1、河南省名校联盟2020-2021学年高二下学期理数六月联考试卷一、单选题（共12题；共60分）1.已知集合 A=x|log2x1 ， B=x|x-1|0 ”是“ sinx0 ”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率为（ ） A.35B.23C.34D.4156.如图，图象对应的函数解析式可能是（ ） A.f(x)=ln(x+x2+1)x2-cosxB.f(x)=sinx(4x-4-x)x2+cosxC.f(x)=(
2、x-1x)cos(2x)D.f(x)=sinx+4x-14x+17.已知1，a，b，4成等差数列，1，c，d, e，4成等比数列，则 b-ad （ ） A.14B. 12C.12D.12 或 128.令 (x+1)2020=a1+a2x+a3x2+a2020x2019+a2021x2020(xR) ，则 a2+2a3+2019a2020+2020a2021= （ ） A.201922019B.201922020C.202022019D.2020220209.3男3女六位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的不同排法种数是（ ） A.576B.432C.388D.21610.-22(4
3、-x2+x2)dx= （ ） A.2B.8C.2+163D.2+16311.已知实数a ， b ， c满足 a=613 ， b=log78+log5649 ， 7b+24b=25c ，则a ， b ， c的大小关系是（ ） A.bacB.cbaC.bcaD.cab12.若函数 f(x)=(2ax+lnxx)lnx-(a-1)x3 有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ） A.(0,4e2+14e2-4e)B.(1,4e2+14e2-4e)C.(0,1)(1,4e2+14e2-4e)D.(0,1)4e2+14e2-4e二、填空题（共4题；共20分）13.已知单位向量 a,b 满足 |b-2a
4、|=5 ，则 a,b= _. 14.设变量 x,y 满足约束条件 x+y-20,x-y-20,y2, ，则目标函数 z=x+2y 的最小值为_ 15.已知三棱锥 P-ABC 中， BAC=90 ， AB=AC=2 ， PB=PC ， PA=14 ， O1 为 ABC 的外接圆的圆心， cosPAO1=277 ，则三棱锥 P-ABC 的外接球的表面积为_. 16.已知点 M 为双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a0,b0) 在第一象限上一点，点 F 为双曲线 C 的右焦点， O 为坐标原点，4 |MO|=4|MF|=7|OF| ，则双曲线 C 的渐近线方程为_，若MFMO分别交双曲线 C 于
5、P,Q 两点，记直线 PM 与 PQ 的斜率分别为 k1,k2 ，则 k1k2= _ 三、解答题（共7题；共70分）17.如图，在四边形 ABCD 中， D=2B ，且 AD=2,CD=6,cosB=33 . （1）求 ACD 的面积； （2）若 BC=62 ，求 AB 的长. 18.在2021年高考体检中，某校随机选取了20名男生，测得其身高数据如下(单位：cm) 序号12345678910身高168167165186abcd178158序号11121314151617181920身高166178175169172177182169168176由于统计时出现了失误，导致5，6，7，8号的身高
6、数据丢失，先用字母a，b，c，d表示，但是已知这4个人的身高都在(160,182)之间(单位：cm，且这20组身高数据的平均数为x=172，标准差为s=7.（1）为了更好地研究本校男生的身高数据，决定用这20个数据中在区间(x-2s,x+2s)以内的数据，重新计算其平均数与方差，据此估计，高校男生身高的平均值与方差分别为多少(方差保留两位小数)？（2）使用统计学的观点说明，(x-2s,x+2s)以内的数据与原数据对比，有什么特点(主要用平均数与方差进行说明)？(参考公式s2=1ni=1n(xi-x)2=1n(i=1nxi2-nx2) ) 19.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD
7、为直角梯形，其中 AD/BC,AD=3,AB=BC=2 ， PA 平面 ABCD ，且 PA=3 ，点 M 在棱 PD 上， DM=2MP ，点 N 为 BC 中点. （1）证明：直线 MN/ 平面 PAB ； （2）求二面角 C-PD-N 的正弦值. 20.已知点 P(-2,y0) 为抛物线 C:x2=2py(p0) 上一点，F为抛物线C的焦点，抛物线C在点P处的切线与y轴相交于点Q ， 且 FPQ 面积为2. （1）求抛物线C的方程； （2）设直线l经过 (2,5) 交抛物线C于M ， N两点(异于点P)，求证： MPN 的大小为定值. 21.已知函数 f(x)=lnx+-2xx+1(R)
8、 （1）讨论函数 f(x) 的单调性； （2）当 =2 时，求证： f(x)0 在 (1,+) 上恒成立； （3）求证：当 x0 时， (ex-1)ln(x+1)x2 22.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 x=1-22t,y=1+22t. （ t 为参数）.在以原点 O 为极轴， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆 C 的方程为 =4cos . （1）写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程； （2）若点 P 坐标为 (1,1) ，圆 C 与直线 l 交于 A,B 两点,求 |PA|+|PB| 的值. 23.已知函数 f(x)=|x+1|+2|x-a| . （1）
9、当 a=2 时，求 f(x) 的最小值. （2）若函数在区间 -1,1 上递减，求 a 的取值范围. 答案解析部分一、单选题（共12题；共60分）1.已知集合 A=x|log2x1 ， B=x|x-1|1=x|x2 ， B=x|x-1|2=x|-1x-1=(-1,+)故答案为：D 【分析】根据题意由对数函数的单调性即可求出不等式的解集，由此得到集合A，再由绝对值不等式的解法求解出不等式的解集，由此得到集合B，结合并集的定义即可得出答案。2.已知 i 为虚数单位，若 z=1cos+isin ，则 z 的共轭复数 z= （ ） A.cos-isinB.sin-icosC.sin+icosD.cos
10、+isin【答案】 D 【考点】复数的基本概念，复数代数形式的混合运算 【解析】【解答】 z=1cos+isin=cos-isin(cos+isin)(cos-isin)=cos-isin ， 则 z=cos+isin故答案为：D 【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合共轭复数的概念即可得出答案。3.已知椭圆 x210-m+y2m-2=1 的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（ ） A.3B.5C.7D.8【答案】 D 【考点】椭圆的简单性质 【解析】【解答】解：由题意知 c=2,a2=m-2,b2=10-m ， m-2-10+m=4 ， m=8故答案为：D. 【分析】由椭圆的性质，
11、结合椭圆里a、b、c的关系计算出m的值即可。4.“ x0 ”是“ sinx0 ”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 D 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，正弦函数的单调性 【解析】【解答】当 x=32 时，满足 x0 ，但是 sin32=-10 ； 当 x=-32 时， sin(-32)=10 ，满足 sinx0 ，但不满足 x0 ，所以“ x0 ”是“ sinx0 ”的既不充分也不必要条件.故答案为：D 【分析】由正弦函数的单调性，结合题意以及充分和必要条件的定义即可得出答案。5.10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲乙两人先后参
