1、2021-2022学年江苏省常州二中高二（上）测试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合Mx|x24x0，Nx|mx5，若MNx|2xn，则m+n等于（）A9B8C7D62在ABC中，若A60，b2，SABC，则的值等于（）ABCD23现有四个函数：yx|sinx|，yx2cosx，yxex；的图象（部分）如图，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（）ABCD4已知函数f（x）2sin（2x+）（0，|）的部分图象如图所示，那么下列区间中使函数f（x）单调递减的是（）A，B，C，D，5设
2、点A（2，3），B（3，2），直线l过点P（1，2）且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是（）Ak1或k5B5k1C1k5Dk5或k16蹴鞠，如图所示，又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录已知某鞠的表面上有四个点A，B，C，D，满足ABCD3，BDAC4，ADBC5，那么该鞠的表面积为（）A55B60C25D687设M是ABC所在平面上的一点，且0，D是AC的中点，则的值为（）ABC1D28在A
3、BC中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c若2cos2+cosC，且ABC的面积为c2，则角C等于（）ABC或D或二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9已知直线l1：（a+1）x+ay+20，l2：ax+（1a）y10，则（）Al1恒过点（2，2）B若l1l2，则a2C若l1l2，则a21D当0a1时，l2不经过第三象限10下列说法正确的是（）A设x，yR，则“x2+y22”是“x1且y1”的必要不充分条件B是“cos0”的充要条件C“x3”是“|x|3”成立的充分条件D设R，则“|”是
4、“sin”的充分而不必要条件11下列四个选项中，值为的是（）Acos15BsinsinsinCDcos72cos60cos3612如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交棱AA1于点E，交棱CC1于点F，得四边形BFD1E，则以下结论中正确的是（）A四边形BFD1E面积的最小值为B四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形C四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1DD四边形BFD1E有可能是梯形三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知直线l过第一象限的点（m，n）和（1，5），直线l的倾斜角为135，则的最小值为 14已知A（1，
5、3），B（4，1），则与向量共线的单位向量为 15在ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a4，c6，C2A，那么cosA ，b 16已知复数z满足条件|z|2，那么|z+2+i|的最大值为 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知函数f（x）x2（a+）x+2（1）当a2时，解不等式f（lnx）0；（2）当a0时，解关于x的不等式f（x）018已知定义域为R的函数f（x）是奇函数（1）求yf（x）的解析式；（2）用定义证明yf（x）的单调性；（3）若（log4xlog2）+f（43a）0恒成立，求实数a的取值范围19已知直线l1：2xy
6、+10和l2：xy20的交点为P（1）若直线l经过点P且与直线l3：4x3y50平行，求直线l的方程；（2）若直线m经过点P且与x轴，y轴分别交于A，B两点，P为线段AB的中点，求OAB的面积（其中O为坐标原点）20在一个特定时段内，以点E为中心的7nmile以内海域被设为警戒水域，点E正北方向75nmile处有一个雷达观测站A某时刻测得一艘匀速直线行驶的船位于点A的北偏东45方向且与点A相距40nmile的位置B，经过45min，又测得该船已行驶到点A的北偏东45+（其中sin，090）方向且与点A相距10nmile的位置C（1）求该船的行驶速度（单位：nmile/h）；（2）若该船不改变航
