1、银川一中2021届高三年级第六次月考理科数学一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由集合的运算法则计算【详解】，故选：A2. 是角为第二或第三象限角的（ ）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要【答案】A【解析】【分析】对角的终边的位置进行分类讨论，求出的等价条件，由此可得出结论.【详解】由题意可知，角的终边不在坐标轴上.若角为第一象限角，则，则；若角为第二象限角，则，则；若角为第三象限角，则，则；若角为第四象限角，则，则.所以，当时，角为第二或第三象限角.因
2、此，是角为第二或第三象限角的充要条件.故选：A.3. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据，令求解.【详解】，令，则.故选：C.4. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎丹铅总录记载：“两环互相贯为，得其关捩，解之为二，又合而为一”.在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的最少移动次数，若，且，则解下5个环所需的最少移动次数为（ ）A. 22B. 16C. 13D. 7【答案】B【解析】【分析】根据已知的递推关系求，从而得到正确答案.【详解】，,所以解下5个环所需的最少移动次数为16.故选：B【点睛】本题考查以数学
3、文化为背景，考查递推公式求指定项，属于基础题型.5. 若过原点的直线与圆有两个交点，则的倾斜角的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由圆的方程确定圆心和半径，得到直线的斜率存在，设直线的方程为，根据直线与圆的位置关系列出不等式求解，得出斜率的范围，进而可得倾斜角的范围.【详解】由得，所以圆的圆心为，半径为，因此为使过原点的直线与圆有两个交点，直线的斜率必然存在，不妨设直线的方程为：，即则有，即，整理得，解得，记的倾斜角为，则，又，所以.故选：C.6. 如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为，底面圆的半径等于，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥表面爬行一周
4、后回到点处，则小虫爬行的最短路程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用圆锥的侧面展开图可求出答案.【详解】将圆锥展开，底面周长：，圆心角，最短路径：故选：A7. 若数列xn满足lg xn11lg xn(nN)，且x1x2x3x100100，则lg(x101x102x200)的值为()A. 102B. 101C. 100D. 99【答案】A【解析】 由，得， 所以数列是公比为的等比数列，又，所以，所以，故选A8. 双曲线的一个焦点到渐近线的距离为，则双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用双曲线的焦点到渐近线的距离为，可求得，进而可求得
5、该双曲线的离心率.【详解】双曲线的一条渐近线方程为，即，双曲线的右焦点到直线的距离为，则，因此，双曲线的离心率为.故选：B.9. 若直线与函数的图像恰好有2个不同的公共点，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】作出函数f(x)的图象，结合直线，对k分类讨论数形结合分析得解.【详解】画出函数 的图象，由图可知，当时，直线与函数在区间内有两个交点，与区间的部分没有交点，因而满足条件；当时，直线 与函数只有一个交点，不满足条件；当时，直线 与函数 在区间内只有一个交点，当直线 与 在区间 内的部分也有一个交点时满足条件，这时由与 联立，得，由得，当时，直线 也与在区间
6、 内的部分也有一个交点，满足条件.所以满足条件的 的取值范围为【点睛】本题主要考查函数的零点问题，考查函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10. 如图，边长为的正方形中，点、分别是、的中点，将、分别沿、折起，使得、三点重合于点，若四面体的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据已知可证出，两两互相垂直，以为原点建立空间直角坐标系，设外接球的球心坐标，根据列出方程，即可求出，进而可求出球的半径，再根据球的表面积公式求解即可.【详解】四面体为底面为等腰，顶点为三棱锥，则，则， 又，则为直角三角形，以为原点
7、建立如图所示的空间直角坐标系，则，设四面体的外接球的球心为，则，由空间两点间距离公式知：，解得，所以半径为，所以该球的表面积为.故选：B【点睛】关键点点睛：一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接问题，解决这类问题的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径本题也直接将四面体补成长方体，直接求解.11. 已知函数与函数的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】通过两函数图象关于轴对称，可知在上有解；将问题转化为与在上有交点，找到与相切时的取值，通过图象可得到的取值范围.【详解】由得：由题意可知在上有解即：在上有解
8、即与在上有交点 时，则单调递增；，则单调递减当时，取极大值为：函数与的图象如下图所示：当与相切时，即时，切点为，则若与在上有交点，只需即：本题正确选项：【点睛】本题考查利用导数解决方程根存在的问题，关键是能够利用对称性将问题转化为直线与曲线有交点的问题，再利用相切确定临界值，从而求得取值范围.12. 已知，为椭圆的左、右焦点，是椭圆上异于顶点的任意一点，点是内切圆的圆心，过作于，为坐标原点，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先延长，交于点，连接，根据题意得到.得的取值范围是：.【详解】延长，交于点，连接，因为点是内切圆的圆心，所以平分.因为，所以为的中点.
