1、第3课 二次函数一、教学目标1.熟练掌握二次函数的图像和性质。2.掌握二次函数、二次方程、二次不等式之间的联系，会用二次函数的图像和性质讨论一元二次方程根的分布 3.能解决与二次函数有关的一些综合题二、基础知识回顾与梳理1.已知函数是二次函数，且，则 答案: 【教学建议】本题主要是帮助学生复习，理解二次函数的一般式。解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数。（1）教学时，教师可让学生分析条件，列出等式（2）引导学生实际上是指对任意的恒成立从而比较系数，得出结果2.设，二次函数的图象可能是【教学建议】二次函数的图象是抛物线，具有许多优美的性质，如对称性，单调性，凹凸性等，结合这些图象特
2、征解决二次函数的问题，可以化难为易，形象直观 （1） 观察图象可以从哪几方面去研究？引导学生提出自己的见解（2） 特征点，特征线，特殊值，参数的几何意义，建议列个表格帮学生归纳【解析】当时，同号，（C）（D）两图中，故，选项（D）符合.【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分或两种情况分类考虑.另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.备用题：已知的图象如图2-2-5所示，则下列式子成立的是（ ）A、 B、C、D、 3. 已知函数，当时递增，当时递减，则值等于 21 【教学建议】二次函数性质的研究要特别关注二次函数的对称轴位置 问题：这个数具有什
3、么明显的几何意义？ 确定的值需要确定参数的值，与有何联系？【变式】：已知函数，若，则的取值范围是 【教学建议】可观察学生的答题记录，并投影。揭示问题的实质就是直接代入解不等式备用题：对任意实数都有，则的大小关系是4.若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是 【教学建议】三个二次的问题是本讲的重点，要揭示三者的内在联系，通过列表直观形象解集非空的含义是指有点在轴的下方(与轴有交点)，画出图象，列出关系式求解【解析】不等式的解集非空，则应有判别式，解得或三、诊断练习1诊断练习点评题1若函数 的图象关于对称，则 6 【分析与点评】对称图形的特征要求定义域如何？由对称轴可确定哪个参数的取值？题
4、2若不等式x4+2x2+a2-a -20对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是.【分析与点评】问题1：该不等式能转换成一元二次不等式吗？（换元，令）问题2：换元后，问题有什么变化？问题3：恒成立问题解决的途径有哪些？题3二次函数在区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围为_.【分析与点评】先画出图象，确定所讨论的对象。 问题1：二次函数的最值在哪里取得？区间端点或顶点。 问题2：若是顶点取得最值，结合开口大小，是最大值还是最小值？ 问题3：若是区间端点取得最值，是最大值还是最小值？是哪个端点取得？根据什么特征来判断？-考虑区间和对称轴的相对位置关系参考答案：【变式】：二次函数满足 ，则= 2
5、011 结合二次函数图象特点可知：在函数 的图象上点 和 关于直线 对称，而0与恰好也关于对称题4方程x2(2m1)x42m=0的一根大于2，一根小于2，那么实数的取值范围是 。【分析与点评】二次方程的根的分布问题，是利用什么方法解决？-图象 在画出图象后，应考虑哪些因素？四点：开口方向，判别式，对称轴位置，区间端点函数值正负 有时观察函数特征（比如图象过定点）可以减少分类讨论的步骤教师可列表列出一些情况加以分析，重点对一些可以省略的条件要加以辨析，以免造成不等价变形答案 3、要点归纳（1）函数在区间上的最值要抓住顶点的横坐标与区间的相对位置关系，确定二次函数的单调性进行求解如诊断练习4（2）
6、数形结合思想是探求方程解个数的有效途径。如诊断练习2；(3)三个二次的区别和联系要掌握。如诊断练习1,2,3.四、范例导析例1已知函数在区间上有最小值，记作.（1）求的函数表达式；（2）求的最大值.【教学处理】对于本题的两个小问分别给学生独立思考的时间，然后分别指明学生回答，学生评议，老师评点并板书解题过程。【引导分析与精讲建议】第（1）问：对参数按什么标准分类？（首先是正负分类，再按区间与对称轴相对位置关系进行二次分类。）第（2）问：对题1给出的确定的以为自变量的函数，最值的求法如何进行？（掌握函数类型，属于分段函数，分段函数分段求最值）【变式】：如何求在区间上的最大值？参考答案：，的最大值