7、行方向继续行驶，试判断它是否会进入警戒水域，并说明理由21如图，在ABC中，点D在边AB上，ACD，AD4DB4（1）若CD4，求边AC的长；（2）若B，求cos（2A+）的值22如图，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为菱形，AD2，DAB60，E为AB的中点（1）求证：平面PCD平面PDE；（2）若PDAD，求四面体PEBC的体积；求点E到平面PBC的距离参考答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合Mx|x24x0，Nx|mx5，若MNx|2xn，则m+n等于（）A9B8C7D6解：集合Mx|x24
8、x0x|0x4，Nx|mx5，MNx|2xn，m2，n4，m+n6故选：D2在ABC中，若A60，b2，SABC，则的值等于（）ABCD2解：A60，b2，SABCbcsinA2c，c2，a2b2+c22bccosA4+42224，a2，故abc，即ABC，故选：C3现有四个函数：yx|sinx|，yx2cosx，yxex；的图象（部分）如图，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（）ABCD解：yx|sinx|为奇函数，图象关于原点对称，当y0时，得x0或sinx0，即函数有很多零点，对应图象为第三个，yx2cosx为偶函数，图象关于y轴对称，为第二个图象，yxex
9、为非奇非偶函数，图象不对称，为第一个图象，是奇函数，函数的定义域为x|x0，为第四个图象，即正确的顺序是，故选：D4已知函数f（x）2sin（2x+）（0，|）的部分图象如图所示，那么下列区间中使函数f（x）单调递减的是（）A，B，C，D，解：由函数f（x）2sin（2x+）的部分图象知，（），解得T，所以22，解得1；根据五点法画图知，（，0）是第一个关键点，所以2+0，解得，所以f（x）2sin（2x）；令2k+2x2k+，kZ；解得k+xk+，kZ；k0时，得，是函数f（x）的单调递减区间故选：C5设点A（2，3），B（3，2），直线l过点P（1，2）且与线段AB相交，则l的斜率k的取值
10、范围是（）Ak1或k5B5k1C1k5Dk5或k1解：kPA5，kPB1直线l过点P（1，2）且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是k1或k5故选：D6蹴鞠，如图所示，又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录已知某鞠的表面上有四个点A，B，C，D，满足ABCD3，BDAC4，ADBC5，那么该鞠的表面积为（）A55B60C25D68解：ABCD，BDAC，ADBC，可以把A，B，C，D四点放到长方体
11、的四个顶点上，则该长方体的体对角线就是“鞠”的直径设该长方体的长、宽、高分别为x，y，z，“鞠”的半径为R，则（2R）2x2+y2+z2x2+y29，x2+z216，y2+z225，得S4R225故选：C7设M是ABC所在平面上的一点，且0，D是AC的中点，则的值为（）ABC1D2解：如图所示，D是AC之中点，延长MD至E，使得DEMD，四边形MAEC为平行四边形，（+），又，3（+）6，故选：B8在ABC中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c若2cos2+cosC，且ABC的面积为c2，则角C等于（）ABC或D或解：由2cos2+cosC，可得1+cos（AB）+cosC1+cos（AB）
12、cos（A+B）1+cosAcosB+sinAsinBcosAcosB+sinAsinB，可得sinAsinB，因为ABC的面积为c2absinC，可得sin2CsinAsinBsinC，由于sinC0，可得sinCsinAsinB，解得sinC，因为C（0，），所以C或，又因为cosC2cos22，所以C故选：B二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9已知直线l1：（a+1）x+ay+20，l2：ax+（1a）y10，则（）Al1恒过点（2，2）B若l1l2，则a2C若l1l2，则a21D
13、当0a1时，l2不经过第三象限解：对于选项A：直线l1的方程可化为：a（x+y）x2，令得：，直线l1恒过点（2，2），故选项A错误，对于选项B：若l1l2，则，且，解得a2，故选项B正确，对于选项C：若l1l2，则（a+1）a+a（1a）0，解得a0，故选项C错误，对于选项D：若直线l2不经过第三象限，当a1时，直线l2：x1，符合题意，当a1时，则，解得0a1，综上，0a1，故选项D正确，故选：BD10下列说法正确的是（）A设x，yR，则“x2+y22”是“x1且y1”的必要不充分条件B是“cos0”的充要条件C“x3”是“|x|3”成立的充分条件D设R，则“|”是“sin”的充分而不必要
