1、第7讲解三角形的应用举例基础知识整合1仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图)2方位角从正北方向线顺时针旋转到目标方向线的水平角如B点方位角为(如图)3方向角相对于某一正方向的水平角，即从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线一般是指正北或正南方向，方向角小于90)如北偏东，南偏西.特别地，若目标方向线与指北或指南方向线成45角称为西南方向、东北方向等(1)北偏东，即由指北方向顺时针旋转到达目标方向(如图)；(2)北偏西，即由指北方向逆时针旋转到达目标方向；(3)南偏西等其他方向角类似4.坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角(
2、如图，角为坡角)(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡度)坡度又称为坡比1仰角与俯角是相对水平视线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的2“方位角”与“方向角”的区别：方位角大小的范围是0,2)，方向角大小的范围是. 1两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10 B北偏西10C南偏东10 D南偏西10答案B解析由题可知ABC50，A，B，C位置如图故选B.2(2019厦门模拟)如图，D，C，B在地平面同一直线上，DC10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30和45，则A点离地面的高AB等于(
3、)A10 m B5 mC5(1) m D5(1) m答案D解析在直角三角形中，根据三角函数的定义得10，解得AB5(1)(m)故选D.3(2019武汉模拟)海面上有A，B，C三个灯塔，AB10 n mile，从A望C和B成60视角，从B望C和A成75视角，则BC()A10 n mile B n mileC5 n mile D5 n mile答案D解析由题意可知，CAB60，CBA75，所以C45，由正弦定理，得，所以BC5 n mile.4(2020安徽安庆期末质量监测)某快递公司在我市的三个门店A，B，C分别位于一个三角形的三个顶点处，其中门店A，B与门店C都相距a km，而门店A位于门店C
4、的北偏东50方向上，门店B位于门店C的北偏西70方向上，则门店A，B间的距离为()Aa km Ba km C.a km D2a km答案C解析如图所示，依题意知CACBa km，ACB5070120，AB30，由正弦定理，得，则ABa(km)，即门店A，B间的距离为a km.故选C.5一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是_m.答案50解析设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在ABC中，A60，ACh m，AB100 m，B
5、Ch m，根据余弦定理得(h)2h210022h100cos60，即h250h50000，即(h50)(h100)0，即h50(m)，故水柱的高度是50 m.核心考向突破考向一测量距离问题 例1(2019江西赣州模拟)如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15、北偏东45方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60方向，则A，B两处岛屿间的距离为()A20 海里 B40 海里C20(1) 海里 D40 海里答案A解析由题意可知，BDC904545，又BCD90，BCCD40(海里)在ADC中，ADC105，ACD90
6、6030，DAC45，由正弦定理可得AC20(1)(海里)在ABC中，由余弦定理，得AB20(海里)故选A.距离问题的解题思路这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解注意：基线的选取要恰当准确；选取的三角形及正、余弦定理要恰当即时训练1.(2019福建宁德第二次(5月)质量检查)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD80米，ADB135
7、，BDCDCA15，ACB120，则A，B两点间的距离为_米答案80解析在ACD中，DCA15，ADC150，DAC15.由正弦定理，得AC40()(米)，在BCD中，BDC15，BCD135，CBD30，由正弦定理，得，BC160sin1540()(米)，在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcosACB1600(84)160021600()()16001616004160020，解得AB80(米)，则A，B两点间的距离为80米考向二测量高度问题例2为了测量某新建的信号发射塔AB的高度，先取与发射塔底部B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得BDC60，BCD75，CD40
8、m，并在点C的正上方E处观测发射塔顶部A的仰角为30，且CE1 m，则发射塔高AB()A(201) m B(201) mC20 m D(401) m答案A解析如图，过点E作EFAB，垂足为F，则EFBC，BFCE1 m，AEF30.在BCD中，由正弦定理得，BC20(m)所以EF20 m，在RtAFE中，AFEFtanAEF2020(m)，所以ABAFBF201(m)故选A.处理高度问题的注意事项(1)在处理有关高度问题时，正确理解仰角、俯角是一个关键(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错(
9、3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题即时训练2.(2019湖北宜昌模拟)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m.答案100解析依题意有AB600 m，CAB30，CBA18075105，DBC30，DCCB.ACB45，在ABC中，由，得，解得CB300(m)，在RtBCD中，CDCBtan30100(m)则此山的高度CD100 m.考向三测量角度问题 例3(2019沈阳模拟)如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海
10、里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，求cos的值解在ABC中，AB40海里，AC20海里，BAC120，由余弦定理得，BC2AB2AC22ABACcos1202800BC20(海里)由正弦定理，得sinACBsinBAC.由BAC120，知ACB为锐角，则cosACB.由ACB30，得coscos(ACB30)cosACBcos30sinACBsin30.解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义 (2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关
11、键、最重要的一步 (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用即时训练3(2020商丘模拟)如图所示，一艘巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东15(BAC15)的方向，匀速向北航行20分钟后到达B处，测得山顶P位于北偏东60的方向，此时测得山顶P的仰角为60，已知山高为2千米(1)船的航行速度是每小时多少千米？(2)若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处南偏东多少度的方向？解(1)在BCP中，由tanPBC，得BC2，在ABC中，由正弦定理，得，即，所以AB2(1)，故船的航行速度是每小时6(1)千米(2)在BCD中，BD1，BC2，CBD60，则由余弦定理，得CD，在BCD中，由正弦定理，得，即，所以sinCDB，所以山顶位于D处南偏东45的方向