1、4.7奇数和偶数 所有的整数可以分为两类:奇数和偶數，其中奇数是指那些不能被2整除的整数，例如土1，土3，土5等，而偶数是指那些能被2整除的整数，如0，土2，土4等整数的奇偶性有如下的一些简单性质:(1)偶数土偶数=偶数，偶数土奇数=奇数，奇数土奇数=偶数，奇数土偶数=奇数，(2)偶数x偶数=偶数，奇数x偶数=偶数，奇数x奇数=奇数，(3) 两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同，(4)两个整数的和或差是偶数，这两个数的奇偶性相同，(5)两个整数的和或差是奇数，这两个数的奇偶性相反.(6)偶数个奇数相加得偶数，奇数个奇数相加得奇数，任意个偶数相加得偶数，(7)奇数连乘积是奇数；连乘中，有一个
2、因数是偶数，积定是偶数，利用整数的奇偶性质，可以成功解决许多数学问题.例题精选：例题1、在黑板上写上1, 2, 3，.10每次擦去任意两个数，换上这两个数的和或差，重复这样的操作手续若干次，直到黑板上仅留下一个数为止，试问:这个数能否是零?证明你的结论? 巩固1、在1，2，3，2002中的每个数前面添上一个正号或负号，它们的代数和是奇数还是偶数? 例题2、能否在下式的格子中适当的填上“+”或“-,使等式成立?若能，请给出一种填法，若不能，请说出理由 1口2口3口4口5口6口7口8=9巩固2、下列每个算式中，至少有一个奇数;一个偶数;那么这12个整数中，至少有几个偶数? 口+口=口，口口=口，
3、口x口=口, 口口=口例题3、如果a,b,c 是三个任意整数，那么a+b2,b+c2,a+c2A、都不是整数 B、至少有兩个整数C、 至少有一个整数D、 都是整数巩固3、用代表整数的字母a、b、c、d写成等式组:abcd-a= 1991，abcd-b= 1993，abcd-c= 1995，abcd-d=1997.试说明:符合条件的整数a、b、 c、d是否存在例题4、参加会议的人，有不少互相握过手，问握手的次数是奇数的那部分人的人数是奇数还是偶数？为什么？巩固4、能否有整数m，n，使得m2 -n2=1998？例题5、一串数排成一行，它们的规律是：前面两个数都是1，从第三个数开始，毎一个数都是前两
4、个数的和.如下所示:1，1，2，3，5，8，13，21，34，55同:这串数的前100个数(包括第100数）中，有多少个偶数？巩固5、桌上放着七只杯子，杯口全朝上，每次翻转四个杯子，向:能否经过若干次这样的翻动，使全部的杯子口都朝下?习题A1、先求正整数中前10个奇数的和，再求正整数中前n个奇数的和.2、 七个连续的奇数的和为399,求这七个数.3、1+2+3+2008，,结果是偶数还是奇数？为什么？4、有100个自然数，它们的和是偶数，在这100 个自然数中，奇数的个数比偶数的个数多，问：这些数中至多有多少个偶数？5、有12整卡片，其中3张上面写着1，有3张上面写着3，有3张上面写着5，有3
5、张上面写着7，你能否从中选出五张，使它们上面的数字和为20?为什么?6、有一串数，最前面的四个数依次是1、9、8、7,从第五个数起，每一个数都是它前面相邻四个数之和的个位数字，问:在这一串数字中，会依次出现1、9、8、8这四个数吗?7、用0、1、2、3、. 9十个数字组成5个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是一个奇数，并且尽可能大，问这五个两位数的和是多少?8、任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数，试证新数与原数之和不能等于999. 9、三个连续的偶数之积是一个六位数15* * * 8,求这三个偶数.10、求证;四个连续奇数的和一定是8的倍数4.7奇数和偶数(答案)所有的整数