14、条件解：对于A：当x1且y1时，x21且y21，故x2+y22成立，反之，当x2+y22时，xy1满足条件，故x2+y22”是“x1且y1”的必要不充分条件，故A正确；对于B：由可得cos0，但由cos0不一定得，如也满足cos0，故是cos0的充分不必要条件，故B错误；对于C：当x3时，满足x3，反之，若|x|3，则|x|3且x3，故x3”是“|x|3”成立的必要不充分条件，故C错误；对于D：由|，解得：0，故sin，由sin，得+2k+2k，kZ，推不出“|”，故D正确；故选：AD11下列四个选项中，值为的是（）Acos15BsinsinsinCDcos72cos60cos36解：对于A，
15、cos15（2cos2151）cos30，故错误；对于B，sinsinsinsincossin，故正确；对于C，原式4，故错误；对于D，cos72cos60cos36cos72cos36，故正确故选：BD12如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交棱AA1于点E，交棱CC1于点F，得四边形BFD1E，则以下结论中正确的是（）A四边形BFD1E面积的最小值为B四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形C四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1DD四边形BFD1E有可能是梯形解：对于选项A，当F点到线段BD1的距离最小时，此时平行四边形BFD1E的面
16、积最小，此时点E、F分别为AA1，CC1的中点，此时最小值为，因此A正确；对于选项B，四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形ABCD，因此B正确；对于选项C，当点E、F分别为AA1，CC1的中点时，EF平面BB1D1D，又EF平面BFD1E，则平面平面BFD1E平面BB1D1D，因此C正确；对于选项D，过BD作平面与正方体ABCDA1B1C1D1的截面为四边形BFD1E，因为平面ABB1A1平面DCC1D1，且平面BFD1E平面ABB1A1BE，平面BFD1E平面DCC1D1D1F，所以BED1F，同理D1EBF；故四边形BFD1E为平行四边形，因此D错误；故选：ABC三、填空题：
17、本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知直线l过第一象限的点（m，n）和（1，5），直线l的倾斜角为135，则的最小值为 解：直线l的倾斜角为135，直线l的斜率为ktan1351，又直线l过第一象限的点（m，n）和（1，5），1，m+n6，且m0，n0，（m+n）（+）（5+）（5+2），当且仅当，即n2m时，等号成立，的最小值为，故答案为：14已知A（1，3），B（4，1），则与向量共线的单位向量为或解：与向量共线的单位向量故答案为：或15在ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a4，c6，C2A，那么cosA，b4或5解：在ABC中，由正弦定理，即4，所以cosA，在AB
18、C中，由余弦定理得ab+c2bccosA，得16b+362b6，解得b4或5故答案为：；4或516已知复数z满足条件|z|2，那么|z+2+i|的最大值为 5解：因为|z|1，则复数z对应的点在以O（0，0）为圆心，2为半径的圆，又|z+2+i|表示复数z对应的点与复数对应的点M（，1）之间的距离，又OM，所以|z+2+i|的最大值为为|OM|+r3+25故答案为：5四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知函数f（x）x2（a+）x+2（1）当a2时，解不等式f（lnx）0；（2）当a0时，解关于x的不等式f（x）0解：（1）当a2时，f（lnx）l
19、n2x3lnx+2（lnx2）（lnx1）0，即1lnx2，即exe2；（2）f（x）x2（a+）x+20，（x）（xa）0，当0a时，a，不等式的解集为（，a，+），当a时，a，不等式的解集为R，当a时，a，不等式的解集为（，a，+），综上所述，当0a时，不等式的解集为（，a，+），当a时，不等式的解集为R，当a时，不等式的解集为（，a，+）18已知定义域为R的函数f（x）是奇函数（1）求yf（x）的解析式；（2）用定义证明yf（x）的单调性；（3）若（log4xlog2）+f（43a）0恒成立，求实数a的取值范围解：（1）定义域为R的函数f（x）是奇函数，可得f（0）0，即n10，可得n1
