1、20202021学年度第一学期12月月考(普实)数 学 试 题 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.椭圆的焦点坐标是 A. B. C. D. 2.设,则的单调递减区间为 A. B. C. D. 3.已知的顶点是椭圆的一个焦点,顶点、在椭圆上,且经过椭圆的另一个焦点,则的周长为( )A. B. 6 C. 4 D. 124.如图,在平行六面体中,E为的中点,设, ,则 A. B. C. D. 5.如图,直三棱柱中,则直线与平面所成的角的大小为A. B. C. D. 6.已知直线与圆相交于,两点,则弦长度的最小值为A B4 C D7
2、.已知函数,若对区间上任意的,且,都有 成立,则实数a的取值范围为A. B. C. D. 8.已知椭圆,的两焦点为,以为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为A. B. C. D.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.设表示不同的直线,表示不同的平面,则下列命题中正确的是 A. ,则B. ,则C. , 则D. , 则10.下列结论中正确的有A. 若,则 B. 若,则C. 若,则 D. 若,则11.下列结论错误的是A.圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1
3、B. 若,则是钝角C.已知直线:,:,则的充要条件是D. 与圆相切,且在x轴、y轴上的截距相等的直线有两条12.我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”如图,已知椭圆C:,为顶点,为焦点,P为椭圆上一点,满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有( )A. ,为等比数列 B. C. 轴,且 D. 四边形的内切圆过焦点,三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13.曲线C:在点处的切线方程为_14.设x,y满足约束条件,则的最大值为 .15.如图,直四棱柱的底面是菱形, ,E是BC的中点则点C到平面的距离为 16.已知S、A、B、C是球O表面上的点,平面ABC, ,则球O的表面积等于 .四、
4、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(本小题满分10分)求适合下列条件的椭圆的标准方程:焦点在坐标轴上,短轴长为4,离心率为;与椭圆有相同的焦点,且过点.18.(本小题满分12分)如图,在四棱锥中,底面ABCD为正方形,平面平面ABCD,点M在线段PB上,平面MAC,求证:M为PB的中点; (2)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值19. (本小题满分12分)已知点A,B关于坐标原点O对称,过点A,B且与直线 相切 若A在直线上,求的半径; 求点M的轨迹方程20.(本小题满分12分)已知函数求函数的极值;设函数,若函数在上恰有两个不同零点,求实数a的取值
5、范围21. (本小题满分12分)如图,在四棱锥中,四边形ABCD为平行四边形,为直角三角形且, 是等边三角形求证:; 若,求二面角的正弦值22.已知椭圆的离心率为,其中一个焦点在直线 上 求椭圆C的方程;若直线与椭圆交于P,Q两点,试求三角形OPQ面积的最大值20202021学年度第一学期12月月考数学试题(普实) 参 考 答 案一、单项选择题参考答案:(85=40分)1C 2B 3C 4A 5A 6 A 7 B 8D二、多项选择题参考答案:(45=20分)9 ACD 10 ABC 11 BCD 12 BD三、填空题:(45=20分)13 143 15 16 四、解答题:本题共6小题,共70分
6、17.解:依题意可得,则,当焦点在x轴上时,椭的标准方程为;当焦点在y轴上时,椭圆的标准方程为(5分)依题意可得焦点是在x轴上,故设椭圆方程为,因为椭圆C 与椭圆有相同的焦点,且过点,所以椭圆C 的方程为,解得即(5分)18.证明:如图,设,为正方形,为BD的中点,连接OM, 平面MAC,平面PBD,平面平面, ,则,即M为PB的中点;(5分)解:取AD中点G, 平面平面ABCD,且平面平面,平面PAD,平面ABCD,连接OG,平面ABCD,则,由G是AD的中点,O是AC的中点,可得,又,则以G为坐标原点,分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,由,得0,0,0,4,4
7、,2,设平面PBD的一个法向量为,则由,得,取,得,直线MC与平面BDP所成角的正弦值为 (7分)19. 解:(1)过点A,B且A在直线上,点M在线段AB的中垂线上, 设的方程为:,则圆心到直线的距离,又,在中,即又与相切,由解得或的半径为2或6; (6分)线段AB为的一条弦,圆心M在线段AB的中垂线上,设点M的坐标为,则,与直线相切,的轨迹.(6分)20.解:因为,令,因为,所以,当x变化时,的变化如下表: x 1 0 极小值所以有极小值,不存在极大值;(5分)由已知可得,函数在上恰有两个不同零点, 相当于函数与直线在上有两个不同的交点, 当时,递减,当时,递增, 又, 因为,则, 要使直线
8、与函数在有两个交点,则, 即实数a的取值范围为(7分)21.【答案】证明:取AP中点M,连DM,BM,为等边三角形, ,又,DM,平面DMB, 平面DMB,又平面DMB,(5分) 解:,M为AP中点,结合题设条件可得, , 如图,以MP,MB,MD所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系, 则, 得, 设平面DPC的一个法向量, 则,即,取, 设平面PCB的一个法向量, 由,即,取, 设二面角的平面角为,则由图可知,22.解:椭圆的一个焦点即为直线与x轴的交点,所以,又离心率为,则,所以椭圆方程为; 设,联立直线与椭圆方程得,令,得,当时,O、P、Q三点共线,故,则方程的两根为,点O到直线的距离,当且仅当,即或时取等号,而或满足且,所以三角形OPQ面积的最大值为1