7、为3.例2定义在1,1上的奇函数f(x)，已知当x1,0时，f(x)(aR)(1)求f(x)在0,1上的最大值；(2)若f(x)是0,1上的增函数，求实数a的取值范围【教学建议】第1问：求f(x)在0,1上的解析式，类似于第8课例2的方法，可让学生尝试先做，教师进行针对性地点评。点评时强调转移反代进而转换的方法。也可以帮助学生理解本质：就是求关于原点对称的曲线的方程。 换元以后，要重在原问题等价于新函数的什么问题？第2问：除了常见的考察对称轴、区间的位置关系外，导数法是可以渗透的。本题思维并不困难，因此，教学中要重在让学生动手！例3设a为实数，函数f(x) = x2+|x-a|+1，xR，（1
8、）讨论函数f (x)的奇偶性；（2）求函数f (x)的最小值 【教学处理】指导学生逐次分析问题，在第1问已解答的基础上，提问第2问的实质是什么？（去掉绝对值符号，化为分段函数在给定区间上的值域问题）【引导分析与精讲建议】（1）第（1）小题，学生会忽略a=0的情形（2） 问题1：如何去绝对值？问题2：如何对a进行讨论？讨论的依据是什么？问题3：对不同的a的范围，对应的图象分别是什么？（同学们要注意，分段函数是一个函数，而不是两个） 五、解题反思1.定轴动区间与动轴定区间问题应怎样分类？该怎样减少分类？（按区间左、中、右分类；结合条件控制参数范围从而减少分类）2.二次函数的最值的取得是在区间端点或
9、顶点处取得。3.二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体。要深刻理解它们相互之间的关系，能用函数思想研究方程和不等式。4.数形结合思想是探求一元二次方程解得个数的有效途径，可通过四点：开口方向，判别式，对称轴位置，区间端点函数值正负。列出关系式。 5.可补充讲解化归意识：将类二次函数问题化归为二次函数来解决如的最大值是 函数在上的值域是 六、课后作业:1. 已知二次函数yx22ax1在区间(2，3)内是单调函数，则实数a的取值范围是_答案：a2或a3解析：由于二次函数的开口向上，对称轴为xa，若使其在区间(2，3) 内是单调函数，则需所给区间在对称轴的同一侧，即a2或a3. 2.
10、 已知函数f(x)ax22ax4(0a3)，若x1x2，x1x2a10，则f(x1)与f(x2)的大小关系为_答案：f(x1)f(x2)解析：函数f(x)ax22ax4(0a3)的图象开口向上，对称轴为x1，因0a3，故x1x2(1a)(2，1)，从而.又x1x2，所以x2的对应点到对称轴的距离大于x1的对应点到对称轴的距离，故f(x1)f(x2)3. 若函数f(x)x2|xa|b在区间(，0上为减函数，则实数a的取值范围是_答案：a0解析：因为f(x)x2|xa|b由其图象知，若函数f(x)x2|xa|b在区间(，0上为减函数，则应有a0.4.已知函数yf(x)x2ax3在区间1，1上的最小
11、值为3，求实数a的值解：yf(x)3.当2时，yminf(1)4a3，解得a7；当11，即2a2时，yminf33，解得a2(舍去)；当1，即a2时，yminf(1)4a3，解得a7.综上可得a7.5.已知函数f(x)x2mxn的图象过点(1，3)，且f(1x)f(1x)对任意实数都成立，函数yg(x)与yf(x)的图象关于原点对称(1) 求f(x)与g(x)的解析式；(2)若F(x)g(x)f(x)在(1，1上是增函数，求实数的取值范围解：(1) 因为函数f(x)满足f(1x)f(1x)对任意实数都成立，所以图象关于x1对称，即1，即m2.又f(1)1mn3，所以n0，所以f(x)x22x.又yg(x)与yf(x)的图象关于原点对称，所以g(x)(x)22(x)，所以g(x)x22x.(2) 由(1)知，F(x)(x22x)(x22x)(1)x2(22)x.当10时，F(x)的对称轴为x，因为F(x)在(1，1上是增函数，所以或所以1或10.当10，即1时，F(x)4x显然成立综上所述，实数的取值范围是(，0
