1、2015-2016学年江苏省扬州市邗江中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上.1C53=2已知复数z满足（i是虚数单位），则|z|=3观察式子，则可归纳出4用数学归纳法证明等式时，第一步验证n=1时，左边应取的项是5把分别写有“灰”、“太”、“狼”的三张卡片随意排成一排，则能使卡片排成的顺序从左向右或从右向左都可以念为“灰太狼”的概率是 （用分数表示）6设函数f（x）=（x0），观察： f1（x）=f（x）=， f2（x）=f（f1（x）=， f3（x）=f（f2（x）=， f4（x）=f（f3（x）=，根据以上事
2、实，由归纳推理可得：当nN*且n2时，fn（x）=f（fn1（x）=7某射手射击所得环数的分布列如表，已知的期望E=8.9，则y的值为 78910Px0.10.3y8若把英语单词“book”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有种（用数字作答）9已知扇形的圆心角为2（定值），半径为R（定值），分别按图一、二作扇形的内接矩形，若按图一作出的矩形面积的最大值为，则按图二作出的矩形面积的最大值为10若，则（a0+a2+a4）2（a1+a3）2的值为11如果复数z满足|z|=1，那么|z3+i|的最大值是12四面体ABCD中，ABD=30，ABC=60，则AB与CD所成角为13在66的表中停放3辆完全
3、相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行、每一列都只有一辆车，每辆车占一格，共有种停放方法（用数字作答）14（理）已知ABC三边a，b，c的长都是整数，且abc，如果b=m（mN*），则这样的三角形共有个（用m表示）二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15已知复数z=b2i（b为实数），且是实数（1）求复数z；（2）若复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第四象限，试求实数a的取值范围16已知的展开式中第3项的系数与第5项的系数之比为（1）求n的值；（2）求展开式中的常数项17已知，（1）当n=1，2，3时，分别比较f（n）
4、与g（n）的大小（直接给出结论）；（2）由（1）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并证明你的结论18如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是直角三角形，AB=AC=1，AA1=2，点P是棱BB1上一点，满足=（01）（1）若，求直线PC与平面A1BC所成角的正弦值；（2）若二面角PA1CB的正弦值为，求的值19一个摸球游戏，规则如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的
5、0倍，1倍，k倍的奖励（kN*），且游戏费仍退还给参加者记参加者玩1次游戏的收益为X元（1）求概率P（X=0）的值；（2）为使收益X的数学期望不小于0元，求k的最小值（注：概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！）20设（1x）n=a0+a1x+a2x2+anxn，nN*，n2（1）设n=11，求|a6|+|a7|+|a8|+|a9|+|a10|+|a11|的值；（2）设bk=ak+1（kN，kn1），Sm=b0+b1+b2+bm（mN，mn1），求|的值2015-2016学年江苏省扬州市邗江中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分
6、.请把答案填写在答题卡相应的位置上.1C53=10【考点】组合及组合数公式【分析】根据组合数的公式，计算即可【解答】解： =10故答案为：102已知复数z满足（i是虚数单位），则|z|=sqrt5【考点】复数求模【分析】直接利用复数的模等于分子的模与分母的模，即可求出复数的模，【解答】解：由题意可知=故答案为：3观察式子，则可归纳出frac2n+1n+1（n1）【考点】归纳推理【分析】根据已知中，分析左边式子中的数与右边式了中的数之间的关系，由此可写出结果【解答】解：根据题意，每个不等式的右边的分母是n+1不等号右边的分子是2n+1，1+（n1）故答案为：（n1）4用数学归纳法证明等式时，第一
