1、2015-2016学年江苏省扬州市邗江中学高一（下）期中数学试卷一、填空题：本题包括14小题，每小题5分，共70分，请把答案写在答题纸相应题号后的横线上1sin585的值为2函数f（x）=2sin（3x+）的最小正周期T=3已知等差数列an中，若a3+a11=22，则a7=4函数在xR上的最小值等于5已知tan=2，则sin2+sincos2cos2=6若关于x的不等式2x23x+a0的解集为（m，1），则实数m=7不等式|2x1|x2|0的解集为8公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项，S8=32，则S10=9等比数列an的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a
2、3成等差数列若a1=1，则S4=10已知函数f（x）=x2，（x2，2），g（x）=a2sin（2x+）+3a，x0，），x12，2，总x00，使得g（x）=f（x1）成立，则实数a的取值范围是11设a1=2，bn=，nN+，则数列bn的通项公式bn=12有四个关于三角函数的命题：（1）xR，sin2+cos2=；（2）x、yR，sin（xy）=sinxsiny；（3）x0， =sinx；（4）sinx=cosyx+y=其中假命题的序号是 13在锐角ABC中，BC=1，B=2A，则AC的取值范围为14已知函数f（x）=sinx+tanx项数为31的等差数列an满足，且公差d0若f（a1）+f（
3、a2）+f（a31）=0，则当k=时，f（ak）=0二、解答题：15、16题均为14分，17、18题均为15分，19、20题均为16分，请在答题纸的指定区域内答题，并写出必要的计算、证明、推理过程15已知sin=，且为第二象限角，计算：（1）；（2）sin216已知等差数列an中，首项a1=1，公差d为整数，且满足a1+3a3，a2+5a4，数列bn满足，其前n项和为Sn（1）求数列an的通项公式an；（2）若S2为S1，Sm（mN*）的等比中项，求m的值17如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，30，
4、于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC=0.1 km试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01 km，1.414，2.449）18在数列an中，a1=1，an+1=（1+）an+（1）设bn=，求数列bn的通项公式；（2）求数列an的前n项和Sn19ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin（BA）=cosC（1）求A，C；（2）若SABC=，求a，c20设数列an的通项公式为an=pn+q（nN*，P0）数列bn定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式anm成立的所有n中的最小值（）若，求b3；（）若p=2，q=1，求数列bm的前
5、2m项和公式；（）是否存在p和q，使得bm=3m+2（mN*）？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由2015-2016学年江苏省扬州市邗江中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本题包括14小题，每小题5分，共70分，请把答案写在答题纸相应题号后的横线上1sin585的值为【考点】运用诱导公式化简求值【专题】计算题【分析】将所求式子中的角585变形为720135，利用诱导公式化简后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值【解答】解：sin585=sin（720135）=sin135=故答案为：【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，灵活变换角度，熟练掌握诱导公式是解
6、本题的关键2函数f（x）=2sin（3x+）的最小正周期T=【考点】三角函数的周期性及其求法【专题】计算题【分析】由函数解析式找出的值，代入周期公式T=，即可求出函数的最小正周期【解答】解：函数f（x）=2sin（3x+），=3，T=故答案为：【点评】此题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键3已知等差数列an中，若a3+a11=22，则a7=11【考点】等差数列的性质【专题】计算题【分析】观察第3项和第11项的项数之和为14，得到第3项与第11项的和等于第7项的2倍，由a3+a11=22列出关于a7的方程，求出方程的解即可得到a7的值【解答】解：因为a3+a11=2（
