1、江苏省扬州市邗江中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（新疆班，含解析）总分 150分 时间 120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若A(0，1，1)，B(1，1，3)，则的值是（ ）A. 5B. C. 9D. 3【答案】D【解析】【分析】计算，再计算模长得到答案.【详解】A(0，1，1)，B(1，1，3)，则，故.故选：D.【点睛】本题考查了空间向量的模，意在考查学生的计算能力.2.设,且, 则实数m + n的值为（ ）A. B. C. 8D. 6【答案】B【解析】【分析】根据平行得到，故，解得，得到答
2、案.【详解】，则，故，故，解得，故.故选：B.【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力.3.已知分别为平面的法向量，且，若，则的值为（ ）A. 2B. -2C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据得到，即，计算得到答案.【详解】，故，故，解得.故选：C.【点睛】本题考查了法向量，根据向量垂直求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力.4.若向量，且，则实数的值是（ ）A. B. 0C. D. 1【答案】C【解析】【分析】先求出的坐标，利用可得，代入坐标计算即可.【详解】解：由已知，由得：，故选：C.【点睛】本题考查数量积的坐标运算，其中是解题的关键，是基础题.5.
3、已知向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成的角为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】计算，得到向量夹角，再计算线面夹角得到答案.【详解】，故向量夹角为，则直线与平面所成的角为.故选：A.【点睛】本题考查了线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.6.已知，点在直线上运动.当取最小值时，点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设，故，计算得到答案.【详解】设，即，故，当时，向量数量积有最小值，此时.故选：D.【点睛】本题考查了向量的数量积，二次函数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.7.已知函数yf(x)的图象在点
4、M(1，f(1)处的切线方程是yx2，则f(1)f(1)（ ）A. 1B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】根据切线的定义得到，相加得到答案.【详解】根据题意知：，故.故选：C.【点睛】本题考查了切线方程，属于简单题.8.函数在区间上（ ）A. 有最大值，无最小值B. 有最小值，无最大值C. 既有最大值，又有最小值D. 既无最大值，又无最小值【答案】A【解析】【分析】求导得到，得到函数的单调区间，得到最值.【详解】，则，故函数在上单调递增，在上单调递减，故函数有最大值为，无最小值.故选：A.【点睛】本题考查了求函数的最值，求导确定单调区间是解题的关键.9.直线是曲线的一条切线，则实
5、数b（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求导得到，计算切点为，代入直线方程得到答案.【详解】，则，取，解得，当时，故切点为，代入直线得到，故.故选：C.【点睛】本题考查了根据切线方程求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.10.函数的单调减区间是（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求导得到，取解得答案.【详解】，则，取，解得.故选：C.【点睛】本题考查了函数的单调区间，意在考查学生的计算能力和转化能力.11.如果函数的导函数的图像如图所示，下列判断正确的是（ ）A. 函数在区间（3，5）内单调递增B. 函数在区间（-2，2）内单调递增C. 当时，函数有极大
6、值D. 当x=2时，函数有极小值【答案】B【解析】【分析】根据导数和函数的关系依次判断每个选项得到答案.【详解】根据图像知：导函数在上有正有负，故函数先减后增，A错误；导函数在上恒为正，故函数单调递增，B正确；导函数在上恒为正，函数单调递增，故不是极值点，C错误；导函数在上为正，函数单调递增；导函数在为负，函数单调递减，故是极大值点，D错误.故选：B.【点睛】本题考查了根据导函数的图像判断函数性质，确定导函数和函数的关系是解题的关键.12.若在定义域内是增函数，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意得到，即，计算最值得到答案.【详解】，则，恒成立，故
7、，当时，的最大值为，故.故选：D.【点睛】本题考查了根据函数单调性求参数范围，参数分离转化为求函数最值是解题的关键.二、填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）13.设(1，1，2)，(2，1，2)，则_【答案】【解析】【分析】直接根据向量的坐标运算得到答案.【详解】(1，1，2)，(2，1，2)，则.故答案为：.【点睛】本题考查了向量的运算，属于简单题.14.函数的极小值为_【答案】【解析】【分析】求导得到，得到函数单调区间，求得极小值.【详解】，故，取得到，故函数在上单调递减；取得到或，故函数在和上单调递增.故极小值为.故答案为：.【点睛】本题考查了函数的极小