7、步验证n=1时，左边应取的项是1+2+3+4【考点】用数学归纳法证明不等式【分析】本题考查的知识点是数学归纳法的步骤，由等式，当n=1时，n+3=4，而等式左边起始为1的连续的正整数的和，由此易得答案【解答】解：在等式中，当n=1时，n+3=4，而等式左边起始为1的连续的正整数的和，故n=1时，等式左边的项为：1+2+3+4故答案为：1+2+3+45把分别写有“灰”、“太”、“狼”的三张卡片随意排成一排，则能使卡片排成的顺序从左向右或从右向左都可以念为“灰太狼”的概率是 frac13（用分数表示）【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是三张卡片全排列，满
8、足条件的事件是卡片排成的顺序从左向右或从右向左都可以念为“灰太狼”，写出事件数，根据古典概型概率公式得到概率【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是三张卡片全排列，共有A33=6种结果，满足条件的事件是卡片排成的顺序从左向右或从右向左都可以念为“灰太狼”，共有2种结果，根据古典概型概率公式得到P=，故答案为：6设函数f（x）=（x0），观察： f1（x）=f（x）=， f2（x）=f（f1（x）=， f3（x）=f（f2（x）=， f4（x）=f（f3（x）=，根据以上事实，由归纳推理可得：当nN*且n2时，fn（x）=f（fn1（x）=fracx（2n1）x+2n【考点】
9、归纳推理【分析】观察所给的前四项的结构特点，先观察分子，只有一项组成，并且没有变化，在观察分母，有两部分组成，是一个一次函数，根据一次函数的一次项系数与常数项的变化特点，得到结果【解答】解：函数f（x）=（x0），观察： f1（x）=f（x）=， f2（x）=f（f1（x）=， f3（x）=f（f2（x）=， f4（x）=f（f3（x）=，所给的函数式的分子不变都是x，而分母是由两部分的和组成，第一部分的系数分别是1，3，7，152n1，第二部分的数分别是2，4，8，162nfn（x）=f（fn1（x）=故答案为：7某射手射击所得环数的分布列如表，已知的期望E=8.9，则y的值为0.4 789
10、10Px0.10.3y【考点】离散型随机变量及其分布列【分析】根据分布列的概率之和是1，得到关于x和y之间的一个关系式，由变量的期望值，得到另一个关于x和y的关系式，联立方程，解出要求的y的值【解答】解：由表格可知：x+0.1+0.3+y=1，7x+80.1+90.3+10y=8.9解得y=0.4故答案为：0.48若把英语单词“book”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有11种（用数字作答）【考点】计数原理的应用【分析】首先用倍分法求出单词“book”四个字母中其不同的排列数目，再在其中排除正确的1种情况，即可得答案【解答】解：根据题意，因为“book”四个字母中的两个“o”是相同的，则其
11、不同的排列有A44=12种，而正确的排列只有1种，则可能出现的错误共有11种；故答案为：119已知扇形的圆心角为2（定值），半径为R（定值），分别按图一、二作扇形的内接矩形，若按图一作出的矩形面积的最大值为frac12R2tan，则按图二作出的矩形面积的最大值为R2tanfrac2【考点】函数的最值及其几何意义【分析】思考图二与图一有怎样的联系？将图二拆分成两个图一的形式，可以类比得到结论图一角是2，图二拆分后角是，故最值为，两个则为R2tan【解答】解：图一作出的矩形面积的最大值为R2tan，图二可拆分成两个，图一角是2，图二拆分后角是，故矩形面积的最大值为R2tan，两个则为R2tan10
12、若，则（a0+a2+a4）2（a1+a3）2的值为1【考点】二项式定理的应用【分析】通过对x分别赋值1，1，求出各项系数和和正负号交替出现的系数和，两式相乘得解【解答】解：对于，令x=1得=a0+a1+a2+a3+a4令x=1得=a0a1+a2a3+a4两式相乘得1=（a0+a2+a4）2（a1+a3）2故答案为111如果复数z满足|z|=1，那么|z3+i|的最大值是sqrt10+1【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】由题意画出图形，利用|z3+i|的几何意义，即圆上的点与定点P（3，1）距离求得答案【解答】解：由|z|=1，的复数z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以1为半径的圆上
13、，如图，|z3+i|的几何意义为圆上的点与定点P（3，1）距离，其最大值为故答案为：12四面体ABCD中，ABD=30，ABC=60，则AB与CD所成角为60【考点】解三角形【分析】根据题意画出相应的图形，如图所示，在三角形ABD中，过A作AE垂直于BD，交BD于点E，连接CE并延长，使EF=EC，连接BF，DF，AF，可得出ABF为AB与CD所成角，求法为：在三角形ABE中，由30所对的直角边等于斜边的一半，根据AB的长求出AE的长，进而利用勾股定理求出BE的长，发现BE为BD的一半，即E为BD的中点，又BC=DC，CE为BD上的中线，根据三线合一得到CE垂直于BD，根据AE垂直于面BCDF
