1、第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数考试要求 1.了解任意角的概念和弧度制的概念；2.能进行弧度与角度的互化；3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.知 识 梳 理 1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着_从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)分类按旋转方向不同分为_、_、_.按终边位置不同分为_和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合 S|k360，kZ.端点正角负角零角象限角2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于_的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式 角 的弧度数公式|lr(弧
2、长用 l 表示)角度与弧度的换算1 180 rad；1 rad_弧长公式弧长 l_扇形面积公式S_半径长180|r12lr12|r23.任意角的三角函数(1)定义：设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么 sin _，cos _，tan _.(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在 x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段 MP，OM，AT 分别叫做角 的_，_和_.yxyx(x0)正弦线余弦线正切线常用结论与微点提醒 1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.3.角度制与弧度制可利用
3、180 rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用.4.区分两个概念(1)第一象限角未必是锐角，但锐角一定是第一象限角.(2)不相等的角未必终边不相同，终边相同的角也未必相等.2.若 0，2，则 tan sin.诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)小于90的角是锐角.()(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.()(3)角的三角函数值与其终边上点P的位置无关.()(4)若为第一象限角，则sin cos 1.()解析(1)锐角的取值范围是0，2.(2)第一象限角不一定是锐角.答案(1)(2)(3)(4)A.5B.5C.5D.8 2.(新教材
4、必修第一册 P180T3 改编)已知角 的终边过点 P(12，m)，cos 1213，则m 的值为()解析 由三角函数的定义可知 cos 12（12）2m21213，解得 m5.答案 C 3.(老教材必修4P4例1改编)在7200范围内，所有与角45终边相同的角构成的集合为_.解析 所有与角终边相同的角可表示为：45k360(kZ)，则令72045k3600(kZ)，得765k36045(kZ).解得k2或k1，675或315.答案 675，315 4.(2020 唐山模拟)已知角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点A(2sin，3)(sin 0)，则cos()A.12B.12C.
5、32D.32解析 由三角函数定义得 tan 32sin，即sin cos 32sin，得 3cos 2sin22(1cos2)，解得 cos 12或 cos 2(舍去).故选 A.答案 A 5.(2020九江一模)若sin 0，则角是()A.第一象限角B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角 解析 1cos 1，且sin(cos)0，0cos 1，又sin 0，角为第四象限角，故选D.答案 D 6.(2019日照一中质检)若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角(0，)的弧度数为_.解析 设圆半径为 r，则其内接正三角形的边长为 3r，所以 3rr，所以 3.答案 3考点一
6、角的集合表示及象限角的判定【例 1】(1)设集合 Mx|xk218045，kZ，Nx|xk418045，kZ，那么()A.MNB.MNC.NMD.MN(2)若角 是第二象限角，则2是第_象限角.(3)终边在直线 y 3x 上，且在2，2)内的角 的集合为_.解析(1)由于 M 中，xk218045k9045(2k1)45，2k1 是奇数；而N 中，xk418045k4545(k1)45，k1 是整数，因此必有 MN.(2)是第二象限角，22k2k，kZ，4k22k，kZ.当 k 为偶数时，2是第一象限角；当 k 为奇数时，2是第三象限角.(3)终边在直线 y 3x 上的角 的集合为|3k，又由
7、 2，2)，即23k2，解得 k2，1，0，1，故满足条件的角 构成的集合为53，23，3，43.答案(1)B(2)一或三(3)53，23，3，43规律方法 1.确定 k，k(kN*)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角 的范围，再写出 k 或k的范围，然后根据 k 的可能取值讨论确定 k 或k的终边所在位置.2.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需的角.【训练 1】(1)下列与角94 的终边相同的角的表达式中正确的是()A.2k45(kZ)B.k36094(kZ)C.k360315(kZ)D.k5
8、4(kZ)(2)已知角 的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角 用集合可表示为_.解析(1)与94 的终边相同的角可以写成 2k94(kZ)，但是角度制与弧度制不能混用，排除 A、B，易知 D 错误，C 正确.(2)在0，2)内，终边落在阴影部分角的集合为4，56，所以，所求角的集合为|2k42k56，kZ.答案(1)C(2)|2k40且a1)的图象过定点P，且角的终边过点P，则sin cos 的值为()A.75B.65C.55D.35 5答案 D 解析 因为函数 yloga(x3)2 的图象过定点 P(4，2)，且角的终边过点 P，设 P(x，y)，所以 x4，y2，r2 5，
9、所以 sin 55，cos 2 55，所以 sin cos 55 2 55 35 5.故选 D.角度2 由三角函数值求角或参数【例 32】(1)(2019北师大附中期中考试)在平面直角坐标系中，角 的顶点在原点，始边在 x 轴的正半轴上，角 的终边经过点 Mcos 8，sin 8，且 02，则()A.8B.38C.58D.78(2)已知角 的终边过点 P(8m，6sin 30)，且 cos 45，则 m 的值为()A.12B.32C.12D.32 解析(1)因为角 的终边经过点 Mcos 8，sin 8，且 00，解得 m12.答案(1)D(2)C 角度3 三角函数值的符号【例 33】(1)使
10、 lg(sin cos)cos 有意义的 为()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角(2)若角 的终边落在直线 yx 上，则 sin|cos|sin|cos _0(填“”“0且cos 0，由sin cos 0，知为第一、三象限角，又由cos 0，即cos 0知为第二、三象限角或在x轴的负半轴上，所以可知为第三象限角.故选C.答案(1)C(2)(2)因为角 的终边落在直线 yx 上，所以角 的终边位于第二或第四象限.当角 的终边位于第二象限时，sin|cos|sin|cos sin cos sin cos 0；当角 的终边位于第四象限时，sin|cos|sin|cos sin
11、 cos sin cos 0.所以 sin|cos|sin|cos 0.规律方法 1.三角函数定义的应用(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.【训练3】(1)(角度1)(2020荆门龙泉中学月考)已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边上有一点(3a，4a)(a0)，则sin 2()A.2425B.45C.725D.2425(2)(角度 2)已知角 的终边经过点 P(4，m)，且 sin 35，则 m 等于()A.3 B.3 C.163D.3(3)(角度 3)若 sin tan 0，且cos tan 0 时，sin 4a5a45，cos 3a5a35，则 sin 22sin cos 2425；当 a0，解得 m3.(3)由 sin tan 0 可知 sin，tan 异号，则 为第二或第三象限角；由cos tan 0 可知 cos，tan 异号，则 为第三或第四象限角.综上可知，为第三象限角.答案(1)A(2)B(3)C