8、值，意在考查学生的计算能力和应用能力.15.函数的图像在点处的切线方程为_.【答案】【解析】【分析】求导得到，故，得到切线方程.【详解】，则，故切线方程为：，即.故答案为：.【点睛】本题考查了切线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.16.若关于x的不等式x24xm对任意x0,1恒成立，则m的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】设，函数在上单调递减，计算，即可得到答案.【详解】恒成立，设，函数在上单调递减，故，故.故答案为：.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.三、解答题（本大题共六小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.求下列函数
9、的导数：（1） （2）【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）直接根据导数运算法则计算得到答案.（2）利用除法的导数的运算法则得到答案.【详解】（1），则；（2），则.【点睛】本题考查了导数的运算，意在考查学生的计算能力.18.已知函数的图象经过点，且在点处的切线方程为.（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间【答案】（1）f（x）=x33x23x+2；（2）f（x）的单调增区间为（,1），（1+,+）；单调减区间为（1,1+）.【解析】【详解】分析：（1）求出导函数，题意说明，由此可求得；（2）解不等式得增区间，解不等式得减区间.详解：（1）f（x）的图象经过P（0，2），d=2，f
10、（x）=x3+bx2+x+2，f（x）=3x2+2bx+ 点M（1，f（1）处的切线方程为6xy+7=0 f（x）|x=1=3x2+2bx+=32b+=6， 还可以得到，f（1）=y=1，即点M（1，1）满足f（x）方程，得到1+ba+2=1 由、联立得b=3 故所求的解析式是f（x）=x33x23x+2（2）f（x）=3x26x3令3x26x3=0，即x22x1=0.解得x1=1- ,x2=1+.当x1+时，f（x）0；当1-x1+时，f（x）0. 故f（x）的单调增区间为（,1），（1+,+）；单调减区间为（1,1+）点睛：（1）过曲线上一点处的切线方程是；（2）不等式解集区间是函数的增区
11、间，不等式的解集区间是的减区间.19.如图，在正方体中，分别是的中点，试用空间向量知识解决下列问题（1）求证： （2）求证平面【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）以为轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为，得到，故，得到证明.（2）计算，计算，得到证明.【详解】（1）如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为，则，故，故，故.（2），故，故，又，故平面.【点睛】本题考查了利用空间向量证明线线垂直，线面垂直，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.20.如图，已知正三棱柱所有棱长都为2，为中点，试用空间向量知识解下列问题：（1）求与所成角的余弦值；（2）求证：平面
12、.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）以为轴建立空间直角坐标系，则，计算夹角得到答案.（2）计算，得到，得到证明.【详解】（1）取中点为，中点为，连接，正三棱柱，故平面，故，中点为，中点为，故，故两两垂直，以为轴建立空间直角坐标系，则，则，故，故与所成角的余弦值为.（2），故，故，故，故平面.【点睛】本题考查了异面直线夹角，利用空间向量证明线面垂直，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.21.已知E,F分别是正方体的棱BC和CD的中点，（1）求与平面所成角的余弦值（2）求二面角的余弦值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）以为轴建立空间直角坐标系， ，易知是平面的一个法
13、向量，计算夹角得到答案.（2）平面的一个法向量，平面的一个法向量为，计算夹角得到答案.【详解】（1）如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为2，则，故，易知是平面的一个法向量，故，故与平面所成角的余弦值为.（2）设平面的一个法向量为，则，即，取，则，故.易知平面，故平面的一个法向量为，则，故二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了线面夹角，二面角，意在考查学生计算能力和空间想象能力.22.已知函数 (为实常数) （1）当时，求函数在上的最大值及相应的值；（2）当时，讨论方程根个数【答案】（1）当时，；（2）当时，方程无解，当时，方程有唯一解，当时，方程有两解【解析】【分析】（1）求导得到，得到函数单调区间，得到最值.（2）得到，设，求导得到单调区间，画出函数图像，根据图像得到答案.【详解】（1），则，当时，当时，故函数在上单调递减，在上单调递增，故当时，函数有最大值为.（2），故，设，则，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，且，画出函数图像，如图所示：当时，方程无解，当时，方程有唯一解，当时，方程有两解.【点睛】本题考查了函数最值，利用导数研究方程的解的个数问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，参数分离是解题的关键.