14、，可得出AE垂直于EF，再由EF=CE，BE=DE，得到四边形BCDF为平行四边形，再由邻边BC=DC，可得出四边形BCDF为菱形，得出BF=BC，由BC的长，得出BF的长，在直角三角形AEF中，由EF及AE的长，利用勾股定理求出AF的长，在三角形ABF中，利用余弦定理表示出cosABF，将三边长代入求出cosABF的值，由ABF的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出ABF的度数，即为AB与CD所成角的度数【解答】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：在ABD中，过A作AEBD，交BD于点E，连接CE，并延长使EF=EC，连接BF，DF，AF，在ABE中，ABD=30，AB=2，AE=AB=1
15、，根据勾股定理得到BE=，又BD=2，E为BD的中点，BC=DC=3，CFBD，又AEBD，BD面ACF，又面ABD与面ACF交于直线BD，AE面BCD，AECF，CE=EF，BE=DE，四边形BCDF为平行四边形，又BC=DC，四边形BCDF为菱形，BF=BC=CD=DF=3，在RtBCE中，BC=3，BE=，根据勾股定理得：CE=，EF=CE=，又AE=1，在RtAEF中，根据勾股定理得：AF=，在ABF中，AB=2，BF=3，AF=，由余弦定理得：cosABF=，又0ABF90，ABF=60，则AB与CD所成角为60故答案为：6013在66的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑
16、色车，每一行、每一列都只有一辆车，每辆车占一格，共有14400种停放方法（用数字作答）【考点】分步乘法计数原理【分析】利用分步计数原理，第一步先选车，第二种再排列，问题得以解决【解答】解：第一步先选车有种，第二步因为每一行、每一列都只有一辆车，每辆车占一格，从中选取一辆车后，把这辆车所在的行列全划掉，依次进行，则有=种，根据分步计数原理得； =14400种故答案为：1440014（理）已知ABC三边a，b，c的长都是整数，且abc，如果b=m（mN*），则这样的三角形共有fracm（m+1）2个（用m表示）【考点】进行简单的合情推理【分析】本题是推理和证明这一章的习题，考查合情推理能力讲评时可
17、改为c=m再探究本题也可以用线性规划知识求解【解答】解：当m=1时，这样的三角形共有1个，即（1，1，1）当m=2时，这样的三角形共有3个，即（1，2，2）；（2，2，2）；（2，2，3）当m=3时，这样的三角形共有6个，即：（1，3，3）；（2，3，3）；（2，3，4）；（3，3，3）；（3，3，4）；（3，3，5）当m=4时，这样的三角形共有10个当m=5时，这样的三角形共有15个根据上述结论我们可以推断：当b=m（mN*），则这样的三角形共有个故答案为：二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15已知复数z=b2i（b为实数
18、），且是实数（1）求复数z；（2）若复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第四象限，试求实数a的取值范围【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义【分析】（1）把z=b2i（b为实数），代入，利用复数代数形式的乘除运算化简后由虚部等于0求得b的值，则z可求；（2）直接展开乘方运算，然后由实部大于0且虚部小于0求解实数a的取值范围【解答】解：（1）z=b2i，由=为实数，则b=4z=42i；（2）（z+ai）2=（42i+ai）2=16（a2）2+8（a2）i在复平面上对应的点在第四象限，解得2a2实数a的取值范围是（2，2）16已知的展开式中第3项的系数与第5项的系数之比为（
19、1）求n的值；（2）求展开式中的常数项【考点】二项式定理的应用【分析】（1）直接根据的展开式中第3项的系数与第5项的系数之比为列出关于n的方程，结合组合数的性质即可求出结论；（2）先求出其通项，再令自变量的指数为0即可求出结论【解答】解：（1）由题设，得，则n25n50=0n=10或n=5（舍）（2）=当即当r=8时为常数项17已知，（1）当n=1，2，3时，分别比较f（n）与g（n）的大小（直接给出结论）；（2）由（1）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并证明你的结论【考点】用数学归纳法证明不等式；不等式比较大小【分析】（1）先令n=1，2，3分别求得f（n）和g（n），再通过计算比较它们的
