1、 数 学 试 题 数学 必做题部分 （本部分满分160分，时间120分钟）参考公式：圆椎的体积公式：，其中是圆柱的底面积，是高一填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应位置上1已知集合，若，则 2设复数z满足，（为虚数单位），则复数的实部为 3函数的定义域为 4某商场在五一黄金周的促销活动中，对5月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为 万元结束Sk2 -5开始k2S100N输出k YkS第5题图5右图是一个算法流程图，则输出的值是 第4题图6从中随机取出两个不同的数，则其和为奇数的概
2、率为 7已知圆锥的母线长为，高为，则此圆锥的底面积和侧面积之比为 8已知函数，若曲线在点处的切线过原点，则实数 的值为 9已知双曲线的右焦点到其一条渐近线距离为3，则实数的值是 10已知函数（），且（），则 11设满足约束条件则目标函数的取值范围为 12已知等差数列的首项为，公差为，其前项和为若存在，使得，则实数的最小值为 13在区间上存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是 第14题图14如图，在等腰梯形中，点，分别为，的中点如果对于常数，在的四条边上，有且只有个不同的点使得成立，那么实数的取值范围为 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明
3、过程或演算步骤15（本小题满分14分）已知. （1）若，求角的值； （2）求的最小值.16（本小题满分14分）在三棱锥PABC中，D为AB的中点（1）若与BC平行的平面PDE交AC于点E，求证：点为的中点；（2）若PAPB，且PCD为锐角三角形，又平面PCD平面ABC，求证：ABPC第16题图17（本小题满分14分）第17题图某公园准备在一圆形水池里设置两个观景喷泉，观景喷泉的示意图如图所示，两点为喷泉，圆心为的中点，其中米，半径米，市民可位于水池边缘任意一点处观赏（1）若当时，求此时的值；（2）设，且 （i）试将表示为的函数，并求出的取值范围；（ii）若同时要求市民在水池边缘任意一点处观赏喷
4、泉时，观赏角度的最大值不小于，试求两处喷泉间距离的最小值18（本小题满分16分）已知椭圆：（）的离心率为，椭圆与轴交于两点，且（1）求椭圆的方程；（2）设点是椭圆上的一个动点，且点在轴的右侧，直线与直线交于两点，若以为直径的圆与轴交于，求点横坐标的取值范围及的最大值19(本小题满分16分)已知数列，其前项和为（1）若是公差为的等差数列，且也是公差为的等差数列，求数列的通项公式；（2）若数列对任意，且，都有，求证：数列是等差数列 20（本小题满分16分）已知函数，直线为曲线的切线为自然对数的底数（1）求实数的值；（2）用表示中的最小值，设函数，若函数为增函数，求实数的取值范围 数 学 试 题 数
5、学 附加题部分21【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修4- 1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，已知为的切线，为切点，直线交于点，过点作的第21A图垂线交于点，垂足为.证明：.B选修4- 2：矩阵与变换（本小题满分10分）若圆在矩阵对应的变换下变成椭圆，求矩阵的逆矩阵.C选修4 - 4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）设直线与轴的交点是，是曲线上一动点，求的最大值.D选修4 - 5：不等式选讲（本小题满分10分
6、）实数满足，求证：.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）ABCDA1B1C1第22题图如图，在直三棱柱中，已知，.是线段的中点. （1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求二面角的大小的余弦值. 23（本小题满分10分）已知非空集合满足若存在非负整数，使得当时，均有，则称集合具有性质设具有性质的集合的个数为（1）求的值；（2）求的表达式 数学试题参考答案与评分标准数学部分一填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应位置上1 23 3 412 511 6 7 8
