1、第6课时双曲线的标准方程 教学过程一、 问题情境问题1前面学习椭圆时研究了椭圆的哪些问题?解椭圆的标准方程及椭圆的标准方程的求法,并利用椭圆的标准方程研究了椭圆的几何性质.问题2下面我们来学习双曲线,应该先研究什么问题呢?解先研究双曲线的标准方程,如何求双曲线的标准方程呢?如何建立直角坐标系?二、 数学建构1.标准方程的推导设双曲线的焦距为2c,双曲线上任意一点到焦点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数2a(ca0).类比求椭圆标准方程的方法由学生来建立直角坐标系.以直线F1F2为x轴,线段F1F2的中垂线为y轴建立直角坐标系,则F1(-c,0),F2(c,0).设P(x,y)为双曲线上任意一
2、点,由双曲线定义知|PF1-PF2|=2a,即|-|=2a.1在化简到(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)时,结合双曲线定义中2a0,b0,c2=a2+b2).若焦点在y轴上,则焦点是F1(0,-c),F2(0,c),由双曲线定义得|-|=2a,与焦点在x轴上的双曲线方程|-|=2a比较,它们的结构有什么异同点?解结构相同,只是字母x,y交换了位置.故求焦点在y轴上的双曲线方程时,只需把焦点在x轴上的双曲线标准方中x,y互换即可,易得-=1(其中a0,b0,c2=a2+b2).2.双曲线标准方程的特点(1)双曲线的标准方程分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种:当焦点在x轴上时,双曲线的
3、标准方程为-=1(a0,b0);当焦点在y轴上时,双曲线的标准方程为-=1(a0,b0).(2)a,b,c有关系式c2=a2+b2成立,且a0,b0,c0,其中a与b的大小关系可以为a=b,ab.3.根据双曲线的标准方程判断焦点的位置从椭圆的标准方程不难看出,椭圆的焦点位置可由方程中含字母x2,y2项的分母的大小来确定,分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴,而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置,即x2项的系数是正的,那么焦点在x轴上;y2项的系数是正的,那么焦点在y轴上.三、 数学运用【例1】求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)经过点A(0,2),B(2,-5);(2)a=
4、2,且经过点P(2,-5).2(见学生用书P25)处理建议类比椭圆标准方程的求法,用待定系数法可分别设出焦点在x轴上和焦点在y轴上的椭圆的标准方程;也可直接设其方程为mx2+ny2=1(mn0).3规范板书(1)解法一设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn0,所以x0.故所求曲线的方程为-=1(x0).题后反思解此类实际问题的关键是“能根据条件联想、构造出合适的数学模型”,这种构造转化是以熟练掌握基础知识为前提的.对圆锥曲线而言,必须熟悉其相关定义.定义既是建构数学知识的基石,也是解答数学问题的重要工具.因此,在研究某些几何或实际问题时,若能活用双曲线的定义,则不仅可深化学生对双曲线概念的理
5、解,还能提高其分析问题、解决问题的能力.本例亦可扩展为“确定爆炸点的位置”,参见本课时学生用书(课后练习本)第12题.四、 课堂练习1.写出下列曲线的焦点坐标:(1)-=1;(2)3x2-y2=1;(3)-=-1;(4)+=1;(5)3x2+y2=12.解(1)(,0);(2);(3)(0,4);(4)(1,0);(5)(0,2).2.根据下列条件,求双曲线的标准方程:(1)与双曲线-=1有公共焦点,且过点(3,2);(2)过点P1(3,-4)和P2 ,且中心在坐标原点,焦点在坐标轴上.解法一(1)设双曲线的方程为-=1(a0,b0),则解得 所以双曲线的标准方程为-=1.(2)若双曲线的焦点
6、在y轴上,设其标准方程为-=1(a0,b0).因为点P1,P2在双曲线上,所以 解得 所以所求双曲线的标准方程为-=1.若双曲线的焦点在x轴上,设其标准方程为-=1(a0,b0).依题意得此时无解.综上,双曲线的标准方程为-=1.解法二(1) 设双曲线的方程为-=1(16-k0,4+k0),所以-=1,解得k=4.所以双曲线的标准方程为-=1.(2) 设双曲线的方程为mx2-ny2=1(mn0).依题意得解得 故所求双曲线的标准方程为-=1.3.已知关于x,y的二次方程(4-m)x2+(16-m)y2=m2-14m+48表示双曲线,则m的取值范围是m|4m6或6m8或8m16.提示由题意知解得 所以4m6或6m8或8m16.4.若椭圆+=1与双曲线x2-=1有相同的焦点,且椭圆与双曲线交于点P,求椭圆及双曲线的方程.解两方程联立消去y,得x2=m+b,代入P,得=m+b,即8m=b.又椭圆与双曲线有相同的焦点,所以10-m=1+b,即解方程组得故椭圆的方程为+y2=1,双曲线的方程为x2-=1.五、 课堂小结1. 双曲线的标准方程和标准方程的求法(定义法、待定系数法).2. 在解决双曲线的有关问题时可与椭圆中的相应问题进行类比来解决.
