1、第一章 空间几何体123 空间几何体的直观图第一章 空间几何体 1用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图 2用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图1用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)建系：在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴，两轴相交于点 O画直观图时，把它们画成对应的 x轴与 y轴，两轴交于点 O，且使xOy_(或_)，它们确定的平面表示_45135水平面(2)平行不变：已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于_或_的线段(3)长度规则：已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中_，平行于 y 轴的线段，长度为原来的_x轴y轴
2、保持原长度不变一半2空间几何体直观图的画法(1)与平面图形的直观图画法相比多了一个 z 轴，直观图中与之对应的是 z轴(2)直观图中平面 xOy表示水平平面，平面 yOz和 xOz表示竖直平面(3)已知图形中平行于 z 轴(或在 z 轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变(4)成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为_虚线1斜二测画法中的建系原则在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线或图形的对称直线为坐标轴，图形的对称点为原点或利用原有互相垂直的直线为坐标轴等2直观图中的“变”与“不变”平面图形用其直观图表示时，(
3、1)平行关系不变；(2)点的共线性不变；(3)线的共点性不变；(4)角的大小有变化(特别是垂直关系有变化)；(5)有些线段的度量关系也发生变化3斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形两者之间关系为：S直S原 24 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)用斜二测画法画水平放置的A 时，若A 的两边分别平行于 x 轴和 y 轴，且A90，则在直观图中，A45()(2)用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行()(3)相等的角
4、在直观图中仍相等()用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是()A原来相交的仍相交 B原来垂直的仍垂直C原来平行的仍平行D原来共点的仍共点答案：B关于斜二测画法，下列说法不正确的是_原图形中平行于 x 轴的线段，其对应线段平行于 x轴，且长度不变；原图形中平行于 y 轴的线段，其对应线段平行于 y轴，且长度变为原来的12；画与直角坐标系 xOy 对应的坐标系 xOy时，xOy必须是 45；在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同答案：如图所示的直观图AOB，其原平面图形的面积为_答案：6探究点 1 画水平放置的平面图形的直观图 画水平放置的直角梯形的直观图，
5、如图所示【解】(1)在已知的直角梯形 OBCD 中，以底边 OB 所在直线为 x 轴，垂直于 OB 的腰 OD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系画相应的 x轴和 y轴，使xOy45，如图所示(2)在 x轴上截取 OBOB，在 y轴上截取 OD12OD，过点 D作 x轴的平行线 l，在 l 上沿 x轴正方向取点 C使得 DCDC连接 BC，如图(3)所得四边形 OBCD就是直角梯形 OBCD 的直观图如图画水平放置的平面图形的直观图的关键及注意事项(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上或边与坐标轴平行，以便于画图(2)画
6、图时要注意原图和直观图中线段的长度的关系是否发生变化 1用斜二测画法画如图所示的水平放置的正三角形的直观图解：(1)如图所示，以 BC 边所在的直线为 x 轴，以 BC 边上的高 AO 所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系(2)画对应的 x轴、y轴，使xOy45在 x轴上取 OBOCOBOC，在 y轴上取 OA12OA，连接 AB，AC，则三角形 ABC即为正三角形 ABC 的直观图，如图所示探究点 2 画简单几何体的直观图 已知一个正四棱台的上底面边长为 2，下底面边长为6，高为 4，用斜二测画法画出此正四棱台的直观图【解】(1)画轴如图，画 x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点 O，使
7、xOy45，xOz90(2)画下底面以 O 为中点，在 x 轴上取线段 EF，使得 EF6，在 y 轴上取线段 GH，使得 GH3，再过 G，H 分别作ABEF，CDEF，且使得 AB 的中点为 G，CD 的中点为H，连接 AD、BC，这样就得到了正四棱台的下底面 ABCD的直观图(3)画上底面在 z 轴上截取线段 OO14，过 O1作 O1xOx、O1yOy，使xO1y45，建立坐标系 xO1y，在 xO1y中仿照(2)的步骤画出上底面 A1B1C1D1的直观图(4)连接 AA1、BB1、CC1、DD1，擦去辅助线，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图(如图)画空间图形的直观图的原则(1)用
8、斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于 x 轴、y 轴、z 轴的线段在直观图中应分别画成平行于 x轴、y轴、z轴的线段(2)平行于 x 轴、z 轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于 y 轴的线段长度变为原来的12 2由如图所示几何体的三视图画出直观图解：(1)画轴如图，画出 x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点 O，使xOy45，xOz90(2)画底面作水平放置的三角形(俯视图)的直观图ABC(3)画侧棱过 A，B，C 各点分别作 z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段 AA，BB，CC，且 AABBCC(4)成图，顺次连接 A，B，C，并加以整理(擦去辅助线，将遮挡部分用虚线表
9、示)，得到的图形就是所示的几何体的直观图探究点 3 直观图的还原与计算 如图是四边形 ABCD 的水平放置的直观图 ABCD，则原四边形 ABCD 的面积是()A14 B10 2C28 D14 2【解析】因为 ADy轴，ABCD，ABCD，所以原图形是一个直角梯形，如图所示又 AD4，所以原直角梯形的上、下底及高分别是 2，5，8，故其面积为 S12(25)828【答案】C直观图还原为平面图形的方法及面积的求法(1)还原图形的过程是画直观图的逆过程，关键是找与 x轴、y轴平行的直线或线段平行于 x轴的线段长度不变，平行于 y轴的线段还原时长度变为原来的 2 倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接
10、即可(2)求图形的面积，关键是能正确画出图形，然后求出相应边的长度，利用公式求解注意 原图的面积 S 与直观图的面积 S之间的关系为 S2 2S 3已知正三角形 ABC 的边长为 a，那么ABC 的平面直观图ABC的面积为()A 34 a2B 38 a2C 68 a2D 616a2解析：选 D如图所示为实际图形和直观图由可知，BCBCa，OA12OA 34 a，在图中作 ADBC于点 D，则 AD22 OA 68 a所以 SABC12BCAD12a 68 a 616a21在原来的图形中，两条线段平行且相等，则在斜二测直观图中对应的两条线段()A平行且相等 B平行不相等C相等不平行D既不平行也不
11、相等解析：选 A斜二测画法是平行投影，所以平行且相等的线段的直观图仍平行且相等2如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的()解析：选 C由斜二测画法的规则可知，该平面图形为直角梯形，又因为第一象限内的边平行于 y轴，故选 C3如图是一梯形 OABC 的直观图，其直观图面积为 S，则梯形 OABC 的面积为()A2SB 2SC2 2SD 3S解析：选 C法一：设 OCh，则原梯形是一个直角梯形且高为 2h，CBCB，OAOA过 C作 CDOA于点D(图略)，则 CD 22 h由题意知12CD(CBOA)S，即 24 h(CBOA)S又原直角梯形面积为S122h(CBOA)h(CBOA)4S22 2S所以梯形 OABC 的面积为 2 2S故选 C法二：由 S 直观图 24 S 原图，可得 S 梯形 OABC4S22 2S，故选 C4画一个正四棱锥(底面为正方形，侧面为全等的等腰三角形)的直观图(尺寸自定)解：步骤：(1)画轴如图，画 x 轴、y 轴、z 轴，使xOy45，xOz90(2)画底面以 O 为中心，在 xOy 平面内，画出正方形的直观图 ABCD(3)画顶点在 Oz 轴上截取 OS，使 OS 等于已知正四棱锥的高(4)画棱连接 SA，SB，SC，SD，擦去辅助线(坐标轴)，得到正四棱锥 S-ABCD 的直观图，如图所示本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