20、大小即可；（2）通过前3项进行归纳猜想，用数学归纳法证明检验n取第一个值时，等式成立，假设n=k时成立，证明当n=k+1时也成立，即可得到猜想成立【解答】解：（1）当n=1时，f（1）=1，f（1）g（1），当n=2时，f（2）g（2），当n=3时，g（3）=2，f（3）g（3）（2）猜想：f（n）g（n）（nN*），即下面用数学归纳法证明：当n=1时，上面已证假设当n=k时，猜想成立，即则当n=k+1时， =；而，下面转化为证明：只要证：，需证：（2k+3）24（k+2）（k+1），即证：4k2+12k+94k2+12k+8，此式显然成立所以，当n=k+1时猜想也成立综上可知：对nN*，猜想
21、都成立，即成立18如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是直角三角形，AB=AC=1，AA1=2，点P是棱BB1上一点，满足=（01）（1）若，求直线PC与平面A1BC所成角的正弦值；（2）若二面角PA1CB的正弦值为，求的值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面所成的角【分析】（1）如图所示，建立空间直角坐标系，设平面A1BC的法向量为=（x，y，z），则，可得设直线PC与平面A1BC所成角为，则sin=（2）设二面角PA1CB的平面角为，由图可知为锐角，由于sin=，可得cos=由于=（01），可得P（1，0，2）设平面A1CP的法向量为=（x0，y0，z0），=，即可得出【解
22、答】解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，2），P=（1，0，2），=（1，1，0），=设平面A1BC的法向量为=（x，y，z），则，即，取=（2，2，1），设直线PC与平面A1BC所成角为，则sin=（2）设二面角PA1CB的平面角为，由图可知为锐角，sin=，cos=（01），P（1，0，2）=（1，1，2），=（1，0，22）设平面A1CP的法向量为=（x0，y0，z0），则，即，取=（22，2，1），=化简解得：2+89=0，01，解得=119一个摸球游戏，规则如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻
23、璃球参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，k倍的奖励（kN*），且游戏费仍退还给参加者记参加者玩1次游戏的收益为X元（1）求概率P（X=0）的值；（2）为使收益X的数学期望不小于0元，求k的最小值（注：概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！）【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）事件“X=0”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出现1次”，由此能求出P（X=0）（2）依题意，X的可
24、能取值为k，1，1，0，分别求出相应的概率，由此求出E（X），进而能求出k的最小值【解答】解：（1）事件“X=0”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出现1次”，则P（X=0）=3=（2）依题意，X的可能取值为k，1，1，0，且P（X=k）=（）3=，P（X=1）=（）3=，P（X=1）=3=，P（X=0）=3=，参加游戏者的收益X的数学期望为：E（X）=，为使收益X的数学期望不小于0元，故k110，k的最小值为11020设（1x）n=a0+a1x+a2x2+anxn，nN*，n2（1）设n=11，求|a6|+|a7|+|a8|+|a9|+|a10|+|a11|的值；（2）设bk=ak+1
25、（kN，kn1），Sm=b0+b1+b2+bm（mN，mn1），求|的值【考点】数列与函数的综合；二项式定理的应用【分析】（1）由二项式定理可得ak=（1）k，再由二项式系数的性质，可得所求和为210；（2）由组合数的阶乘公式可得bk=（1）k+1，再由组合数的性质，可得当1kn1时，bk=（1）k+1=（1）k+1（+）=（1）k1（1）k，讨论m=0和1mn1时，计算化简即可得到所求值【解答】解：（1）由二项式定理可得ak=（1）k，当n=11时，|a6|+|a7|+|a8|+|a9|+|a10|+|a11|=+=（+）=210=1024；（2）bk=ak+1=（1）k+1=（1）k+1，当1kn1时，bk=（1）k+1=（1）k+1（+）=（1）k+1+（1）k+1=（1）k1（1）k，当m=0时，|=|=1；当1mn1时，Sm=b0+b1+b2+bm=1+ （1）k1（1）k=1+1（1）m=（1）m，即有|=1综上可得，|=12016年7月14日