9、又因为为的中点，所以.所以的取值范围是：.故选：C【点睛】本题主要考查椭圆的定义，同时考查了三角形内切圆的性质，属于难题.二填空题：13. 在平面直角坐标系中，已知点，点P满足，则点P的坐标为_.【答案】【解析】【分析】设点P的坐标为，将转化为坐标，利用坐标对应相等即可求解.【详解】设点P的坐标为，因为点，所以，因为，所以，解得，所以点P的坐标为故答案为：14. 函数，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】先根据二倍角公式和诱导公式将函数化简为的形式即可求出答案.【详解】因为，所以当时，函数有最小值，最小值为，故答案为：.15. 已知，则的取值范围是_；【答案】【解析】【分析】利用复数的几何
10、意义求解，表示复平面内到点距离为1的所有复数对应的点，表示复平面内到点的距离，结合两点间距离公式可求范围.【详解】因为在复平面内，表示复平面内到点距离为1所有复数对应的点，即复数对应的点都在以为圆心，半径为1的圆上；表示复平面内的点到点的距离，最小值为，最大值为，所以的取值范围是.故答案为：.【点睛】结论点睛：本题考查复数的模，复数的几何意义，复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，若，则表示复平面内点与点之间的距离，表示以为圆心，以r为半径的圆上的点.16. 如图所示，在长方体中，点E是棱上的一个动点，若平面交棱于点，给出下列命题： 四棱锥的体积恒为定值；存在点，使得平面； 对于棱上任意
11、一点，在棱上均有相应的点，使得平面；存在唯一的点，使得截面四边形的周长取得最小值.其中真命题的是_（填写所有正确答案的序号）【答案】【解析】【分析】对,将四棱锥分成两部分与分析即可对,根据线面垂直的判定,注意用到再利用线面垂直与线线垂直的判定即可.对,举出反例即可.对,四边形的周长,展开长方体分析最值即可.【详解】对,又三棱锥底面不变,且因为底面,故到底面的距离即上的高长度不变.故三棱锥体积一定,即四棱锥的体积恒为定值,正确.对,因,且长方体,故四边形为正方形,故.要平面则只需,又,故只需面.又平面,故只需即可.因为,故当 时存在点,使得,即平面.故正确.对,当在时总有与平面相交,故错误.对,
12、四边形的周长,分析即可.将矩形沿着展开使得在延长线上时,此时的位置设为,则线段与的交点即为使得截面四边形的周长取得最小值时的唯一点.故正确.故答案为【点睛】本题考查立体几何中的垂直平行判定等,在证明垂直等问题时需要用到线线线面垂直的性质和判定等,对空间想象能力以及立体几何证明有一定的要求,属于难题.三解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2223题为选考题，考生根据要求作答.17. 的内角所对的边分别为.已知角成等差数列，且.（1）求的外接圆直径；（2）若的面积为，求的周长.【答案】（1）2；（2）.【解析】【分析】（1）由条件先得出，由
13、正弦定理可得答案.（2）由三角形的面积公式可得，由余弦定理，可得，从而得出答案.【详解】（1）角成等差数列，得，又，所以.又，由正弦定理可得，所以的外接圆直径为2.（2），所以，即，所以，所以的周长为.【点睛】关键点睛：本题考查正弦定理和余弦定理的应用，解答本题的关键是由正弦定理得出外接圆的直径，由余弦定理得出的值，属于中档题.18. 已知等比数列的前项和为成等差数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）根据等比数列的性质以及等差中项可求得公比，代入中，求出q，即可求得数列的通项公式；（2）把数列的通项公式代入中化简，代入求得，再
14、利用裂项相消求得【详解】（1）设等比数列的公比为，由成等差数列知，所以，即.又，所以，所以，所以等比数列的通项公式.（2）由（1）知 ，所以所以数列的前 项和：所以数列的前项和【点睛】本题考查数列的知识，掌握等差等比数列的性质、通项是解题的关键，同时也需要掌握好数列求和的方法：分组求和、裂项相消、错位相减等，属于中档题19. 如图所示，正方形与梯形所在的平面互相垂直，（1）当时，求证：平面；（2）若平面与平面所成锐角二面角的余弦值为时，求的值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，利用线面平行的判定定理可得出平面；（2）证明平
15、面，且，然后以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用空间向量法可得出关于实数的等式，由此可解得实数的值.【详解】（1）取的中点，连接、，当时，为的中点，又是的中点，且，且，且，四边形是平行四边形，平面，平面，平面，（2）由于四边形为正方形，则，平面平面，平面平面，平面，平面，又，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系如下图所示：则、，则，设平面的一个法向量为，由，即，令，可得，所以，平面的一个法向量为，易知，为平面的一个法向量，由题意可得，即，解得.【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：（1）建立合适的空间直角坐标系，写
