1、专题：空间向量的概念及运算知识要点1空间向量的有关概念(1)空间向量：空间中，具有_和_的量叫空间向量(2)相等向量：方向_且模长_的向量(3)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0)，则ab存在R，使得_(4) 共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面存在惟一的有序实数对(x，y)，使得_注意：设O是空间中任意一点，则有：若P，A，B三点共线，则_；若P，M，A，B四点共面，则xy或xyz且xyz_(5) 空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得p_，我们把空间中不共面的三个向量a，b，c叫做空间的一个
2、2空间向量的数量积及运算律(1)空间两个非零向量数量积：ab (2)空间向量数量积的运算律结合律：(a)b ；交换律：ab ；分配律：a(bc) 3空间向量的坐标表示及其应用(1)若A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则 向量表示坐标表示数量积ab= ab=共线定理abab垂直定理abab模长|a|=|a|=夹角coscos(2)设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则有：题型讲练【例1】如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点(1)化简 ；设=a，=b，=c，用a，b，c表示变式训练1：1如图，在四面体OABC中，a，b，c，D为BC的中点，E为AD的中
3、点，用a，b，c表示【例2】如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在A1B、AC上，A1E2EB，CF2AF，若a，b，c，(1)分别用a，b，c表示和；(2)求证：EF平面A1B1CD变式训练2：1 已知a(1，0，2)，b(6，21，2)，若ab，求实数与的值2如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在A1B、AC上，A1E2EB，CF2AF，设正方体棱长为1，(1)建立空间坐标系，分别用坐标表示和；(2)求证：EF平面A1B1CD；(3)求证：A1BDB1【例3】如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为6
4、0.(1)求AC1的长；(2)求证：AC1BD；(3)求BD1与AC夹角的余弦值变式训练3：1已知向量a(1，3,2)，b(2,1,1)，点A(3，1,4)，B(2，2,2)(1)求|2ab|；(2)在直线AB上是否存在一点E，使得b(O为原点)?2已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以ABC为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D为A1C1的中点，E为B1C的中点(1)求直线BE与A1C所成的角的余弦值；(2)在线段AA1上是否存在点F，使CF平面B1DF？若存在，求出AF；若不存在，请说明理由课后练习1设向量a、b、c不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是()Aab，ba
5、，a Bab，ba，bCab，ba，c Dabc，ab，c2已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a，b，c三向量共面，则实数等于_3三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是_4已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，则=_5已知空间三点A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)(1)求以，为边的平行四边形的面积；(2)若|a|，且a分别与，垂直，求向量a的坐标6如图所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60.(1)求AC1的长；(2)求BD1与AC夹角的余弦值7直三棱柱ABCABC中，ACBCAA，ACB90，D、E分别为AB、BB的中点(1)求证：CEAD；(2)求异面直线CE与AC所成角的余弦值
