1、河南省驻马店市2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题 文（含解析）本试题卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试题卷上答题无效注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写（涂）在答题卡上考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致2第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题上作答，答案无效3考试结束，监考教师将答题卡收回第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12
2、小题，每小题5分共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，将正确答案的代号涂在答题卡上1.已知，i是虚数单位，复数在复平面内对应的点在第四象限，则a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部大于0且虚部小于0联立不等式组求解【详解】解：复数，对应点在第四象限，则，解得：实数的取值范围是故选：【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题2.若双曲线离心率为2，则其渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由离心率是2得，代入得，求出的值，再求出双曲线的渐近
3、线方程【详解】解：由题意得，则即，所以双曲线的渐近线方程为，即，故选：B【点睛】本题考查双曲线的标准方程以及简单的几何性质，属于基础题3.在一组样本数据，（，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）A. -3B. 0C. -1D. 1【答案】C【解析】因为所有样本点都在直线上，所以回归直线方程是，可得这两个变量是负相关，故这组样本数据的样本相关系数为负值，且所有样本点，都在直线上，则有相关系数，故选C.4.在下列结论中，正确的是（ ）A. “”是“”的必要不充分条件B. 若为真命题，则p，q均为真命题C. 命题“若，则”的否命题为“若，则”D. 已知命
4、题，都有，则，使【答案】D【解析】【分析】对于A，解不等式，可知A不正确；对于B，命题与命题一个为真命题、一个为假命题时，可得命题“”是真命题，所以B不正确；对于C，只否定了结论，没有否定条件，故C不正确；对于D，根据命题的否定的概念，可知D正确.【详解】对于A，时，则成立，但是当时，或.所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误；对于B，若为真命题，则p，q至少一个为真命题，故B错误；对于C，“若，则”的否命题为“若，则”故C错误；对于D，都有，则，使，故D正确.故选：D【点睛】本题考查了命题真假的判断，充分、必要条件，特称命题的否定，原命题的否命题，复合命题与简单命题的关系等知识，是基础题5
5、.朱世杰是中国历史上最伟大的数学家之一，他所著的四元玉鉴卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千六百二十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人其大意为官府陆续派遣1624人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多8人”，则在该问题中的1624人全部派遣到位需要的天数为（ ）A. 12B. 14C. 16D. 18【答案】B【解析】【分析】根据题意可知，每天派遣的人数构成等差数列，首项为64，公差为8.设每天派出的人数组成数列，由等差数列前n项和公式=，解得可得选项.【详解】根据题意设每天派出的人数组成数列，分析可得数列是首项，公差的等差数列，该问题中
6、的1864人全部派遣到位的天数为，则，解得，（舍去）满足方程，故选：B.【点睛】本题考查数列的应用，等差数列求和，关键是建立等差数列的数学模型，属于基础题.6.执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出S的值是（ ）A. 3B. 2C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】解：输入的值为3，当时，满足继续循环的条件，执行完循环体后，；当时，满足继续循环的条件，执行完循环体后，；当时，满足继续循环的条件，执行完循环体后，；当时，不满足继续循环的条件，故输出
7、的值为4，故选：C【点睛】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理7.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出关于的线性回归直线方程为，则下列结论错误的是（ ）A. 产品的生产能耗与产量呈正相关B. 的取值必定是C. 回归直线一定过点D. 产品每多生产吨，相应的生产能耗约增加吨【答案】B【解析】【分析】根据回归直线的斜率可判断A、D选项；利用回归直线过样本的中心点可判断B、C选项.【详解】对于A、D选项，由于回归直线的斜
8、率为，所以，产品的生产能耗与产量呈正相关，产品每多生产吨，相应的生产能耗约增加吨，A、D选项都正确；对于B、C选项，由表格中的数据可得，由于回归直线过样本的中心点，则，解得.所以，B选项错误，C选项正确.故选：B.【点睛】本题考查回归直线有关命题真假的判断，考查回归直线方程的意义以及回归直线过样本的中心点这个结论的应用，考查计算能力，属于基础题.8.若数列满足，则称为“梦想数列”，已知数列为“梦想数列”，且，则（ ）A. 18B. 16C. 32D. 36【答案】A【解析】【分析】根据“梦想数列”的定义，得出数列为公比为的等比数列，进而得到数列为公比为3的等比数列，结合等比数列的性质，即可求解
9、.【详解】根据题意，梦想数列满足，即，即数列为公比为的等比数列，若数列“梦想数列”，则，即，即数列为公比为3的等比数列，若，则.故选：A.【点睛】本题主要考查数列的新定义，以及等比数列的通项公式及性质的应用，其中解答中根据“梦想数列”得到数列为公比为3的等比数列是解答的关键，着重考查推理与运算能力.9.在中，若，则的最大内角与最小内角的和为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由正弦定理可得，三边的关系，由大边对大角可得最小，最大；由余弦定理可得的值，进而由三角形内角和为可得的值【详解】解：因为，由正弦定理可得，设，三角形中由大边对大角可得角最大，角最小，由余弦定理可得，因为
10、，所以，所以，故选：【点睛】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题10.若函数的导函数为，对，都有成立，且，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】构造函数，利用导数判断函数的单调性，将所求不等式变形为，利用函数的单调性即可得出结果.【详解】构造函数，该函数的定义域为，则，所以，函数在上单调递减，且，由，得，即，.因此，不等式的解集是.故选：B.【点睛】本题考查利用函数的单调性解函数不等式，根据导数不等式的结构构造新函数是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11.若函数在上有最大值，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D.
