1、第四章 圆与方程422 圆与圆的位置关系423 直线与圆的方程的应用第四章 圆与方程 1掌握圆与圆的位置关系及判定方法 2能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题3体会用代数方法处理几何问题的思想 1圆与圆的位置关系圆 与 圆 有 五 种 位 置 关 系，分 别 是 _、_、_、_、_2圆与圆位置关系的判定(1)几何法若两圆的半径分别为 r1、r2，两圆的圆心距为 d，则两圆的位置关系的判断方法如下：外离外切相交内切内含位置关系外离外切相交内切内含图示d 与r1、r2的关系d_d_|r1r2|d_d_(r1r2)0d0_0_1)，若两圆相交，则 r 的取值范围是_答案：(1，3)探究点 1
2、圆与圆位置关系的判断 已知圆 C1：x2y22mx4ym250，圆 C2：x2y22x2mym230，问：m 为何值时，(1)圆 C1 与圆C2 外切？(2)圆 C1与圆 C2内含？【解】对于圆 C1，圆 C2 的方程，配方得 C1：(xm)2(y2)29，C2：(x1)2(ym)24(1)如果圆 C1与圆 C2相外切，则有(m1)2(2m)232，即(m1)2(m2)225，m23m100，解得 m5 或 m2(2)如果圆 C1与圆 C2内含，则有(m1)2(2m)232，即(m1)2(m2)21，m23m20，解得2m1故(1)当 m5 或 m2 时，圆 C1与圆 C2相外切；(2)当2m
3、1)相交，则实数 r 的取值范围是_解析：(1)两圆的圆心距 d(22)2(25)2 65，半径分别为 r11，r24，则 dr1r2，即两圆外离，因此它们有 4 条公切线(2)因为两圆的圆心距为 d5，又因为两圆相交，所以|r1|5，所以 4r0)，因为圆 C 与圆 C1：x2y22x0 相外切，所以 b2(a1)2r1又因为圆 C 与直线 x 3y0 相切于 A(3，3)，所以|a 3b|2r，b 3a3 3由解得a4，b0，r2或a0，b4 3，r6.故圆 C 的方程为(x4)2y24 或 x2(y4 3)236 2求与圆 C：(x2)2(y1)24 相切于点A(4，1)且半径为 1 的
4、圆的方程解：因已知圆 C：(x2)2(y1)24 的圆心 C(2，1)设所求圆 B 的圆心为 B(a，b)，由切点为 A(4，1)，则点 C，A，B 共线则 b1，又因|AB|1，可得 a5 或 3，即所求圆 B 的圆心 B(5，1)或(3，1)，故圆 B 的方程为(x5)2(y1)21或(x3)2(y1)21探究点 3 两圆相交与公共弦长问题 已知圆 C1：x2y26x40，圆 C2：x2y26y280，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长【解】设两圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)则有x2y26x40，x2y26y280，由得，xy40因为 A，B 两点坐标都满足此方程，所以
5、 xy40 为两圆公共弦所在直线的方程易知圆 C1的圆心为(3，0)，半径为 r 13，则圆心 C1到直线 xy40 的距离d|304|12(1)2 12 22，所以|AB|2 r2d2213125 2在本例条件下，求过圆 C1和圆 C2的交点且圆心在直线 xy40 上的圆的方程解：法一：解方程组x2y26x40，x2y26y280，得两圆的交点 A(1，3)，B(6，2)设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线 xy40 上，故 ba4则(a1)2(a43)2(a6)2(a42)2，解得 a12，故圆心为12，72，半径为892 故圆的方程为x122y722892，即 x2y2x7y320法
6、二：设所求圆的方程为 x2y26x4(x2y26y28)0(1)，其圆心为 31，31，代入 xy40，解得 7，故所求圆的方程为 x2y2x7y320处理两圆相交问题的方法(1)求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数(2)求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解 3求过两圆 x2y225 和(x1)2(y1)216 的交点且面积最小的圆的方程解：圆 x2y225
7、和(x1)2(y1)216 的公共弦所在直线的方程为 x2y225(x1)2(y1)2160，即 2x2y110，过直线 2x2y110 与圆 x2y225 的交点的圆系方程为 x2y225(2x2y11)0，即 x2y22x2y(1125)0依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心(，)必在公共弦所在直线 2x2y110 上即22110，则 114，代回圆系方程得所求圆方程为x1142y1142798 探究点 4 直线与圆的方程的应用 为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心 O 处向东走 1 km 是储
8、备基地的边界上的点 A，接着向东再走 7 km到达公路上的点 B；从基地中心 O 向正北走 8 km 到达公路的另一点 C，现准备在储备基地的边界上选一点 D，修建一条由 D 通往公路 BC 的专用线 DE，求 DE 的最短距离【解】以 O 为坐标原点，OB，OC 所在的直线分别为 x 轴和 y 轴，建立平面直角坐标系，则圆 O 的方程为 x2y21，因为点 B(8，0)，C(0，8)，所以直线 BC 的方程为x8y81，即 xy8当点 D 选在与直线 BC 平行的直线(距 BC 较近的一条)与圆相切所成切点处时，DE 为最短距离此时 DE 的最小值为|008|21(4 21)km求直线与圆的
9、方程的实际应用问题的解题步骤 4已知隧道的截面是半径为 40 m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为 27 m、高为25 m 的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为2 m，那么要正常驶入该隧道，货车的最大高度为多少？解：以隧道截面半圆的圆心为坐标原点，半圆直径所在直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则半圆方程为 x2y216(y0)将 x27 代入 x2y216(y0)，得：y 162.72 8.7125，即在离中心线 27 m 处，隧道高度高于货车的高度，所以货车能驶入这个隧道将 x2 代入 x2y216(y0)，得 y2 3，所以货车要驶入该隧道，最大高度为 2 3 m1圆 O1：(x1)2y21 和圆 O2：x2(y2)24 的位置关系是()A外离 B相交C外切D内切解析：选 B因为两圆心距|O1O2|5，且 21 50)的公共弦长为 2 3，则 a 的值为_解析：两个圆的方程作差可以得到公共弦所在直线方程为 y1a所以圆 x2y24 的圆心(0，0)到直线 y1a的距离 d1a根据半径长、弦心距和半弦长构成直角三角形，得 d22(3)21，即1a1解得 a1答案：1本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