12、加抽奖活动，每人从中不放回抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率为（ ） A.35B.23C.34D.415【答案】 B 【考点】等可能事件的概率 【解析】【解答】根据题意，10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲先抽，并且中奖， 此时还有9张奖券，其中3张为“中奖”奖券，则在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率 P=69=23 .故答案为：B. 【分析】根据题意首先求出甲先抽，并且中奖的概率由此即可求出在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率。6.如图，图象对应的函数解析式可能是（ ） A.f(x)=ln(x+x2+1)x2-cosxB.f(x)=sinx(4x-4-x)x2+cosxC
13、.f(x)=(x-1x)cos(2x)D.f(x)=sinx+4x-14x+1【答案】 A 【考点】函数奇偶性的性质，函数的图象 【解析】【解答】对B， f(-x)=sin(-x)(4-x-4x)(-x)2+cos(-x)=sinx(4x-4-x)x2+cosx=f(x) ，故 f(x) 是偶函数，不符合图象，B不符合题意； 对C，由解析式可知 x0 ，不符合图象，C不符合题意；对D，当 x(0,) 时， sinx0,4x-10,4x+10 ，则 f(x)0 ，与图象不符，D不符合题意.故答案为：A. 【分析】根据题意首先求出函数的定义域再由偶函数的定义f(-x)=f(x)即可判断出该函数为偶
14、函数，由偶函数图象的性质得出图像关于y轴对称由此排除B，再由特殊点法代入数值验证即可排除选项C，由指数函数的图象以及性质整理即可得到选项D错误；此得到答案。7.已知1，a，b，4成等差数列，1，c，d, e，4成等比数列，则 b-ad （ ） A.14B. 12C.12D.12 或 12【答案】 C 【考点】等差数列的通项公式，等比数列的性质 【解析】【解答】因为1，a，b，4成等差数列，所以公差为 -4+13=-1 ，所以 b-a=-1 ；因为1，c，d, e，4成等比数列，所以 d2=(-1)(-4)=4 ， c2=-d ，所以 d=-2 所以 b-ad = 12 【分析】首先由等差数列的
15、通项公式整理求出b-a=-1 ， 再由等比数列的项的性质整理即可得出c2=-d由此计算出d的值，由此即可得出答案。8.令 (x+1)2020=a1+a2x+a3x2+a2020x2019+a2021x2020(xR) ，则 a2+2a3+2019a2020+2020a2021= （ ） A.201922019B.201922020C.202022019D.202022020【答案】 C 【考点】导数的运算，二项式定理的应用 【解析】【解答】解：由题可知， ar+1=C2020r ，对 (x+1)2020=a1+a2x+a3x2+a2020x2019+a2021x2020(xR) 等式， 两边分
16、别求导可得： 2020(1+x)2019=a2+2a3x+3a4x2+2020a2021x2019 ，所以， 2020(1+x)2019=a2+2a3x+3a4x2+2020a2021x2019令 x=1 ，有： 202022019=a2+2a3+2019a2020+2020a2021 ，故答案为：C 【分析】根据题意首先对函数求导整理化简，再对x赋值计算出结果即可。9.3男3女六位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的不同排法种数是（ ） A.576B.432C.388D.216【答案】 B 【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】【解答】由题意，先选2个女生捆绑看做一个整体：
17、A32=6 ，然后将男生全排列再将女生插空： A33A42=612=72 ， 所以不同的排法有 672=432 种.故答案为：B. 【分析】先选2个女生捆绑看做整体，然后将男生全排列以后再将女生插空即可。10.-22(4-x2+x2)dx= （ ） A.2B.8C.2+163D.2+163【答案】 D 【考点】定积分，定积分在求面积中的应用 【解析】【解答】由 -22(4-x2+x2)dx=-224-x2dx+-22x2dx ， 根据定积分的几何意义，可得 -224-x2dx 表示以原点为圆心，半径为2的上半圆的面积，所以 -224-x2dx=1222=2 ，又由 -22x2dx=13x3|-