16、出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标；（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）；（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值.20. 在平面直角坐标系中，己知圆心为点Q的动圆恒过点，且与直线相切，设动圆的圆心Q的轨迹为曲线.（）求曲线的方程；（）过点F的两条直线、与曲线相交于A、B、C、D四点，且M、N分别为、的中点.设与的斜率依次为、，若，求证：直线MN恒过定点.【答案】（）；（）证明见解析.【解析】【分析】（）设，根据题意得到，即可
17、求得曲线的方程；（）设，的方程为，联立方程组分别求得，和，进而得出，进而得出，得出直线的方程，即可判定直线恒过定点.【详解】（）由题意，设，因为圆心为点Q的动圆恒过点，且与直线相切，可得，化简得（）设，的方程分别为，联立方程组，整理得，所以，则，同理所以，由，可得，所以直线的方程为整理得，所以直线恒过定点.【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般
18、法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.21. 已知函数.（）若，求的最小值；（）函数在处有极大值，求a的取值范围.【答案】（）0；（）.【解析】【分析】（）求出导函数，由确定单调性得极小值，从而得最小值；（）求得导函数，设，再求导数，分类讨论的正负，得的单调性，要求在的左侧有，在的右侧有由此可得的范围【详解】解：（），当时，；当时，；在上递减，在上递增.的极小值也是最小值为（）.设，则.当时，上单调递增，时，；时，在上递减，在上递增，是的极小值点，与题意矛盾当时，在上是增函数，且当时、时，.从而在上是增数，故有.所以在上是增函数，与题意矛盾当时，若，
19、则，从而在上是减函数，故有，所以在上是增函数，若，由（1）知，则又，所以，存在使得.从而当时所以，在上是减函数，从而，在上减函数，故是的极大值点，符合题意.综上所述，实数a的取值范围为.【点睛】易错点睛：本题考查用导数研究函数的极值解题时要掌握极值的定义在导数存在的情况下，如是的极大值点，除必须有外，还必须满足在左侧某个区间上，在右侧某个区间上，其中，仅仅有是不够的，这也是易错的地方22. 已知直线的极坐标方程为，圆的参数方程为（其中为参数）（1）判断直线与圆的位置关系；（2）设点在曲线上，点在直线上，则求线段的最小值及此时点坐标【答案】（1）相离；（2）最小值为，此时【解析】【分析】（1）先
20、将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，将圆的参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离，根据几何法，即可判定直线与圆位置关系；（2）根据圆的参数方程，设，根据点到直线距离公式，以及题中条件，即可求出的最小值，以及此时点的坐标.【详解】（1）由得，即，所以即为直线的直角坐标方程；由得，即圆的普通方程为，所以其圆心为，半径为，因此圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离；（2）由题意，为使取得最小值，必有，设，则点到直线的距离为，当时，取得最小值，即取得最小值，此时点的坐标满足，即.【点睛】思路点睛：利用参数方法求解曲线上的动点到直线距离的最值问题时，一般需要根据曲线的参数方程设出动点坐标，利用点到直线
21、距离公式，将问题转化为求三角函数的最值问题，即可求解.23. 已知函数f（x）|x+1|+|x+a|（）当a1时，求不等式f（x）2x的解集；（）当不等式f（x）1的解集为R时，求实数a的取值范围【答案】（）（，1）；（）（，0）（2，+）【解析】【分析】（）a1时，根据零点分段化简函数f（x），解出不等式取并集可得答案；（）利用绝对值三角不等式求出f（x）的最小值，代入不等式可解得实数a的取值范围【详解】（）a1时，当x1时，f（x）2x2x，即x0，此时x1，当1x1时，f（x）22x，得x1，1x1，当x1时，f（x）2x2x，无解，综上，f（x）2x的解集为（，1）（）f（x）|x+1|+|x+a|x+ax1|a1|，即f（x）的最小值为|a1|，要使f（x）1的解集为R，|a1|1恒成立，即a11或a11，得a2或a0，即实数a的取值范围是（，0）（2，+）