6、可以分为两类:奇数和偶数，其中奇数是指那些不能被2整除的整数，例如土1，土3，土5等，而偶数是指那些能被2整除的整数，如0，土2，土4等整数的奇偶性有如下的一些简单性质:(1)偶数土偶数=偶数，偶数土奇数=奇数，奇数土奇数=偶数，奇数土偶数=奇数，(2)偶数x偶数=偶数，奇数x偶数=偶数，奇数x奇数=奇数，(3)两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同，(4)两个整数的和或差是偶数，这两个数的奇偶性相同，(5)两个整数的和或差是奇数，这两个数的奇偶性相反.(6)偶数个奇数相加得偶数，奇数个奇数相加得奇数，任意个偶数相加得偶数，(7)奇数连乘积是奇数；连乘中，有一个因数是偶数，积定是偶数，利用整
7、数的奇偶性质，可以成功解决许多数学问题.例题1、在黑板上写上1,2,3，10，每次擦去任意两个数，换上这两个数的和或差，重复这样的操作手续若干次，直到黑板上仅留下一个数为止，试问：这个数能否是零？证明你的结论？解答：不可能。1.如果擦去的是两个是偶数，则这两个数的和或差仍是偶数，得到新的数组仍是奇数；2.如果擦去的是两个是奇数,则这个数的和或差则是偶数,得到新的数组仍是奇数；3.如果擦去的是一个偶数一个奇数,则这个数的和或差则是奇数,得到新的数组仍是奇数.所以最后得到数一定还是奇数.巩固1、在1,2,3，2002中的每个数前面添上一个正号或负号，他们的代数和是奇数还是偶数？解答：因为两个整数的
8、和与差的奇偶性相同，所以在1,2,3，2002中每个数前面添上正号或负号，其代数和应与1+2+3+2002的奇偶性相同，而1+2+3+2002=121+2+3+2002=121+20022002=20031001为奇数，所以所求代数和也为奇数。例题2、能否在下式的格子中适当的填上“+”或“”，使等式成立？若能，请给出一种填法，若不能，请说明理由。12345678=9不能巩固2、下列每个算式中，至少有一个奇数，一个偶数，那么这12个整数中，至少有几个偶数？=，=，=，=解答：要是最少的偶数，所以加法中必然会有一个偶数；乘法中若要保证至少有一个奇数，则必须有两个偶数；减法中必然会有一个偶数；除法中
9、至少有两个偶数，所以这些式子中至少有6个偶数。例题3、如果a,b,c,是三个任意整数，那么a+b2,b+c2,a+c2A、都不是整数 B、至少有两个是整数 C、至少有一个整数 D、都是整数解答：1.假设a,b,c都是偶数或都是奇数，则a+b,b+c,a+c都是偶数那么a+b2,b+c2,a+c2都是整数；2.假设a,b,c中有两个是偶数，一个是奇数，那么a+b2,b+c2,a+c2有一个是整数；3.假设a,b,c中有一个是偶数，两个是奇数，那么a+b2,b+c2,a+c2有一个是整数；综上所述：a+b2,b+c2,a+c2至少有一个是整数。所以选C巩固3、巩固3、用代表整数的字母a、b、c、d
10、写成等式组:abcd-a= 1991，abcd-b= 1993，abcd-c= 1995，abcd-d=1997.试说明:符合条件的整数a、b、 c、d是否存在解答：用代表整数的字母a,b,c,d写成等式组：abcda=1991abcdb=1993abcdc=1995abcdd=1997试说明符合条件的整数a,b,c,d是否存在。解答：由原题等式组可知：a（bcd1）=1991b（acd1）=1993c（abd1）=1995d（abc1）=1997因为1991,1993,1995,1997均为奇数，且只有奇数奇数=奇数所以a分别为奇数。所以abcd=奇数所以a,b,c,d的乘积分别减去a,b,
11、c,d后一定为偶数。这与原等式组矛盾。所以不存在满足题设等式组的整数a,b,c,d例题4、参加会议的人，有不少互相握过手，问握手的次数是奇数的那部分人的人数是奇数还是偶数？为什么？解答：偶数。每人相互握手一次，当握奇数次手时，说明其它人数有奇数个，加上自己，那么总人数就是偶数个。巩固4、能否有整数m,n,使得m2-n2=1998?解答：m2-n2=1998 （m+n）（mn）=1998 则mn, mn的奇偶性必相同，即：mn, mn同为奇数，乘积为奇数，与1998矛盾;mn, mn同为偶数，乘积能被4整除，与1998被4除余2矛盾综上所述：必不存在整数m,n,使得m2-n2=1998例题5、一
