b0二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上)13.实数x,y满足=x-y,则x的取值范围是.14.设a,b为正数,为锐角,M=,N=(+)2,则M,N的大小关系是.15.若abc0,n1=,n2=,n3=,则n1n2,n2n3,中的最小的一个是.16.如果a+ba+b,则实数a,b应满足的条件是.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知a,b,c为三角形的三条
4、边,求证:,也可以构成一个三角形.18.(12分)若a0,b0,a3+b3=2,求证:a+b2,ab1.19.(12分)已知x,yR,且1,1,求证:+.20.(12分)(2013泰安高二检测)若0a2,0b2,0c2,求证:(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a不能同时大于1.21.(12分)(能力挑战题)已知数列an满足:a1=,=,anan+10(n1,nN+),数列bn满足:bn=-(n1,nN+).(1)求数列an,bn的通项公式.(2)证明:数列bn中的任意三项不可能成等差数列.22.(12分)(能力挑战题)已知数列an满足a1=2,an+1an(nN+).(1)求a2,a3,并
5、求数列an的通项公式.(2)设cn=,求证:c1+c2+c3+cn1,所以lgx0,当0lgxb.当lgx=1时,a=b.当lgx1时,ab.综上ab.2.【解析】选A.因为abc0,所以A0,B0,所以=aa-baa-cbb-cbb-acc-acc-b=.因为ab0,所以1,a-b0,所以1,同理1,1.所以1,即AB.【变式备选】已知ab0,则下列各式中成立的是()A.= B.C.b0,a2b2,所以b2-a20,即0,所以0.所以ba.所以cba.6.【解析】选D.由反证法的特点可知D正确.7.【解析】选A.+=,当且仅当=且4a+b=30,即a=5,b=10时,+取最小值.8.【解析】
6、选C.因为C=90,所以c2=a2+b2,即c=.又有a+bc,所以12,所以2ab2=2=,又0ab,且a+b=1,所以a,所以a2+b2最大.10.【解析】选C.|a-d|b-c|(a-d)2(b-c)2a2+d2-2adb2+c2-2bc,又因为a+d=b+c(a+d)2=(b+c)2a2+d2+2ad=b2+c2+2bc,所以-4adbc.11.【解析】选B.因为2b=a+c,所以cosB=-=,因为cosB在上是减函数,所以0B.12.【解题指南】解答本题可先利用基本不等式推出+-2成立的充要条件,再依据题意确定选项.【解析】选C.因为与同号,由+-2,知0,0,即ab0,又若ab0
7、,则0,0,所以+=-2=-2,综上,ab0,b1时,x2+2=4,当且仅当y=2时取“=”,当y1时,x-2+2=0,当且仅当y=0时取“=”,而y0,所以x0.答案:(-,0)4,+).【拓展提升】求字母的取值范围问题(1)由已知式子求字母的取值范围时,一般情况下是将要求范围的字母用另一个字母表示,得到函数关系式,然后利用求值域的方法求解.(2)本题也可以用下面方法求解:由已知可得:x0,b0,为锐角,所以N=ab+2+2,M=ab+ab+2+,又sin21,所以Mab+2+2=N,当且仅当a=b,且=时,等号成立.答案:MN15.【解析】可以利用赋值法比较.令a=3,b=2,c=1,可得
8、n1=,n2=,n3=,所以n1n2=,n2n3=,=,=,故最小.答案:16.【解析】若a+ba+b,则a(-)+b(-)0,即(a-b)(-)=(-)2(+)0,所以有ab,且a0,b0.答案:a0,b0且ab17.【证明】因为a,b,c为三角形的三条边,于是有a+bc,a+cb,b+ca,又设f(x)=1-,它在上为单调增函数,所以f(c)f(a+b),即=+,同理+,0,b0,a3+b3=2,所以(a+b)3-23=a3+b3+3a2b+3ab2-8=3a2b+3ab2-6=3ab(a+b)-2=3ab(a+b)-(a3+b3)=-3(a+b)(a-b)20.即(a+b)323,又a+
9、b0,所以a+b2,因为2a+b2,所以ab1.方法二:设a,b为方程x2-mx+n=0的两根,则因为a0,b0,所以m0,n0,且=m2-4n0.因为2=a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)(a+b)2-3ab=m(m2-3n),所以n=-.将代入得m2-40,即0,所以-m3+80,即m2,所以a+b2,由2m得4m2,又m24n,所以44n,即n1,所以ab1.方法三:因为a0,b0,a3+b3=2,所以2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)(a+b)(2ab-ab)=ab(a+b),于是有63ab(a+b),从而83ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3
10、+b3=(a+b)3,所以a+b2(以下略).方法四:因为-=0,所以对任意非负实数a,b,有.因为a0,b0,a3+b3=2,所以1=,所以1,即a+b2(以下略).方法五:假设a+b2,则a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)(a+b)2-3ab(a+b)ab2ab,所以ab2(22-3ab),且a3+b3=2,所以22(4-3ab),因此ab1,前后矛盾,故a+b2(以下略).【拓展提升】不等式证明的一题多证问题关于不等式的证法,方法很灵活.在学习过程中,探究一题多解或一题多证对于开阔思路,提高逻辑思维能力很有帮助.19.【证明】因为1,0,0.所以+.故要证明结论成立,
11、只需证成立,即证1-xy成立即可,因为(y-x)20,有-2xy-x2-y2,所以(1-xy)2(1-x2)(1-y2),所以1-xy0,所以不等式成立.20.【证明】假设(2-a)b1,(2-b)c1,(2-c)a1,由题意知2-a0,2-b0,2-c0,那么1.同理,1,1,三式相加,得33矛盾,所以假设不成立.所以(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a不能同时大于1.21.【解析】(1)由题意知,1-=(1-),令Cn=1-,则Cn+1=Cn,又C1=1-=,则数列Cn是首项为C1=,公比为的等比数列,即Cn=,故1-=1-,又a1=0,anan+10,故an=(-1)n-1,bn=-
12、=-=.(2)假设数列bn中存在三项br,bs,bt(rsbsbt,则只可能有2bs=br+bt成立.所以2=+,两边同乘3t-121-r化简得22s-r3t-s=3t-r+2t-r,由于rst,所以上式右边为奇数,左边为偶数,故上式不可能成立,导致矛盾,故数列bn中任意三项不可能成等差数列.22.【解题指南】解答第(1)题的关键是根据an+1=2an(nN+)证明数列为等比数列.第(2)题证明的关键是选准放缩的标准.【解析】(1)因为a1=2,an+1=2an(nN+),所以a2=2a1=16,a3=2a2=72.又因为=2,nN+,所以为等比数列.所以=2n-1=2n,所以an=n22n(nN+).(2)cn=,所以c1+c2+c3+cn=+=+=+=,所以结论成立.关闭Word文档返回原板块。