7、a1+6d）=2a7=22，所以a7=11故答案为：11【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值，是一道基础题4函数在xR上的最小值等于2【考点】两角和与差的正弦函数；诱导公式的作用；三角函数的最值【专题】计算题【分析】利用三角函数的诱导公式与辅助角公式将f（x）=sinx+sin（+x）化为f（x）=2sin（x+），即可求得答案【解答】解：f（x）=sinx+sin（+x）=sinx+cosx=2sin（x+），f（x）在xR上的最小值等于2故答案为：2【点评】本题考查两角和的正弦，考查诱导公式与辅助角公式，考查正弦函数的最值，属于基础题5已知tan=2，则sin2+sincos
8、2cos2=【考点】同角三角函数间的基本关系【专题】计算题【分析】利用“1=sin2+cos2”，再将弦化切，利用条件，即可求得结论【解答】解：sin2+sincos2cos2=tan=2=sin2+sincos2cos2=故答案为：【点评】本题重点考查同角三角函数间基本关系，解题的关键是利用“1=sin2+cos2”，再将弦化切，属于基础题6若关于x的不等式2x23x+a0的解集为（m，1），则实数m=【考点】一元二次不等式的应用【分析】由不等式2x23x+a0的解集为（ m，1）可知：x=m，x=1是方程2x23x+a=0的两根根据韦达定理便可分别求出m和a的值【解答】解：由不等式2x23
9、x+a0的解集为（ m，1）可知：x=m，x=1是方程2x23x+a=0的两根由韦达定理得：，解得：m=，a=1【点评】本题考查一元二次不等式的解法7不等式|2x1|x2|0的解集为x|1x1【考点】绝对值不等式的解法【专题】计算题；转化思想【分析】首先分析题目求不等式|2x1|x2|0的解集，可以考虑平方去绝对的方法，先移向，平方，然后转化为求解一元二次不等式即可得到答案【解答】解：|2x1|x2|0移向得：丨2x1丨丨x2丨两边同时平方得（2x1）2（x2）2即：4x24x+1x24x+4，整理得：x21，即1x1故答案为：x|1x1【点评】此题主要考查绝对值不等式的解法的问题，其中涉及到
10、平方去绝对值的方法，对于绝对值不等式属于比较基础的知识点，需要同学们掌握8公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项，S8=32，则S10=60【考点】等差数列的前n项和【专题】综合题【分析】设出等差数列的等差d，且d不为0，根据a4是a3与a7的等比中项，S8=32，利用等比数列的性质和等差数列的前n项和的公式化简得到关于等差数列首项和公差方程组，求出方程组的解集即可得到首项和公差，然后再利用等差数列的前n项和的公式求出S10即可【解答】解：设公差为d（d0），则有，化简得：，因为d0，由得到2a1+3d=0，得：4d=8，解得d=2，把d=2代入求得a1=3，所
11、以方程组的解集为，则S10=10（3）+2=60故答案为：60【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的前n项和的公式及等比数列的通项公式化简求值，是一道综合题本题解法属基本量法在解由等差（比）数列中的部分项生成等比（差）数列中部分项问题时，要特别注意新数列中项在新、老数列中的各自属性及其表示9等比数列an的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列若a1=1，则S4=15【考点】等差数列的性质；等比数列的前n项和【专题】计算题【分析】由题意知2a24a1=a32a2，即2q4=q22q，由此可知q=2，a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，于是得到S41+2+4+8=15【解答】解：2a
12、24a1=a32a2，2q4=q22q，q24q+4=0，q=2，a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，S4=1+2+4+8=15答案：15【点评】本题考查数列的应用，解题时要注意公式的灵活运用10已知函数f（x）=x2，（x2，2），g（x）=a2sin（2x+）+3a，x0，），x12，2，总x00，使得g（x）=f（x1）成立，则实数a的取值范围是（，46，+）【考点】函数的值域；正弦函数的定义域和值域【专题】计算题【分析】先分别求出函数f（x）与函数g（x）的值域，再根据x12，2，成立得到函数f（x）的值域是函数g（x）的值域的子集，建立不等关系即可【解答】解：xsin（2x+）则