18、22=1323-(-2)3=163 ，所以 -22(4-x2+x2)dx=2+163 .故答案为：D. 【分析】首先整理化简再由定积分的几何意义即可得出-224-x2dx表示以原点为圆心，半径为2的上半圆的面积，结合定积分的运算性质计算出答案即可。11.已知实数a ， b ， c满足 a=613 ， b=log78+log5649 ， 7b+24b=25c ，则a ， b ， c的大小关系是（ ） A.bacB.cbaC.bcaD.cab【答案】 C 【考点】对数的运算性质，对数函数的单调性与特殊点 【解析】【解答】由题意得， a=61360=1 ，故 2a1 ； b=log78+log564
19、9=log756-1+2log567=log756+2log756-1 ，因 log756log749=2 ，根据对勾函数得 log756+2log7562+22=3 ，因此 b3-1=2 ；由勾股数可知 72+242=252 ，又因 7b+24b=25c 且 b2 ，故 bc2 ；因此 bca .故答案为：C. 【分析】首先由已知条件整理得到2a1 ， 结合导数的运算性质整理求出b=log756+2log756-1 ， 再由对数函数的单调性即可得到log756+2log7562+22=3 ， 由此得出b3-1=2 ， 结合勾股定理计算出b2 ， 由此得到答案。12.若函数 f(x)=(2ax
20、+lnxx)lnx-(a-1)x3 有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ） A.(0,4e2+14e2-4e)B.(1,4e2+14e2-4e)C.(0,1)(1,4e2+14e2-4e)D.(0,1)4e2+14e2-4e【答案】 B 【考点】函数的零点与方程根的关系，函数的零点 【解析】【解答】f(x)=(2ax+lnxx)lnx-(a-1)x3，则f(1)=1-a . 令f(x)=0，可得2a+lnxx2-(a-1)x2lnx=0，令t=lnxx2，则2a+t-a-1t=0，即t2+2at-(a-1)=0，设h(t)=t2+2at-(a-1)，构造函数g(x)=lnxx2，其中x0
21、且x1，则g(x)=1-2lnxx3，令g(x)=0，得x=e，列表如下：x(0,1)(1,e)e(e,+)g(x)+0-g(x)单调递增单调递增极大值12e单调递减函数t=g(x)（x0且x1）的图象如下图所示：由于函数y=f(x)有三个不同的零点，而关于t的二次方程t2+2at-(a-1)=0至多有两个根.当关于t的二次方程t2+2at-(a-1)=0有两根时，设这两根分别为t1、t2，则t10，0t212e，此时，h(0)=-(a-1)0，解得1a0且x1时无实根，g(x)=-2只有一个实根，此时，函数y=f(x)只有两个零点，不合乎题意.综上所述，实数a的取值范围是(1,4e2+14e
22、2-4e) .故答案为：B.【分析】根据题意由f(x)=0求出2a+lnxx2-(a-1)x2lnx=0，令t=lnxx2整理得到t2+2at-(a-1)=0，构造函数h(t)=t2+2at-(a-1)令g(x)=lnxx2，对其求导结合导函数的性质即可得出函数g(x)的单调性，由函数的单调性以及零点的定义结合根的情况，即可得到1a0,b0) 在第一象限上一点，点 F 为双曲线 C 的右焦点， O 为坐标原点，4 |MO|=4|MF|=7|OF| ，则双曲线 C 的渐近线方程为_，若MFMO分别交双曲线 C 于 P,Q 两点，记直线 PM 与 PQ 的斜率分别为 k1,k2 ，则 k1k2=
23、_ 【答案】y=15x；15 【考点】直线的斜率，双曲线的简单性质 【解析】【解答】设 M(x0，y0) ，则 4|MO|=4|MF|=7|OF|=7c ， 则 x0=c2 ， y0=|MO|2-(|OF|2)2=35c4 ，即 M(c2，35c4) ，将其代入双曲线方程得： c24a2-45c216b2=1 ，即 4b2c2-45a2c2=16a2b2 ，又 c2=a2+b2 ， 4b2a2+4b4-45a4-45a2b2=16a2b2,45a4+57a2b2-4b4=0 ，(15a2-b2)(3a2+4b2)=0 , 15a2=b2 ， ba=15 ,渐进线方程为 y=15x ；设 P(x