11、 【答案】D【解析】【分析】因为给的是开区间，最大值一定是在该极大值点处取得，因此对原函数求导、求极大值点，求出函数极大值时的值，然后让极大值点落在区间内，依此构造不等式即可求解实数的值【详解】解：由题意，所以，当或时，；当时，故是函数的极大值点，解得，所以由题意应有：，解得故选：D【点睛】本题考查了三次函数在指定区间上的最值问题，一定要辨析清楚是开区间还是闭区间，从而确定最值点与极值点的关系；本题另一个易错点为易忽视定义域中的条件12.已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P在椭圆上且异于长轴端点，点M，N在所围区域之外，且始终满足，则的最大值为（ ）A. 8B. 7C. 10D. 9【答案】A【
12、解析】【分析】设，的中点分别为，则，在分别以，为圆心的圆上，直线与两圆的交点所围区域之外）分别为，时，的最大，可得的最大值为即可【详解】解：设，的中点分别为，则，在分别以，为圆心的圆上，直线与两圆的交点所围区域之外）分别为，时，最大，又椭圆，所以，的最大值为，故选：A【点睛】本题考查了椭圆的定义与性质，以及两个圆上的点的距离的最值，考查了转化思想，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在答题卡相应的位置上）13.若实数x，y满足约束条件，则的最小值为_【答案】1【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优
13、解的坐标，代入目标函数得答案【详解】画出不等式组对应的可行域，如图所示，由可得，数形结合可得当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值，联立，解得A（1，2），此时z有最小值为3121故答案为：1【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题14.已知曲线的某条切线过原点，则此切线的斜率为_【答案】【解析】【分析】设切点坐标为，求函数的导数，可得切线的斜率，切线的方程，代入，求切点坐标，切线的斜率【详解】解：设切点坐标为，切线的斜
14、率是，切线的方程为，将代入可得，切线的斜率是；故答案为：【点睛】本题主要考查导数的几何意义，利用切线斜率和导数之间的关系可以切点坐标15.有下列一组不等式：，根据这一规律，若第2020个不等式为，则_【答案】6064【解析】【分析】由归纳推理得：第个不等式为：，若第2020个不等式为，所以，即可得解【详解】解：因为由，根据这一规律，则第个不等式为：，若第2020个不等式为，即，所以，即，故答案为：【点睛】本题考查了归纳推理，属于基础题16.在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则当角C取最大值时，的面积为_【答案】【解析】【分析】由余弦定理可得，再利用基本不等式的性质可得的最大值，再
15、利用三角形面积计算公式即可得出【详解】解：，在中，由余弦定理可得：，时取等号此时，当取最大值时，的面积故答案为：【点睛】本题考查了余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：本大题共6个小题，满分70分解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第2223题为选考题，考生根据要求作答（）必考题：共60分17.为改进课堂教学，某数学老师在甲、乙两个平行班级分别用“传统教学”和“新课堂教学”两种不同的教学方式进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统
16、计，作出如下的茎叶图：记成绩不低于70分者为“成绩优良”（1）分别计算甲、乙两班20个样本中，数学分数前十的平均分，并大致判断哪种教学方式的教学效果更佳；（2）由以上统计数据填写下面列联表，并判断能否有95%的把握认为“成绩优良与教学方式有关”？附：参考公式：，其中独立性检验临界值表：010005002500102706384150246635【答案】（1）80.9；89.4；“新课堂”教学方式的教学效果更佳；（2）列联表答案见解析；有95%的把握认为“成绩优良与教学方式有关”.【解析】【分析】（1）根据茎叶图，利用平均数公式计算甲、乙两班数学成绩前10名学生的平均分即可；（2）填写列联表，计
17、算，对照数表即可得出结论【详解】解：（1）甲班样本数学成绩前十的平均分为乙班样本数学成绩前十的平均分为因为甲班样本数学成绩前十的平均分远低于乙班样本数学成绩前十的平均分，大致可以判断“新课堂”教学方式的教学效果更佳（2）甲班乙班总计成绩优良101626成绩不优良10414总计202040根据22列联表中的数据，得的观测值为，有95%的把握认为“成绩优良与教学方式有关”.【点睛】本题考查了计算平均数与独立性检验的应用问题，解题时应根据列联表求出观测值，对照临界值表得出结论，属于基础题18.已知是单调递减的等比数列，且成等差数列（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前50项和【答案】（1）；（
18、2）【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为，运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，可得首项和公比的方程，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项公式；（2）求得，再由数列的裂项相消求和【详解】解：（1）设是公比为q的等比数列，因为，且成等差数列，故可得，又因为，所以，解得或者，又因为是单调递减的等比数列，所以，则；（2），【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，以及化简运算能力，属于中档题19.在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知（1）求角B；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题设及