13、的值域为3aa2，a2+3a而f（x）=x2，（x2，2）的值域为0，4x12，2，成立0，43aa2，a2+3a则，解得a（，46，+），故答案为（，46，+）【点评】本题主要考查了函数的值域，以及存在性问题的应用，属于中档题，是高考中偶尔出现的好题11设a1=2，bn=，nN+，则数列bn的通项公式bn=2n+1【考点】数列递推式【专题】压轴题；创新题型【分析】由题设条件得=，由此能够导出数列bn的通项公式bn【解答】解：由条件得=且b1=4所以数列bn是首项为4，公比为2的等比数列，则bn=42n1=2n+1故答案为：2n+1【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，
14、注意递推公式的合理运用12有四个关于三角函数的命题：（1）xR，sin2+cos2=；（2）x、yR，sin（xy）=sinxsiny；（3）x0， =sinx；（4）sinx=cosyx+y=其中假命题的序号是 （1）（4）【考点】复合命题的真假【专题】计算题【分析】由同角三角函数的关系知（1）是假命题；由三解函数的关系知（4）不成立【解答】解：sin2+cos2=1，故（1）是假命题；当x=y=0时，sin（xy）=sinxsiny，故（2）成立；x0， =sinx，（3）成立； sinx=cosyx+y=不成立，故（4）不成立故答案：（1）、（4）【点评】本题考查复合命题的真假，解题时要
15、认真审题，仔细解答，注意公式的正确选用13在锐角ABC中，BC=1，B=2A，则AC的取值范围为（，）【考点】正弦定理的应用【专题】计算题【分析】由条件可得3 A，且 02A，故A，cosA，由正弦定理可得 b=2cosA，从而得到 b 的取值范围【解答】解：在锐角ABC中，BC=1，B=2A，3 A，且 02A，故A， 故 cosA 由正弦定理可得，b=2cosA，b，故答案为：（，）【点评】本题考查锐角三角形的定义，正弦定理的应用，求得A，是解题的关键14已知函数f（x）=sinx+tanx项数为31的等差数列an满足，且公差d0若f（a1）+f（a2）+f（a31）=0，则当k=16时，
16、f（ak）=0【考点】等差数列的通项公式【专题】转化思想；函数的性质及应用；等差数列与等比数列【分析】函数f（x）=sinx+tanx，可得f（x）=f（x），即函数是奇函数因此函数f（x）的图象关于原点对称，即可得出【解答】解：函数f（x）=sinx+tanx，f（x）=sin（x）+tan（x）=f（x），即函数是奇函数函数f（x）的图象关于原点对称，项数为31的等差数列an满足，且公差d0，中间数f（ak）=0，k=16，【点评】本题考查了函数的奇偶性、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、解答题：15、16题均为14分，17、18题均为15分，19、20题均为16分，
17、请在答题纸的指定区域内答题，并写出必要的计算、证明、推理过程15已知sin=，且为第二象限角，计算：（1）；（2）sin2【考点】三角函数的化简求值【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值【分析】（1）由角的范围，利用同角三角函数基本关系式可求cos的值，利用两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值即可化简计算求值（2）利用倍角公式，降幂公式化简所求即可计算求值得解【解答】解：（1）sin=，且为第二象限角，cos=，=coscos+sinsin=（）=；（2）sin2=+=+2sincos=+2（）=【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，倍角公式，降幂公式在三角函数化简求值中
18、的应用，属于基础题16已知等差数列an中，首项a1=1，公差d为整数，且满足a1+3a3，a2+5a4，数列bn满足，其前n项和为Sn（1）求数列an的通项公式an；（2）若S2为S1，Sm（mN*）的等比中项，求m的值【考点】数列的应用；数列递推式【专题】计算题【分析】（1）由题意，得，由此可解得an=1+（n1）2=2n1（2）由=，知=由此可求出m的值【解答】解：（1）由题意，得解得d又dZ，d=2an=1+（n1）2=2n1（2）=，=，S2为S1，Sm（mN*）的等比中项，S22=SmS1，即，解得m=12【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答17如图，A、B、