24、1，y1) ，又 Q(-x0，-y0) ，则 k1k2=y1-y0x1-x0y1+y0x1+x0=y12-y02x12-x02 ，将点 P 、 M 的坐标分别代入双曲线方程得 x12a2-y12b2=1x02a2-y02b2=1 ，两式作差得： y12-y02x12-x02=b2a2=15 ，故 k1k2=15 .故答案为： y=15x ；15. 【分析】 根据题意设出点M(x0，y0)由已知得M(c2，35c4) 将其代入双曲线方程得4b2c2-45a2c2=16a2b2 ， 利用c2=a2+b2的关系，化简整理，分解因式可求得ba=15 ， 进而得到新近线的方程；设P(x1，y1) ， 又
25、Q(-x0，-y0) ， 则表示k1k2=y1-y0x1-x0y1+y0x1+x0=y12-y02x12-x02 ， 利用代点平方差法求解即得结果。三、解答题（共7题；共70分）17.如图，在四边形 ABCD 中， D=2B ，且 AD=2,CD=6,cosB=33 . （1）求 ACD 的面积； （2）若 BC=62 ，求 AB 的长. 【答案】 （1）cosB=33,0B0) 上一点，F为抛物线C的焦点，抛物线C在点P处的切线与y轴相交于点Q ， 且 FPQ 面积为2. （1）求抛物线C的方程； （2）设直线l经过 (2,5) 交抛物线C于M ， N两点(异于点P)，求证： MPN 的大小
26、为定值. 【答案】 （1）据题意可知 P(-2,2p)由 x2=2py 得： y=x22p ，求导得： y=xp所以抛物线C在点P处的切线方程为： y-2p=-2p(x+2)令 x=0 得： y=-2p ，即 Q(0,-2p) ，又 F(0,p2)所以 SFPQ=12(p2+2p)2=2 ，解得 p=2所以抛物线C的方程为 x2=4y（2）据题意知直线l斜率存在，设为k，从而直线l方程为 y=k(x-2)+5设 M(x1,x124) ， N(x2,x224)由 y=k(x-2)+5x2=4y 得： x2-4kx+8k-20=0所以 x1+x2=4k ， x1x2=8k-20因为 PM=(x1+
27、2,x124-1) ， PN=(x2+2,x224-1)所以 PMPN=x1x2+2(x1+x2)+4+x12x2216-x12+x224+1=x1x2+2(x1+x2)+x12x2216-(x1+x2)2-2x1x24+5=16k-15+4k2-20k+25-(4k2-4k+10)=0所以 PMPN所以 MPN 的大小为90，是一个定值.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程，数量积的坐标表达式，抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】 (1)由导数的几何意义，求得P处切线的斜率，可得切线的方程，求得P的坐标和Q的坐标，运用三角形的面积公式，可得所求方程； (2根据题意设
28、直线的方程为y=k(x-2)+5，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简计算可得定值.21.已知函数 f(x)=lnx+-2xx+1(R) （1）讨论函数 f(x) 的单调性； （2）当 =2 时，求证： f(x)0 在 (1,+) 上恒成立； （3）求证：当 x0 时， (ex-1)ln(x+1)x2 【答案】 （1）法1：函数 f(x) 的定义域为 (0,+) ， f(x)=1x-+2(x+1)2=x2-x+1x(x+1)2g(x)=x2-x+1 ， =2-4当 0 在区间 (0,+) 成立，故 f(x)0 ，即 f(x) 在 (0,+) 单增；当 -22 时， 0
29、 ， g(x)0 在区间 (0,+) 成立，故 f(x)0 ， f(x) 在 (0,+) 单增；当 2 时， 0 ，设两根为 x10 ， x2=+2-420当 0xx2 时， g(x)0 ， f(x)0 ，当 x1xx2 时， g(x)0 ， f(x)2 时， f(x) 在 (-2-42,+2-42) 单减，在 (0,-2-42) 和 (+2-42,+) 单增法2：函数 f(x) 的定义域为 (0,+) ， f(x)=1x-+2(x+1)2=x2-x+1x(x+1)2=x+1x-(x+1)2 x+1x2 ，当 2 时， f(x)0 ， f(x) 在 (0,+) 上是增函数；当 2 时， f(x