12、串数排成一行，它们的规律是：前面两个数都是1，从第三个数开始，毎一个数都是前两个数的和.如下所示:1，1，2，3，5，8，13，21，34，55同:这串数的前100个数(包括第100数）中，有多少个偶数？解答：从数列中可以得到规律每两个奇数之后为一个偶数，其中前100个数中偶数的个数为1003=331，故这串数前100个数中有33个偶数。巩固5、桌上放着七只杯子，杯口全朝上，每次翻转四个杯子，问：能否经过若干次这样的翻动，使全部的杯子杯口都朝下？答案：不能。我们将向上的杯子记为0，向下的杯子记为“1”。开始时，由于七个杯子全朝上，所以这七个数的和为0，是个偶数。一个杯子每翻动一次，所记数由0变
13、为1，或由l变为0，改变了奇偶性。每一次翻动四个杯子，因此，七个数之和的奇偶性仍与原来相同。所以，不论翻动多少次，七个数之和仍为偶数。而七个杯子全部朝下，和为7，是奇数，因此，不可能。习题A1、先求正整数中前10个奇数的和，再求正整数中前n个奇数的和.答案：100，n2。2、七个连续的奇数的和为399，求这七个数。答案：51，53，55，57，59，61，63；这七个数的平均数为中间的数，因为平均数为57，所以可得这七个数。3、1+2+3+2008，,结果是偶数还是奇数？为什么？答案：偶数4、有100个自然数，它们的和是偶数，在这100 个自然数中，奇数的个数比偶数的个数多，问：这些数中至多有
14、多少个偶数？答案：根据数的奇偶性可知，100个自然数，奇数的个数比偶数的个数多，那么奇数最少有51个，偶数有49个，但由于51个奇数的和为奇数，再加上49个偶数100个自然数的和是奇数，所以100个自然数中必须有偶数个奇数，又由于奇数比偶数多，因此偶数最多只有48个5、有12整卡片，其中3张上面写着1，有3张上面写着3，有3张上面写着5，有3张上面写着7，你能否从中选出五张，使它们上面的数字和为20?为什么?答案：不能，因为1，3，5，7都是奇数，5个奇数的和还是奇数，不能得到偶数20。6、有一串数，最前面的四个数依次是1、9、8、7,从第五个数起，每一个数都是它前面相邻四个数之和的个位数字，
15、问:在这一串数字中，会依次出现1、9、8、8这四个数吗?答案：不会7、用0、1、2、3、. 9十个数字组成5个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是一个奇数，并且尽可能大，问这五个两位数的和是多少?答案：（4+6+7+8+9）10+（0+1+2+3+5）=3518、任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数，试证新数与原数之和不能等于999.答案：令该数为ABC，则：1、全为奇数结果3位均为偶数；2、全为偶数结果3位均为偶数；3、AB奇，C偶A，B必须全与偶数相加才能都为奇数，不成立；4、AB偶，C奇A，B必须全与奇数相加才能都为奇数，不成立；故新数与原数之和不能等于999.9、三个连续偶数之积是一个六位数15*8，求这三个偶数。答案：连续偶数的末位数的乘积有规律,末位为8的数只能由末位为2、4、6的连续偶数相乘得到.由于这是个六位数,所以这3个数都是两位数.因为某数的立方的第一个数是1,所以十位数是5,即这三个数是52、54、56.10、求证：四个连续奇数的和一定是8的倍数。答案: 设最小的奇数为2n-1（n是正整数），后面三个依次是2n+1，2n+3，2n+5四个数的和为：（2n-1）+（2n+1）+（2n+3）+（2n+5），=8n+8，=8（n+1）所以是8的倍数