19、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC=0.1 km试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01 km，1.414，2.449）【考点】解三角形的实际应用【专题】计算题；应用题【分析】在ACD中，DAC=30推断出CD=AC，同时根据CB是CAD底边AD的中垂线，判断出BD=BA，进而在ABC中利用余弦定理求得AB答案可得【解答】解：在ACD中，DAC=30，ADC=60DAC=30，所以CD=AC=0.1又BCD=1806
20、060=60，故CB是CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA、在ABC中， =，sin215=，可得sin15=，即AB=，因此，BD=0.33km故B、D的距离约为0.33km【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用考查学生分析问题解决问题的能力综合运用基础知识的能力18在数列an中，a1=1，an+1=（1+）an+（1）设bn=，求数列bn的通项公式；（2）求数列an的前n项和Sn【考点】数列递推式；数列的求和【专题】计算题；综合题【分析】（1）由已知得=+，即bn+1=bn+，由此能够推导出所求的通项公式（2）由题设知an=2n，故Sn=（2+4+2n）（1+），设Tn=1+，由错位相
21、减法能求出Tn=4从而导出数列an的前n项和Sn【解答】解：（1）由已知得b1=a1=1，且=+，即bn+1=bn+，从而b2=b1+，b3=b2+，bn=bn1+（n2）于是bn=b1+=2（n2）又b1=1，故所求的通项公式为bn=2（2）由（1）知an=2n，故Sn=（2+4+2n）（1+），设Tn=1+，Tn=+，得，Tn=1+=2，Tn=4Sn=n（n+1）+4【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要注意错位相减法的合理运用19ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin（BA）=cosC（1）求A，C；（2）若SABC=，求a，c【考点】余弦定理的应用；两角
22、和与差的余弦函数；正弦定理的应用【专题】计算题【分析】（1）先根据同角三角函数的基本关系将正切化为正余弦之比再相乘可得到3内角的正弦关系式，再由sin（BA）=cosC可求出答案（2）先根据正弦定理得到a与c的关系，再利用三角形的面积公式可得答案【解答】解：（1）因为所以左边切化弦对角相乘得到sinCcosAcosCsinA=cosCsinBsinCcosB，所以sin（CA）=sin（BC）所以CA=BC或CA=（BC）（不成立）即2C=A+B，C=60，所以A+B=120，又因为sin（BA）=cosC=，所以BA=30或BA=150（舍），所以A=45，C=60（2）由（1）知A=45，
23、C=60B=75sinB=根据正弦定理可得即：a=S=acsinB=3+c2=12c=2a=2【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系和正弦定理与三角形面积公式的应用对于三角函数这一部分公式比较多，要强化记忆20设数列an的通项公式为an=pn+q（nN*，P0）数列bn定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式anm成立的所有n中的最小值（）若，求b3；（）若p=2，q=1，求数列bm的前2m项和公式；（）是否存在p和q，使得bm=3m+2（mN*）？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】（）先得出
24、an，再解关于n的不等式，利用正整数的条件得出具体结果；（）先得出an，再解关于n的不等式，根据bn的定义求得bn再求得S2m；（）根据bm的定义转化关于m的不等式恒成立问题【解答】解：（）由题意，得，解，得成立的所有n中的最小正整数为7，即b3=7（）由题意，得an=2n1，对于正整数m，由anm，得根据bm的定义可知当m=2k1时，bm=k（kN*）；当m=2k时，bm=k+1（kN*）b1+b2+b2m=（b1+b3+b2m1）+（b2+b4+b2m）=（1+2+3+m）+2+3+4+（m+1）=（）假设存在p和q满足条件，由不等式pn+qm及p0得bm=3m+2（mN*），根据bm的定义可知，对于任意的正整数m都有，即2pq（3p1）mpq对任意的正整数m都成立当3p10（或3p10）时，得（或），这与上述结论矛盾！当3p1=0，即时，得，解得（经检验符合题意）存在p和q，使得bm=3m+2（mN*）；p和q的取值范围分别是，【点评】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法本题是数列与不等式综合的较难层次题