20、，f（x），f（x）f（x），即有f（x）为奇函数，所以f（x）；（2）证明：f（x）（1），设x1x2，则f（x1）f（x2）（），由x1x2，可得03x13x2，所以0，即f（x1）f（x2），则f（x）在R上为减函数；（3）f（log4xlog2）+f（43a）0恒成立即为f（log4xlog2）f（43a）f（3a4）恒成立，可得3a4log4xlog2恒成立，由ylog4xlog2log2x（3log2x）（log2x）2，当log2x即x2时，ylog4xlog2取得最大值，所以3a4，解得a即a的取值范围是（，+）19已知直线l1：2xy+10和l2：xy20的交点为P（1）若直
21、线l经过点P且与直线l3：4x3y50平行，求直线l的方程；（2）若直线m经过点P且与x轴，y轴分别交于A，B两点，P为线段AB的中点，求OAB的面积（其中O为坐标原点）解：（1）由，求得，可得直线l1：2xy+10和l2：xy20的交点为P（3，5）由于直线l3的斜率为，故过点P且与直线l3：4x3y50平行的直线l的方程为y+5（x+3），即 4x3y30（2）由题意可得，直线m的斜率存在且不为零，设直线m的斜率为k，则直线m的方程为 y+5k（x+3）由于直线m与x轴，y轴分别交于A，B两点，且 P（3，5）为线段AB的中点，故A（3，0），B（ 0，3k5），且 3，且5，求得k，故A
22、（6，0）、B（0，10）故OAB的面积为 OAOB6103020在一个特定时段内，以点E为中心的7nmile以内海域被设为警戒水域，点E正北方向75nmile处有一个雷达观测站A某时刻测得一艘匀速直线行驶的船位于点A的北偏东45方向且与点A相距40nmile的位置B，经过45min，又测得该船已行驶到点A的北偏东45+（其中sin，090）方向且与点A相距10nmile的位置C（1）求该船的行驶速度（单位：nmile/h）；（2）若该船不改变航行方向继续行驶，试判断它是否会进入警戒水域，并说明理由【解答】解析：（1）如图建立平面直角坐标系：则坐标平面中AB40，AC10，A（0，0），E（0
23、，75），|AB|cos454040，|AB|sin454040，所以B（40，40），又|AC|10，sin，090，设C（a，b），则a|AC|cos（）10（+）30，b|AC|sin（）10（）20，即C（30，20），所以|BC|106分所以BC两地的距离为10海里，所以该船行驶的速度为海里/小时；7分（2）直线BC的斜率为k2 所以直线BC的方程为：y402（x40），即2xy400，9分所以E（0，75）到直线BC：2xy400的距离为d77，10分所以直线BC不会与以E为圆心，以7为半径的圆相交，12分所以若该船不改变航行方向不会进入警戒水域答：该船行驶的速度为10 海里/小时
24、，若该船不改变航行方向不会进入警戒水域14分21如图，在ABC中，点D在边AB上，ACD，AD4DB4（1）若CD4，求边AC的长；（2）若B，求cos（2A+）的值解：（1）由余弦定理可得ACADCD+2ACCDcosACD，即AC（4）4+24AC，解得AC8，AC4（舍去），所以AC8；（2）在ABC中，B，ACD，BCDA，在ADC中，由正弦定理得，DC8sinA，在BCD中，由正弦定理得，DC，由得sinAsin（A），sinA（cosAsinA），即sinAcosAsin2A，sin2A+cos2A，即sin2A+cos2A，故sin（2A+），cos（2A+）cos（2A+）si
25、n（2A+）22如图，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为菱形，AD2，DAB60，E为AB的中点（1）求证：平面PCD平面PDE；（2）若PDAD，求四面体PEBC的体积；求点E到平面PBC的距离【解答】（1）证明：连接DB，PD底面ABCD，CD平面ABCD，PDCD，底面ABCD是菱形，DAB60，DAB为等边三角形，又E为AB的中点，ABDE，又ABCD，CDDE，又DEPDD，DE平面PDE，PD平面PDE，CD平面PDE，又CD平面PCD，平面PCD平面PED（2）解：ADBCAB2，E为AB的中点，BE1，SBCEBCBEsin120，PDAD2，VPEBCSBCEPD22ADBDCD2，PD2，PC4，PB4，又BC2，P到BC的距离为d，SPBCBCd，设E到平面PBC的距离为h，由VEPBCVPEBC得SPBCh2，h