1、课题：3.1.2用二分法求方程的近似解教学设计一、教学内容分析 本节选自普通高中课程标准实验教科书 数学1人教A版第三章第一节第二课，主要是研究函数与方程的关系的内容。教材分三步来进行：第一步，从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应函数的零点的联系。然后推广为一般方程与相应函数的情形；第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图像和性质来研究方程的解，体现方程和函数的关系；第三步，在函数模型的应用过程中，通过函数模型以及模型的求解，更全面的体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系。本节课是这一小节的第二节课，即用二分法求方程的
2、近似解。它以上节课的“连续函数的零点存在定理”为确定方程解所在区间为依据，从求方程近似解这个侧面来体现“方程与函数的关系”；而且在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想，为学生后续学习算法的内容埋下伏笔；充分体现新课程“渗透算学方法，关注数学文化以及重视信息技术应用”的理念。本节课教学目的主要有两点：一是学习一种求方程近似解的简单常用方法，通过计算器操作，体验逐步逼近的思维过程；二是熟练掌握二分法求方程近似解的步骤，体会蕴含逼近思想与算法思想。教科书不仅希望学生在数学知识与运用信息技术的能力上有所收获，而且希望学生感受到数学文化方面的熏陶，所以在“阅读与思考”中，介绍古今中外数学家在方
3、程求解中所取得的成就，特别是我国古代数学家对数学发展与人类文明的贡献。二、学生学习情况分析学生已经学习了函数，理解函数零点和方程根的关系, 初步掌握函数与方程的转化思想。但是对于求函数零点所在区间，只是比较熟悉求二次函数的零点，对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难。另外算法程序的模式化和求近似解对他们是一个全新的问题。所以学生的认知困难主要表现在两个方面：一方面，学习本节课之前，对方程根的求解一直是以代数运算的方式来学习的，用二分法求方程的近似解，是一次思想方法上的突破和学习观念的提升；另一方面，由于学生第一次接触“逼近”这种数值计算中的专业术语，第一次接触隐含算法结构的用符号表示
4、的步骤，这种语言形式的抽象性，造成学生理解上的困难。教学中应加强与已有知识的联系，遵循“从特殊到一般，具体到抽象”的过程，注重学生的思维参与，给学生提供动手实践的机会，加强信息技术的应用。三、教学目标 （一）知识与技能： 1、通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件。2、借助科学计算器，掌握运用二分法求满足一定精确度要求的简单方程近似解的方法。（二）过程与方法：1、了解数学上的逼近思想，极限思想。2、体验二分法的算法思想，培养自主探究的能力，为学习算法做准备。（三）情感、态度与价值观 1、通过了解数学家的史料来培养数学素养，并增强学习数学的兴趣。 2、体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一
5、。 3、通过具体实例的探究，归纳概括所发现的结论或规律，体会从具体到一般的认知过程。四、教学重点与难点重点：二分法的基本思想的理解，运用二分法求函数零点的近似值的步骤和过程。难点：方程近似解所在初始区间的确定；精确度概念的理解及恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解。五、教学方法与手段 本节课倡导积极主动、勇于探索的学习方式，应用从生活实际理论实际应用的过程，应用数形结合、图表、信息技术，采用教师引导学生探索相结合的教学方法，以问题为中心，以问题为路引，注重提高学生数学的提出问题、分析问题和解决问题的能力，让学生经历直观感知、观察发现、抽象与概括、符号表示、运算求解、数据
6、处理、反思与建构等思维过程。九、教学情景设计（一）知识回顾1、零点（根）存在性定理如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续的不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0,那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c(a,b)，使f(c)=0 ，这个c也就是方程f(x)=0的根。2、思考：有没有公式可求方程lnx+2x-6=0的实数解？通过上节课的学习知道函数f(x)=lnx+2x-6在区间（2，3）内有零点，如何找出这个零点？【设计意图】通过例题回顾，引导学生将找方程的实数解与找对应函数的零点的问题等同起来，体会数学模型之间的转换。（二）合作探究问题1：求方程lnx+2x-6=0
