1、绝对值不等式1.绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立几何解释：用向量a，b分别替换a，b.当a与b不共线时，有|ab|a|b|，其几何意义为两边之和大于第三边；若a，b共线，当a与b同向时，|ab|a|b|，当a与b反向时，|ab|a|b|；由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式定理1的推广：如果a，b是实数，那么|a|b|ab|a|b|.(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|.当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立几何解释：在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点A，C
2、之间时，|ac|ab|bc|.当点B不在点A，C之间时：点B在A或C上时，|ac|ab|bc|；点B不在A，C上时，|ac|ab|bc|.应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值2.两类含绝对值不等式的证明技巧一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用|a|b|ab|a|b|，通过适当的添、拆项证明另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明3.(1)利用绝对值不等式求函数最值时，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式(2)求最值时要注
3、意等号成立的条件，它也是解题的关键4.含绝对值的综合问题，综合性强，所用到的知识多，在解题时，要注意应用绝对值不等式的性质、推论及已知条件，还要注意配方等等价变形，同时在应用绝对值不等式放缩性质求最值时，还要注意等号成立的条件5. 绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集：不等式a0a0a0|x|a(，a)(a，)(，0)(0，)R(2)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc；(3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“
4、零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想6含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则|a|b|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立(2)如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立1（2019上海）不等式的解集为_【答案】【解析】由得，即故答案为：2（2018上海）不等式的解集为_【答案】或【解析】由，解得：或，故不等式的解集是或，故答案为：或3（2017上海）不等式的解集为_【答案】【解析】，故不等式的解集是，故答案为：4（2020江苏）设，解不等式【解析】，或或，或或，不等式的解
5、集为5（2020新课标）已知函数（1）画出的图象；（2）求不等式的解集【解析】函数，图象如图所示（2）由于的图象是函数的图象向左平移了一个单位所得，（如图所示）直线向左平移一个单位后表示为，联立，解得横坐标为，不等式的解集为6（2020新课标）已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围【解析】（1）当时，当时，不等式化为，即，；当时，不等式化为，此时；当时，不等式化为，即，综上，当时，不等式的解集为或；（2）又，得或，解得：或综上，若，则的取值范围是，7（2019江苏）设，解不等式【解析】，或或，或或，不等式的解集为或8（2019新课标）已知（1）当时，求不等式的解集；（2）当
6、时，求的取值范围【解析】（1）当时，当时，恒成立，；当时，恒成立，；综上，不等式的解集为；（2）当时，在上恒成立；当时，不满足题意，的取值范围为：，9（2018新课标）已知（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立，求的取值范围【解析】（1）当时，由，或，解得，故不等式的解集为，（2）当时不等式成立，即，即，故的取值范围为，10（2018新课标）设函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围【解析】（1）当时，当时，解得，当时，恒成立，即，当时，解得，综上所述不等式的解集为，（2），解得或，故的取值范围，11（2017新课标）已知函数，（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式
7、的解集包含，求的取值范围【解析】（1）当时，是开口向下，对称轴为的二次函数，当时，令，解得，在上单调递增，在上单调递减，此时的解集为，；当，时，当时，单调递减，单调递增，且综上所述，的解集为，；（2）依题意得：在，恒成立，即在，恒成立，则只需，解得，故的取值范围是，12（2017新课标）已知函数（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集非空，求的取值范围【解析】（1），当时，解得；当时，恒成立，故；综上，不等式的解集为（2）原式等价于存在使得成立，即，设由（1）知，当时，其开口向下，对称轴方程为，；当时，其开口向下，对称轴方程为，；当时，其开口向下，对称轴方程为，（2）；综上，的取值范围为，强
8、化训练1（2020安庆模拟）已知函数，则不等式的解集为ABC，D【答案】C【解析】由，得，作出函数与的图象如图，当时，由，得，再令，当时，该函数为增函数，而（1），时，函数与的图象的交点的横坐标为1，由对称性可得，时，函数与的图象的交点的横坐标为，由图可知，不等式的解集为，故选2（2020内江三模）已知函数，函数的定义域为（1）求实数的取值范围；（2）求解不等式【解析】（1），的定义域为，恒成立，的取值范围为，（2），或或，或或，不等式的解集为，3（2020运城模拟）已知函数（1）若，求不等式的解集；（2）若的解集包含，求的取值范围【解析】（1）时，当时，等价于，解得，当时，等价于，该不等式不
9、成立，当时，等价于，解得所以不等式的解集为（2）的解集包含，即，时恒成立，即恒成立，即恒成立，即恒成立，所以，解得或所以的取值范围是4（2020东湖区校级模拟）已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，若的图象与轴围成的三角形面积等于6，求的值【解析】（1）当时，或或，或或，不等式的解集为（2）当时，当时，令，则或，又由，得，的图象与轴围成的三角形面积等于6，解得或（舍5（2020安徽模拟）已知函数，（1）当时，求不等式；（2）对任意关于的不等式总有解，求实数的取值范围【解析】（1）由已知，不等式即为，则或或解得或或，故不等式的解集为，（2）对任意关于的不等式总有解，而，当且仅当，即时取
10、得最小值又（当且仅当时取等号），故只需，解得，即实数的取值范围为6（2020碑林区校级模拟）已知，（1）当时，求不等式的解集；（2）求（2）（3）的最小值【解析】（1）当时，或，或，不等式的解集为（2）（2）（3），关于的函数（2）（3）在上单的递减，在上单的递增，当时，（2）（3）的最小值为7（2020松原模拟）已知函数（1）当时，解不等式；（2）若对任意成立，求实数的取值范围【解析】（1）当时，或或，不等式的解集为（2），又对任意成立，实数 的取值范围是，8（2020来宾模拟）设函数（1）求不等式的解集；（2）若的解集不为空集，求实数的取值范围【解析】（1），或或，或或，不等式的解集为或或
11、（2）的解集不为空集等价于恒成立，即恒成立， 或，或，的取值范围为，9（2020鼓楼区校级模拟）已知（1）若，求的最小值；（2）若，求实数的取值范围【解析】（1）若，则，故（2）；（2）令得，此时，所以，10（2020青羊区校级模拟）已知函数（1）解不等式；（2）已知，若成立，求实数的取值范围【解析】（1）由题知，当时，解得，当时，即，解得，当时，即，无解，综上可得（2）（当且仅当时取等号），令，时，要使不等式恒成立，只需，即11（2020东湖区校级模拟）已知函数（）当时，求不等式的解集；（）当时，若的图象与轴围成的三角形面积等于6，求的值【解析】（）当时，因为，所以当时，则，解得，即；当时，
12、则，无解；当时，则，解得，综上，即解集为：（）当时，当 时，当 时，当 时，综上，画出函数 的图象如图所示：则 与 轴围成的 三个顶点分别为：，由题设可得：，化简得，解得 或 不合题意，舍去故的值是12（2020让胡路区校级三模）已知函数（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围【解析】（1）由题意得当时，不等式可化为，解得，所以当时，不等式可化为，解得，所以当时，不等式可化为，解得，所以综上可得不等式的解集为（2）由（1）知，对于任意，且当时取等号，所以的最大值为2关于的不等式的解集不是空集，则解得，所以实数的取值范围为13（2020吉林四模）已知函数（1）求不等式的解集；（2）若直线与曲线仅有1个公共点，求的取值范围【答案】【解析】（1）当时，则，当时，则，当时，则，当时，则，故不等式的解集是；（2）作出的图象，如图示：直线过原点，当此直线经过点时，当此直线与直线平行时，结合的图象的对称性可得的取值范围是，
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