19、正弦定理，三角函数恒等变换的应用结合，可求，进而可求的值（2）由题设及正弦定理，可求，结合，可求，可求范围，进而根据三角形的面积公式即可求解面积的取值范围【详解】（1）由题设及正弦定理得因为，所以由，可得，故因为，故，由（2）由题设及（1）知的面积由正弦定理得由于为锐角三角形，故，由（1）知，所以，故，所以，从而因此，面积的取值范围是【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式等知识在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题20.在直角坐标系xOy中，已知点，直线AM，BM交于点M，且直线AM与直线BM的斜率满足：（1）求点M的轨迹C的方程；（2）
20、设直线l交曲线C于P，Q两点，若直线AP与直线AQ的斜率之积等于，证明：直线l过定点【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设，结合，坐标，通过斜率关系，求解即可（2）设，通过，得到，求出直线的方程：，说明直线恒过定点【详解】解：（1）设，又，则，可得，因为，所以M的轨迹C的方程为；（2）证明，设，又，可得，又因为，即有，即由直线l的斜率为可得直线l的方程为，化为，又因为，可得，可得直线恒过定点【点睛】本题考查轨迹方程的求法，直线系方程的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题21.已知函数（1）若是定义域上的单调函数，求实数a的取值范围；（2）若在定义域上有两个极值点，证明
21、：【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）对函数进行求导得，再将问题转化为二次函数函数值的正负问题讨论；（2）由（1）知，当，有极小值点和极大值，且，利用消元法将变成关于的函数，再利用导数研究函数的最值，即可证明不等式；【详解】（1），令则，对称轴当时，故在单调递减当时，方程有两个不相等的正根，不妨设，则当时，当）时，这时不是单调函数综上，a的取值范围是（2）由（1）知，当，有极小值点和极大值，且，令则当时，在单调递减，所以故【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、不等式的证明，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意函数构
22、造法的应用.（二）选考题：共10分请考生在第2223题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数，为倾斜角），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，在平面直角坐标系xOy中，将曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，再向上平移2个单位长度得到曲线（1）求曲线、的直角坐标方程；（2）直线与曲线相交于E，F两个不同点，点P的极坐标为，若，求直线的普通方程【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）曲线的极坐标方程转化为，由此能求出曲线的直角坐标方程再根据圆锥曲线的变
23、换规则求出的直角坐标方程；（2）首先求出的直角坐标，再将直线的参数方程代入的直角坐标方程，消元列出韦达定理，根据直线的参数方程的参数的几何意义及求出，即可得到直线的直角坐标方程；【详解】解：（1）由得，又，设是曲线上任意一点，点P的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，再向上平移2个单位长度得到点为，则，又，；（2）因为点P极坐标为，所以，所以点P的直角坐标为，将代入得，因为相交于不同两点，设方程的两个实数根为，则，由参数t的几何意义知，又，所以直线的斜率，又直线过点，所以直线的普通方程为点睛】本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查直线方程的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基
24、础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若两函数与的图象恒有公共点，求实数m的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）将不等式等价于三个不等式组，解不等式即可得答案；（2）求出函数在处取得最大值，只需，即可得答案；【详解】（1）当时，或或解得：；不等式的解集；（2）由函数知，该函数在处取得最小值1，因为，在上递增，在上递减，在上递减，故在处取得最大值，所以要使二次函数与函数的图象恒有公共点，只需，即【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式、不等式恒成立问题求参数取值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查运算求解能力.