7、9 或 10 11 12 13 14（，）二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（1）因为，且所以，. .2分 即，又，.4分 所以， .6分（2）因为，. .8分 所以 .12分 因为，所以， 故当时，取到最小值.14分16（1）平面PDE交AC于点E，即平面PDE平面ABCDE，而BC平面PDE，BC平面ABC，所以BCDE. .3分在ABC中，因为D为AB的中点，所以E为AC中点. .6分（2）因为PAPB，D为AB的中点，所以ABPD，. .8分因为平面PCD平面ABC，平面PCD平面ABCCD，在锐角PCD所在平面
8、内作POCD于点O，则PO平面ABC.11分因为AB平面ABC，所以POAB，又POPDP，PO，PD平面PCD，则AB平面PCD，又PC平面PCD，所以ABPC. . .14分17（1）在中，由正弦定理得，易得3分（2）（i）易知，故，5分又因为，即，解得，即，；7分（ii）当观赏角度的最大时，取得最小值，由余弦定理可得11分由题意可知，解此不等式得，经验证，即13分答：（1）此时；（2）（i）所得函数关系式为，；（ii）两处喷泉间距离的最小值为14分18（1）由题意可得，3分 得， 解， 椭圆的标准方程为.5分（2）设， 所以，直线的方程为，同理得直线的方程为， 直线与直线的交点为， 直线
9、与直线的交点为，线段的中点，10分所以圆的方程为，令，则， 因为，所以 ， 所以，12分因为这个圆与轴相交,该方程有两个不同的实数解，所以，解得14分设交点坐标，则（），所以该圆被轴截得的弦长为最大值为216分19（1）设，则，当时， ， ， 联立消去，得 得：，则，将代入解出（舍去）， 2分从而解得，所以. 4分此时，对于任意正整数满足题意. 6分（2）因为对任意，都有， 在中取， 8分同理，10分由知，,即，即， 12分中令，从而，即， 14分所以，数列成等差数列. 16分20（1）对函数求导得1分设直线与曲线切于点，则，解得所以的值为14分（2）记函数，下面考察函数的符号对函数求导得，5
10、分当时，恒成立6分当时，从而8分所以在内恒成立，故在内单调递减因为，所以又曲线在区间上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知，存在唯一的实数，使所以，；，所以从而所以12分由函数为增函数，且曲线在上连续不断知在，恒成立（1）当时，在内恒成立，即在恒成立记，则，当变化时，变化情况列表如下：0极小值所以故“在恒成立”只需，即14分（2）当时，当时，在内恒成立，综合（1）（2）知，当时，函数为增函数故实数的取值范围是16分21A选修4- 1：几何证明选讲（本小题满分10分）连接，因为是圆的切线，所以，又因为，所以，所以， 即， 5分因为为圆的直径，即，所以即，10分B设点为圆C：上任意一
11、点，经过矩阵A变换后对应点为，则，所以因为点在椭圆：上，所以，又圆方程为，故，即，5分又，所以，所以，8分所以10分C曲线的极坐标方程可化为. 又，所以曲线的直角坐标方程为. 4分将直线的参数方程化为直角坐标方程，得，7分令，得，即点的坐标为(2，0). 又曲线的圆心坐标为(1，0)，半径，则， 所以.10分D证明：， 3分， 6分，9分当且仅当时，不等式等号成立三个不等式相加可得，10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22因为在直三棱柱中，所以分别以、所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则,因为是的
12、中点，所以，2分（1）因为，设平面的法向量，则，即，取，所以平面的法向量，而，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为；5分（2），设平面的法向量，则，即，取，平面的法向量，所以，二面角的大小的余弦值10分23. （1）当时，具有性质，对应的分别为，故3分（2）可知当时，具有性质的集合的个数为，则当时，其中表达也具有性质的集合的个数，下面计算关于的表达式，此时应有，即，故对分奇偶讨论， 当为偶数时，为奇数，故应该有，则对每一个，和必然属于集合，且和，和共有组数，每一组数中的两个数必然同时属于或不属于集合，故对每一个，对应的具有性质的集合的个数为，所以， 当为奇数时，为偶数，故应该有，同理，综上，可得又，由累加法解得即10分