7、在区间（2，3）内的近似解（精确度0.01）分析：零点存在区间越小，区间两端点是否就越接近该区间的实数解呢？如何让零点存在区间越来越小？请同学先看一个游戏：猜价格游戏须知：手机价格竞猜：手机的价格在200元1000元之间，猜测它的价格（误差不超过20元），并思考按什么样的规律猜才能提高猜测的效率？（每次猜后老师会给出多了还是少了的提示） 问题：老师的提示“多了”“少了”在猜测过程中起了什么作用？ 问题：条件“误差不超过20元”如何理解？ 【设计意图】通过游戏给学生解决问题1给予启迪步骤一：取区间(2，3)的中点2.5，用计算器算得。由0，得知，所以零点在区间(2.5，3)内。步骤二：取区间(2
8、.5，3)的中点2.75，用计算器算得。因为，所以零点在区间(2.5，2.75)内。结论:由于，所以零点所在的范围确实越来越小了。 引导学生利用计算器边操作边认识，通过小组合作探究，得出教科书上的表32，让学生有更多的时间来思考与体会二分法实质，培养学生合作学习的良好品质。【设计意图】让学生在教师的指导下学会分析，问题2有着承上启下的作用，发现问题初步体会极限思想以及使学生更深刻地理解二分法的思想，同时也突出了二分法的特点。通过问题2让学生掌握常见函数零点的求法，明确二分法的适用范围。 问题2：你能够总结出使零点存在的区间越来越小的规律？【设计意图】引导学生从具体的实例出发，总结出一般性的规律
9、，符合学生的思维意识，并让学生充分体会二分法思想。问题3：当我们能够将零点所在的区间不断的缩小时，怎样确定零点的近似值？如果重复上述步骤，在一定精确度下，我们可以在有限次重复上述步骤后，将所得的零点所在区间内的任一点作为函数零点的近似值。特别地，可以将区间端点作为函数零点的近似值。【设计意图】引导学生最后将函数零点的近似值求出来，让学生体会精确度的作用。（三）知识提炼问题4：你能说出二分法的意义及用二分法求函数y=f(x)零点近似值的步骤吗？1、 二分法的意义对于在区间a,b上连续不断且满足f(a)f(b)0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点
10、逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。2、给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：初始区间取区间中点中点函数值为零取新区间满足精确度结束否是否是（1）、确定区间，验证，给定精确度；（2）、求区间，的中点；（3）、计算：若=，则就是函数的零点；若，则令=（此时零点）；若，则令=（此时零点）；（4）、判断是否达到精确度即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤（2）（4）。【设计意图】引导学生小结二分法的适用条件及求方程近似解的具体步骤，培养学生特殊到一般的思想，体验解决一类问题的成功感。（四）知识迁移问题5：实际生活中利用到二分法的思想方法的例子有没有呢？试举例。【设
11、计意图】培养学生联系实际的能力，让学生体会数学与实际生活的密切联系。例2：借助计算器用二分法求方程的近似解（精确度0.1）分析：如何先确定初零点存在的区间？ 用计算器作出对应值表 用计算机作出函数图像 同一坐标系内画出函数与的图像，估值图像交点的横坐标落在的范围。【设计意图】培养学生动手能力，逐步掌握利用二分法求方程近似解的思想方法，使学生的识不断加深。练习：借助计算器，用二分法求方程在区间（2，3）内的近似解（精确度0.1）。（五）尝试练习，检验成果1、函数有一零点为，则的值为（）（A） 0 （B） 10 （C） -3 （D）与有关2、用二分法求函数的零点可以取的初始区间是（）（A） -2,
12、1 （B） -1,0 （C） 0,1 （D） 1,23、下列函数中能用二分法求零点的是（ ）(A)(B)(C)(D)。xyo【设计意图】让学生明确二分法的适用范围.4、用二分法求图象是连续不断的函数在(1,2)内零点近似值的过程中得到,则函数的零点落在区间（ ）(A)（1,1.25）(B)（1.25,1.5） (C)（1.5,2）(D) 不能确定5、用“二分法”求方程x3-2x-5=0在区间2,3内的实根，取区间中点为x0=2.5，那么下一个有根的区间是 【设计意图】让学生进一步明确缩小零点所在范围的方法。（六）课堂小结本节课学习了哪些知识、方法、思想？【设计意图】学生在回顾、总结、反思的过程中，将所学的知识条理化、系统化，使自己的认知结构更趋合理。注重数学方法的提炼，可使学生逐渐把经验内化为能力。（七）数学文化：阅读P101 中外历史上的方程求解【设计意图】让学生感受数学文化方面的熏陶，增强数学素养。（八）作业P92习题3.1A组3、4、5B组2九、教学效果追忆