30、)0 ，解得 -2-42x0 ，解得 0x+2-42 f(x) 在 (-2-42,+2-42) 单减，在 (0,-2-42) 和 (+2-42,+) 单增（2）当 =2 时， f(x) 在 (0,+) 单增，故 f(x) 在 (1,+) 单增， 所以 f(x)f(1)=0 所以 f(x)0 在 (1,+) 上恒成立；（3）法1：由（2）知，当 x1 时， f(x)0 ，即 lnx2x-2x+1 ，当 x0 时， ln(x+1)2xx+2 要证 (ex-1)ln(x+1)x2 ，只需证 (ex-1)2xx+2x2 ，只需证 ex12x2+x+1 令 h(x)=ex-12x2-x-1(x0) ，
31、h(x)=ex-x-1 ，h(x)=ex-10 ， h(x)h(0)=0 ， h(x) 在 (0,+) 单增， h(x)h(0)=0 即 ex12x2+x+1 法2：要证 (ex-1)ln(x+1)x2 ，只需证 ln(x+1)xxex-1 ，只需证 ln(x+1)xln(ex-1)+1ex-1 设 g(x)=ln(x+1)x ，只需证 g(x)g(ex-1) 则 g(x)=xx+1-ln(x+1)x2=x-(x+1)ln(x+1)(x+1)x2令 t(x)=x-(x+1)ln(x+1) ，则 t(x)=-ln(x+1)0 ， t(x)t(0)=0 ，g(x)0 ， g(x) 在 (0,+)
32、单减故只需证 x0 ， k(x)k(0)=0 所以原不等式成立.【考点】函数单调性的性质，利用导数研究函数的单调性，不等式的综合 【解析】【分析】 (1)由导数的几何意义，求得P处切线的斜率，可得切线的方程，求得P的坐标和Q的坐标，运用三角形的面积公式，可得所求方程； (2)设直线的方程为y=k(x-2)+5，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简计算可得定值.22.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 x=1-22t,y=1+22t. （ t 为参数）.在以原点 O 为极轴， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆 C 的方程为 =4cos . （1）写出
33、直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程； （2）若点 P 坐标为 (1,1) ，圆 C 与直线 l 交于 A,B 两点,求 |PA|+|PB| 的值. 【答案】 （1）消去参数t可得直线 l 的普通方程为： x+y-2=0 ， 极坐标方程即： 2=4cos ，则直角坐标方程为： x2+y2=4x ，据此可得圆 C 的直角坐标方程为： (x-2)2+y2=4（2）将 x=1-22t,y=1+22t. 代入 (x-2)2+y2=4 得： t2+22t-2=0得 t1+t2=-220,t1t2=-20 ，则 |PA|+|PB|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=4【考点】圆的标准方
34、程，点的极坐标和直角坐标的互化，参数方程化成普通方程，直线的参数方程 【解析】【分析】(1)根据题意首先求出直线的普通方程，再由极坐标方程转化为圆的标准方程整理即可得出答案。 (2)首先整理化简并把直线与圆的方程联立，得到t2+22t-2=0结合韦达定理即可求出t1+t2=-220,t1t2=-22)-x+5(-1x2)-3x+3(x2 时， f(x)f(2)=32-3=3 ，当 -1x2 时， f(x)f(2)=-2+5=3 ，当 xf(-1)=-3(-1)+3=6 ，所以函数 f(x) 的最小值3.（2）解：因为函数 f(x)=|x+1|+2|x-a|当 aa)-x+2a+1(-1xa)-3x+2a-1(x-1) ，因为函数在区间 -1,1 上递减，则 a1 ，综上得： a 的取值范围为 1，+) .【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法，函数单调性的性质，函数的最值及其几何意义 【解析】【分析】（1）利用a的值求出函数的解析式，再利用绝对值的定义将函数转化为分段函数，再利用分段函数的解析式结合分类讨论的方法，从而求出分段函数的最小值。 （2）利用分类讨论的方法结合分段函数的图象，从而结合分段函数在区间 -1,1 上递减， 从而求出实数a的取值范围。
